ДӘРІС — 9 ФУНКЦИЯНЫ ЗЕРТТЕУ 1 Функцияның

ДӘРІС - 9

ФУНКЦИЯНЫ ЗЕРТТЕУ 1) Функцияның анықталу облысын және функция графигiнiң координат өстерiмен қиылысатын нүктелерiн табу. 2) Функцияның жұп, тақ, периодты болатындығын тексеру қажет. өйткенi, онда сәйкес оң х-тер үшiн, не ұзындығы периодқа тең аралықта зерттеу жүргiзсе болғаны. 3) Функцияны үзiлiссiздiкке зерттеп, үзiлiс нүктелерiн тауып, үзiлiс түрiн анықтау керек. Функция графигiнiң асимптоттарын табу. 4) Функцияның бiркелкi аралықтарын және экстремум нүктелерiн табу. 5)Функцияның дөңестiк (ойыстық) аралықтары және иiлу нүктелерiн табу. 6) Осы зерттеулердiң нәтижесiн пайдаланып, функция графигiн салу. Қажет болған жағдайда, функция графигiнiң нүктелерiн, оның берiлуiн пайдалана отырып толықтыруға болады.

Функцияның өсу, кемуін анықтау. Функцияның туындысын табу. Анықталу облысы. Туынды таңбасын анықтау.

Функцияның сындық нүктелерін табу f (x)=0 шешу Функцияның туындысын табу Функцияның экстремум нүктелерін табу Туынды таңбасын анықтау max, min нүктелерін табу

Екі айнымалы функцияның экстремумдері. Анықтама. Егер ( х0; у0) нүктесінің белгілі бір маңайында анықталған z = f(x, y) функцияның барлық мәндері үшін f (x, y) ≤ f ( x 0, y 0) теңсіздігі орындалатын болса, ( x 0, y 0) нүкте z = f(x, y) функцияның максимум нүктесі, f (x, y) ≥ f ( x 0, y 0) болса минимум нүктесі деп аталады. Экстремумның қажетті шарты: Егер дифференциалданатын z = f(x, y) функциясының М 0 ( х0; у0) нүктесінде экстремумі бар болса, онда оның осы нүктедегі дербес туындылары нөлге тең: (1)

Экстремумның жеткілікті шарты: z = f(x, y) функциясы (1) шартты М 0 ( х0; у0) нүктеде орындап, бұл нүктенің қандайда бір маңайында екінші ретті туындыларға ие болсын. Егер болса М 0 ( х0; у0) нүкте экстремум нүкте болады да, болса, ол максимум, болса, ол минимум нүктесі болады. Мысал. Z = x 2 – xy + y 2 + 3 x -2 y + 1 функциясын экстремумге зерттеу керек. Шешуі:

Екінші ретті дербес туындылардың Мо нүктеде мәндерін табамыз. Бұдан: яғни нүкте экстремум нүкте болады екен. болғандықтан бұл нүкте минимум нүктесі болады екен, яғни нүктеде берілген функция өзінің минимум мәнін қабылдайды.

Функцияның туындысын табу Сындық нүктелерін табу Функцияны ең үлкен, ең кіші мәндері Берілген кесіндіге тиісті сындық нүктелерін көрсету Функцияның мәнін табу

Анықтама 1 Егер аралығының кез келген нүктелерінде болса, онда осы аралықта өспелі деп аталады, ал болса кемімелі делінеді. Анықтама 2 аралығында өспелі немесе кемімелі функция бірсарынды деп аталады.

Теорема. Егер (a; b) сегментінде дифференцияланданатың y=f(x) функциясы x 0∈ (a; b) нүктеде экстермумға ие болса, онда бұл нүктеде оның туындысы нөлге тең: f ′(x 0)=0. Мысал. y=x 2+2 x+1 y′(x)=2 x+2=0 x=-1 Сонымен y=x 2+2 x+1 функциясының экстремумы бар болса, онда ол (экстремум) x=-1 нүктесінде болуы тиіс. Бірақ біз осы нүктеде экстремум бар ма жоқ па бұны әлі білмейміз, өйткені жоғарыдағы теоремада тек “ие болса” ғана делінген. Бұны мына теорема аңықтайды:

Теорема. y=f(x) функцисы (a; b) сегментінде үзіліссіз әрі дифференциалдансын. f ′(x 0)=0 болсын: a). Егер xx 0 нүктелерінде f ′(x) теріс болса онда x 0 нүктеде y=f(x) функциясы максимумға ие. b). Егер x 0 >x нүктелерінде f ′(x) теріс ал x 01 нүктелерінде оң болатындықтан y=x 2+2 x+1 функциясы x 0=1 нүктесінде минимумға ие.