Циклы и разрезы в неорграфе Тема 9

Циклы и разрезы в неорграфе Тема 9

Циклы o Цикл – замкнутый путь o Простой цикл – замкнутый простой путь o Ациклический граф – граф без циклов n Дерево – связный ациклический граф n Лес – несвязный ациклический граф (каждая связная компонента леса – дерево) o Теорема. Следующие утверждения эквивалентны: 1. G – дерево, в котором n вершин и m ребер; 2. Любые две вершины G соединены единственной простой цепью; 3. G – связный граф с числом ребер на 1 меньшим числа вершин; 4. G – ациклический граф с числом ребер на 1 меньшим числа вершин; 5. Число ребер G на 1 меньше числа вершин и при добавлении любого ребра в графе появляется один простой цикл

Остов и кодерево графа o Дерево графа – связный подграф без циклов o Остов графа T – связный суграф без циклов. n Ребра остова – ветви. n В остове ω(G) = n – 1 ребер. o Кодерево графа T* - подграф, дополняющий остов T до исходного графа. n Ребра кодерева – хорды. n В кодереве υ(G) = m – ω(G) = m – (n – 1) ребер. o Число остовов графа вычисляется с использованием матрицы Кирхгофа B = Aи∙ Aи. T n она симметрична; n вырождена; n и любой дополнительный минор элементов главной диагонали равен количеству различных остовов графа (Теорема Кирхгофа).

Векторное пространство подмножеств ребер o Обозначим каждое ребро ej единичным вектором, в котором единица стоит на позиции j. o Тогда любое подмножество ребер Ej можно представить суммой единичных векторов: Ej= o Тогда множество всех подмножеств ребер – векторное пространство над полем {0, 1} n Имеется нулевой элемент n Имеется обратный элемент n Умножение на 0 дает нулевой элемент n Умножение на 1 дает исходный элемент o Виды подмножеств: n Цепь n Цикл n Разрез (множество ребер, удаление которых делает граф несвязным)

Матрицы циклов и разрезов o Цикломатическая (коцикломатическая) матрица содержит все возможные циклы (разрезы) графа. o Фундаментальная (базисная) матрица циклов (разрезов) содержит только базисные циклы (разрезы): n линейно независимые; n порождающие все остальные циклы (разрезы). o Фундаментальная матрица циклов строится по выбранному остову и кодереву графа: n каждое ребро кодерева дает один базисный цикл. o Фундаментальная матрица разрезов строится по выбранному кодереву и построенной фундаментальной матрице циклов: n каждое ребро остова дает один базисный разрез; n кроме очередного остовного ребра в базисный разрез входят те ребра кодерева, которые входят вместе с ним хотя бы в один базисный цикл.