Cистема исчислений Закройте окно Мастера активации Microsoft office

Cистема исчислений Закройте окно «Мастера активации Microsoft office» . Нажмите функциональную клавишу F 5. Если Вы достаточно хорошо просмотрели слайд, то после появления текста «Переход на следующий слайд производится щелчком мыши» щелкните мышью, но можно и подождать чтобы поглубже вникнуть. Если хотите повторить просмотр слайда со звуком, то после появления текста «Переход на следующий слайд производится щелчком мыши» нужно щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать команду «Назад» . Подготовил ст. преподаватель Дихамбеков Ж. К. Государственный медицинский университет города Семей 2013 год Переход на следующий слайд производится щелчком мыши

Системы исчислений. Двоичная система исчислений. Введение Виды систем исчислений Первые 32 числа в различных системах исчислений Нахождение двоичного эквивалента числа десятичной системы Нахождение десятичного эквивалента числа двоичной системы Сложение чисел двоичной системы Вычитание чисел двоичной системы Умножение и деление чисел двоичной системы Перевод числа десятичной системы в число восьмеричной и шестнадцатеричной системы Заключение Переход на следующий слайд производится щелчком мыши

Введение Как известно электронно-вычислительные устройства, куда входят и компьютеры, работают с информацией, представленной в двоичных кодах, т. е. последовательностью нулей и единиц. Такие числа называются числами двоичного исчисления. Системой исчисления называют совокупность правил и методов представления чисел в виде специальных символов, в том числе цифр. Системы исчисления разделяются на два вида: не позиционный и позиционный. В не позиционной системе значение символа не зависит от его расположения в составе числа. К такой системе относится римское исчисление. Например, обычное число 50 римским исчислением представляется в виде ХХХХХ, где Х обозначает привычном нам исчислении число 10, поэтому 5 десятков есть 50. В позиционных системах значение символа зависит от его позиции в составе числа. К такой системе относится привычное нам десятеричное исчисление. Например, в числе 555 последняя цифра имеет, значение 5, а средняя цифра 5 – 50 и первая цифра 5 – 500. В настоящее время пользуются следующими видами исчисления: двоичный, восьмеричный, десятеричный и шестнадцатеричный. Все эти исчисления являются позиционными. В каждой из этих систем основанием являются числа определяющие их названия: 2, 8, 10 и 16. Из этих систем исчисления двоичная система является основной в электронновычислительных устройствах. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы являются дополнительными. Для нас привычна десятеричная система исчислении и вычислительные устройства числа, представленные в этой системе, переводить в двоичные, затем применяют к ним математическое действие. Результат переводит в число десятичной системы и выдает на экран. Такие же действия производятся и с текстовыми символами. Рассмотрим действия выполняемые в вычислительных системах с числами. Переход на следующий слайд производится щелчком

Виды систем исчислений В десятичной системе исчислений (в системе исчислений применяемой нами ежедневно) для обозначения числа используются 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Например: число сорок три целых восемдесять две сотых в десятичной системе будет 43, 82 В двоичной системе исчислений для обозначения числа используются две арабские цифры: 0 и 1 Например: число сорок три целых восемдесять две сотых в двоичной системе будет ≈ 101011, 11011 В восьмеричной системе исчислений для обозначения числа используются 8 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Например: число сорок три целых восемдесять две сотых в восьмеричной системе будет ≈ 53, 64365 В шестнадцатеричной системе исчислений для обозначения числа используются 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 6 латинских букв A, B, C, D, E, F Например: число сорок три целых восемдесять две сотых в шестнадцатеричной системе будет ≈ 2 B, D 05 B 7 Систему исчисления числа принято указывать в виде индекса числа: 43, 8210 ≈ 101011, 110112 ≈ 53, 643658 ≈ 2 B, D 05 B 716 Переход на следующий слайд производится щелчком

Первые 32 числа в различных системах исчислений Система исчислений Десятеричная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная 0 0 16 10000 20 10 1 1 17 10001 21 11 2 10 2 2 18 10010 22 12 3 11 3 3 19 10011 23 13 4 100 4 4 20 10100 24 14 5 101 5 5 21 10101 25 15 6 110 6 6 22 10110 26 16 7 111 7 7 23 10111 27 17 8 1000 10 8 24 11000 30 18 9 1001 11 9 25 11001 31 19 10 1010 12 A 26 11010 32 1 A 11 1011 13 B 27 11011 33 1 B 12 1100 14 C 28 11100 34 1 C 13 1101 15 D 29 11101 35 1 D 14 1110 16 E 30 11110 36 1 E 15 1111 17 F 31 11111 37 1 F 16 10000 20 10 32 100000 40 20 Переход на следующий слайд производится щелчком

Нахождение двоичного эквивалента числа десятичной системы Перевод числа 357, 79 десятичной системы исчисления в число двоичной системы можно осуществить путем деления целой части на 2 и умножением на 2 дробной части Для нахождения двоичного эквивалента дробной части десятичного числа только дробная часть числа умножается на 2. 1) Результат деления числа 357 на 2 с точностью до целых будет 178 и остается остаток 1 (показан красным цветом) При этом обязательно должна быть известна точность задания двоичного эквивалента, т. е. число знаков после запятой. 2) Результат деления числа 178 на 2 с точностью до целых будет 89 и остатка не будет, поэтому пишется 0 (показан красным цветом) При умножении целые части чисел выделяются, так как они и образуют двоичный эквивалент. При нахождении двоичного эквивалента с 5 -тью знаками после запятой для десятичного числа 0, 79 выполняются действия: 3) Результат деления числа 89 на 2 с точностью до целых будет 44 и остается остаток 1 (показан красным цветом) 1) Произведение 0, 79 на 2 будет 1, 58. Целые части чисел 0, 79 и 1, 58 написать отдельно (выделено красным цветом) 4) Результат деления числа 44 на 2 с точностью до целых будет 22 и остатка не будет, поэтому пишется 0 (показан красным цветом) 5) Результат деления числа 22 на 2 с точностью до целых будет 11 и остатка не будет, поэтому пишется 0 (показан красным цветом) 6) Результат деления числа 11 на 2 с точностью до целых будет 5 и остается остаток 1 (показан красным цветом) 7) Результат деления числа 5 на 2 с точностью до целых будет 2 и остается остаток 1 (показан красным цветом) 8) Результат деления числа 2 на 2 с точностью до целых будет 1 и остатка не будет, поэтому пишется 0 (показан красным цветом) 9) Результат деления числа 1 на 2 с точностью до целых будет 0 и остается остаток 1 (показан красным цветом) 2) Произведение на 2 дробной части 0, 58 полученного результата (1, 58) даст 1, 16. Написать отдельно целую часть этого числа (выделено красным цветом) Последней операцией деления обязательно должно быть деление 1 на 2, т. е. частное должно равняться 0, а остаток 1. За двоичный эквивалент принимается последовательность остатков с последнего к начальному, т. е. снизу вверх. 3) Произведение на 2 дробной части 0, 16 полученного результата (1, 16) даст 0, 32. Написать отдельно целую часть этого числа (выделено красным цветом). 4) Произведение на 2 дробной части 0, 32 полученного результата (0, 32) даст 0, 64. Написать отдельно целую часть этого числа (выделено красным цветом). 5) Произведение на 2 дробной части 0, 64 полученного результата (0, 64) даст 1, 28. Написать отдельно целую часть этого числа (выделено красным цветом). Последовательность целых, взятых с начального к последнему, т. е. сверху вниз, образует двоичный эквивалент дробной части десятичного числа 35710 = 1011001012 0, 7910 = 0, 110012 357, 7910 = 101100101, 110012 Переход на следующий слайд производится щелчком мыши

Нахождение десятичного эквивалента числа двоичной системы При определении десятичного эквивалента двоичного числа 101100101, 11001 каждой цифре (нулю и единице) этого числа дается разряд в виде целого числа. Цифре перед запятой дается разряд равный нулю и разряд влево увеличивается, а вправо уменьшается. Для целой части разряд положительное число, для дробной части - отрицательное число: Разряд 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 101100101, 110012 Сумма произведений каждой цифры двоичного числа на два в степени равной разряду этой цифры дает десятичный эквивалент этого числа: 1*28 +0*27 +1*26+1*25 +0*24 +0*23+1*22 +0*21 +1*20 +1*2 -1+1*2 -2 +0*2 -3 +0*2 -4 +1*2 -5= = 256 + 0 + 64 + 32 + 0 + 4 + 0 + 1 + 0, 5 + 0, 25 + 0 + 0, 03125 = = 357, 78125 ≈ 357, 79 Число 101100101, 110012 было ранее установлено как двоичный эквивалент десятичного числа 357, 7910. При обратном переводе определяется, что двоичный эквивалент является числом приближенным (равным или меньшим) числу в десятичной системе исчисления. Значения числа 2 в степени n, используемых при данном вычислении n 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 2 n 256 128 64 32 16 8 4 2 1 0, 5 0, 25 0, 125 0, 0625 0, 03125 Переход на следующий слайд производится щелчком мыши

Сложение чисел двоичной системы При сложении чисел в двоичной системе исчисления нужно помнить следующие правила : 1) 0 + 0 = 0 2) 0 + 1 = 1 3) 1 + 0 = 1 4) 1 + 1 = 10 5) 1 + 1 = 11 Сложение двоичных чисел 10110011, 10101 и 10110, 01110 Эти числа надо написать так, чтобы знаки дроби “запятая” были расположены друг под другом. Сложение производится справа налево для цифр с одинаковыми разрядами. Цифре слева от запятой присваивается разряд нуль (0). Влево от запятой разряд возрастает (знак положителен), вправо от запятой разряд убывает (знак отрицателен). Результат сложения цифр 1 и 0 с разрядом -5 равен 1 (правило 3). Результат сложения цифр 0 и 1 с разрядом -4 равен 1 (правило 2). Результат сложения цифр 1 и 1 с разрядом -3 равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Результат сложения цифр 0 и 1 с разрядом -2 (и 1 в памяти) равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Результат сложения цифр 1 и 0 с разрядом -1 и 1 в памяти равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Результат сложения цифр 1 и 0 с разрядом 0 и 1 в памяти равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Результат сложения цифр 1 и 1 с разрядом 1 и 1 в памяти равен 11 (правило 5). 1 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Результат сложения цифр 0 и 1 с разрядом 2 и 1 в памяти равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Результат сложения цифр 0 и 0 с разрядом 3 и 1 в памяти равен 1 (правило 2). 1 пишется как результат. Результат сложения цифр 1 и 1 с разрядом 4 равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Результат сложения цифр 1 с разрядом 5 и 1 в памяти равен 10 (правило 4). 0 пишется как результат, а 1 сохраняется в памяти для сложения с цифрами следующего разряда (показано красным цветом). Результат сложения цифр 0 с разрядом 6 и 1 в памяти равен 1 (правило 2). 1 пишется как результат. Нет цифры которую нужно сложить с 1 разрядом 7, поэтому 1 записывается как результат. 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 011 0 0 11 , 1 0 1 + 1 0 1 10 , 01 1 1 0 Переход на следующий слайд производится щелчком

Вычитание чисел двоичной системы При вычитании чисел в двоичной системе исчисления нужно помнить следующие правила: 1) 0 - 0 = 0 2) 1 - 0 = 1 3) 1 - 1 = 0 4) 10 - 1 = 1 Вычитание двоичных чисел от 1010011, 10101 числа 11110, 11110 Эти числа надо написать так, чтобы знак дроби “запятая” были расположены друг под другом. Вычитание производится справа налево для цифр с одинаковыми разрядами. Цифре слева от запятой присваивается разряд нуль (0). Влево от него разряд возрастает (знак положителен), вправо от него разряд убывает (знак отрицателен). Результат вычитания 0 -я от 1 цифр с разрядами -5 равен 1 (правило 2). При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом -4) нужно в вычитаемом занять 1 от числа с разрядом -3, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с разрядом -4 будет 10 (показано красным цветом) и вычитание от него 1 даст результат 1 (правило 4) Результат вычитания 1 от 1 цифр с разрядами -2 равен 0 (правило 3). При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом -1) нужно в уменьшаемом занять 1 от числа с разрядом 0, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с разрядом -1 будет 10 (показано красным цветом) и вычитание от него 1 даст результат 1 (правило 4) Результат вычитания 0 от 0 цифр с разрядами 0 равен 0 (правило 1). Результат вычитания 1 от 1 цифр с разрядами 1 равен 0 (правило 3). При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом 2) нужно в уменьшаемом занять 1 от числа с разрядом 4, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с разрядом 3 будет 10, здесь останется 1, так как от него занимается 1 для цифры разрядом 2, где будет 10 (показано красным цветом) и вычитание от него 1 даст результат 1 (правило 4) Результат вычитания 1 от 1 цифр с разрядами 3 равен 0 (правило 3). При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом 4) нужно в уменьшаемом занять 1 от числа с разрядом 6, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с разрядом 5 будет 10, здесь останется 1, так как от него занимается 1 для цифры разрядом 4, где будет 10 (показано красным цветом) и вычитание от него 1 даст результат 1 (правило 4) В цифрах 5 -го разряда нет вычитаемого от 1 поэтому в результат вычитания записывается 1. Разряд 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 При вычитании 1 от 0 (чисел с разрядом -3) нужно в уменьшаемом занять 1 от числа с разрядом -1, где останется 0. Тогда в уменьшаемом вместо цифры 0 с разрядом -2 будет 10, здесь останется 1, так как от него занимается 1 для цифры разрядом -3, где будет 10 (показано красным цветом) и вычитание от него 1 даст результат 1 (правило 4) Переход на следующий слайд производится щелчком мыши

Умножение и деление чисел двоичной системы В двоичной системе исчисления при выполнений действии умножения нужно помнить следующие положения : 5) 0 + 0 = 0 1) 0 * 0 = 0 6) 0 + 1 = 1 2) 0 * 1 = 0 7) 1 + 0 = 1 3) 1 * 0 = 0 8) 1 + 1 = 10 4) 1 * 1 = 1 В двоичной системе исчисления при выполнений действии деления нужно помнить следующие положения : 5) 0 - 0 = 0 1) 0 * 0 = 0 6) 1 - 0 = 1 2) 0 * 1 = 0 7) 1 - 1 = 0 3) 1 * 0 = 0 8) 10 - 1 = 1 4) 1 * 1 = 1 Умножение чисел двоичной системы исчисления производятся по привычным правилам десятичной системы исчисления. Деление чисел двоичной системы исчисления производятся по привычным правилам десятичной системы исчисления. Если разряд множителя увеличивается на произведение смещается на одно место влево Запятая у делимого сдвигается вправо на столько мест на сколько сдвигается запятая у делителя, чтобы он стал целым числом единицу, то Умножение 110011, 1012 и 110, 1012 Множимое 1 1 0 0 1 1, 1 0 1 Множитель * 1 1 0, 1 0 1 Деление 110010, 1012 на 101, 0112 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 Красным цветом указывается число в памяти, которое нужно прибавить к следующему разряду слагаемых 10 1 0 1 1 0 0 0 1 Количество цифр после запятой в результате произведения равно сумме количеств цифр после запятой у обоих множителей Деление можно продолжать дальше мы посчитали достаточным точность до пяти знаков после запятой Переход на следующий слайд производится щелчком мыши

Перевод числа десятичной системы в число восьмеричной и шестнадцатеричной системы Перевод числа ДЕСЯТИЧНОЙ системы в число ВОСЬМЕРИЧНОЙ или ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ системы производится по правилам перевода в двоичную систему. При нахождении эквивалента в восьмеричной системе числа десятичной системы, целую часть числа нужно разделить на 8, а дробную часть умножить на 8. При этом остаток при делении или целая при умножении могут представляться числами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. При нахождении эквивалента в шестнадцатеричной системе числа десятичной системы, целую часть числа нужно разделить на 16, а дробную часть умножить на 16. При этом остаток при делении или целая при умножении могут представляться числами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которые записываются в таком же виде, а числа 10, 11, 12, 13, 14, 15 представляются в виде латинских букв соответственно A, B, C, D, E, F. Перевод числа 68510 в восьмеричную систему исчисления Перевод числа 68510 в шестнадцатеричную систему исчисления 5 685 D 13 685 16 5 2 1 A 10 42 16 2 2 2 16 8 85 8 10 8 1 8 0 0 68510 = 12558 = 2 AD 16 Переход на следующий слайд производится щелчком

Заключение Нахождение эквивалента числа десятичной системы выполняется в три этапа: Первый, целую часть исходного числа нужно делить на основания системы исчисления и продолжить это деление до получения результата деления равной нулю. Остатки деления, взятые с последнего к начальному, есть эквивалент целой части исходного числа. Второй, дробная часть исходного числа умножается на основание системы исчисления и это умножение следует продолжить для дробной части полученного результата до получения точности задания искомого числа. Целые, полученные при умножении и взятые от первого к последнему, есть эквивалент дробной части исходного числа. Причем ноль исходного числа есть целая часть эквивалента. Третий, нахождение искомого эквивалента как сумма этих двух эквивалентов. Эквивалент в десятичной системе числа другой системы определяется как сумма произведении каждой цифры исходного числа на основание системы исчисления в степени равной разряду этой цифры С числами любой системы исчисления можно проводить все арифметические действия. Шестнадцатеричные числа используются для компактного записи чисел и экономии памяти. Переход на следующий слайд производится щелчком мыши …