Скачать презентацию Циклические подгруппы G – группа и a G.
2_Циклические подгруппы.ppt
- Количество слайдов: 15
Циклические подгруппы G – группа и a G. H={a. Z}={…, a-2, a-1, a 0, a 1, a 2, …} G. Т. к. 1) ak, am H ak am=ak+m H, 2) a-k=(ak)-1 H, следует, что H G. Определение: подгруппа, состоящая из целочисленных степеней какого-либо элемента группы, называется циклической подгруппой, a – порождающим элементом и обозначается H= В аддитивной записи циклическая подгруппа, порожденная элементом a состоит из всех целочисленных кратных этого элемента: H={a. Z}={…, -2 a, -a, 0, a, 2 a, …} G
Пример. G=S 3={e, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}. H 0=
Определение. Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической Примеры. 1. <{2 Z}, >=<2> – циклическая. 2. G=S 3 – не является циклической. 3.
Т. Любая подгруппа циклической группы – циклическая. Дано: G=; H G. Доказать: Н – циклическая. Доказательство. Н G={…, a-2, a-1, a 0, a 1, a 2, …} Пусть ak H. Докажем, что Н=
Пример.
Бинарные отношения между элементами группы Пусть G – группа и H G. I. Введем бинарное отношение ρ следующим образом: Для a, b G, aρb, если a-1·b H. Докажем, что ρ – отношение эквивалентности. 1) рефлексивность aρa, т. к. a-1·a=e H. 2) симметричность Пусть aρb, т. е. a-1·b H (a-1·b)-1 H, т. е. b-1·(a-1)-1 = b-1·a H bρa. 3) транзитивность Пусть aρb, bρc, т. е. a-1·b H, b-1·c H (a-1·b)·(b-1·c) = a-1·c H aρc. Следовательно, группа G может быть разбита на классы эквивалентности. а. Н={b G / aρb} – левый класс эквивалентности.
Свойства классов эквивалентности 1. H=e. H сама подгруппа Н является левым классом эквивалентности. 2. a. H b. H= , если а b, т. к. это классы эквивалентности. 3. аρb a. H=b. H. 4. Если а е, то a. H G , т. к. не содержит элемент е (из свойства 2 e. H a. H = ). 5. 6. Если Н – конечная подгруппа группы G, то все классы эквивалентности содержат столько же элементов, сколько и подгруппа Н, т. е. если |Н|=k |a. H|=|b. H|=…=k.
а. Н T. а. Н=a. H, a. H={ah / h H}. Доказательство: 1) x а. Н aρx или a-1·x H a-1·x=h x= a·h x а. Н (1) 2) y а. Н y= a·h a-1·y=h или a-1·y H aρy y а. Н (2) (1) и (2) следует, что а. Н=a. H.
Определение. Множество a. H={ahi / hi H} называется левым смежным классом группы G по подгруппе Н. а. Н=a. H G=H + a 1 H + a 2 H +…+ ak. H+… разложение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н
Замечание: G – аддитивная группа аρb -a+b H a+H = {a+hi/hi H}. 2). G =
3) G =
II. IIусть G – группа, H G. Рассмотрим бинарное отношение a b ba-1 H. Ha = {b G / ba-1 H, или a b} Ha=Ha G = H+ Ha 1 + Ha 2 +… Если G – аддитивная группа, то a b, если (b-a) H H+a – правый смежный класс
2)