Циклические подгруппы G – группа и a G.

Определение. Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической Примеры. 1. <{2 Z}, >=<2> – циклическая. 2. G=S 3 – не является циклической. 3. =<1>=<-1> – циклическая.

Пример. – не является циклической. . – не циклическая.

Бинарные отношения между элементами группы Пусть G – группа и H G. I. Введем бинарное отношение ρ следующим образом: Для a, b G, aρb, если a-1·b H. Докажем, что ρ – отношение эквивалентности. 1) рефлексивность aρa, т. к. a-1·a=e H. 2) симметричность Пусть aρb, т. е. a-1·b H (a-1·b)-1 H, т. е. b-1·(a-1)-1 = b-1·a H bρa. 3) транзитивность Пусть aρb, bρc, т. е. a-1·b H, b-1·c H (a-1·b)·(b-1·c) = a-1·c H aρc. Следовательно, группа G может быть разбита на классы эквивалентности. а. Н={b G / aρb} – левый класс эквивалентности.

Свойства классов эквивалентности 1. H=e. H сама подгруппа Н является левым классом эквивалентности. 2. a. H b. H= , если а b, т. к. это классы эквивалентности. 3. аρb a. H=b. H. 4. Если а е, то a. H G , т. к. не содержит элемент е (из свойства 2 e. H a. H = ). 5. 6. Если Н – конечная подгруппа группы G, то все классы эквивалентности содержат столько же элементов, сколько и подгруппа Н, т. е. если |Н|=k |a. H|=|b. H|=…=k.

а. Н T. а. Н=a. H, a. H={ah / h H}. Доказательство: 1) x а. Н aρx или a-1·x H a-1·x=h x= a·h x а. Н (1) 2) y а. Н y= a·h a-1·y=h или a-1·y H aρy y а. Н (2) (1) и (2) следует, что а. Н=a. H.

Определение. Множество a. H={ahi / hi H} называется левым смежным классом группы G по подгруппе Н. а. Н=a. H G=H + a 1 H + a 2 H +…+ ak. H+… разложение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н

Замечание: G – аддитивная группа аρb -a+b H a+H = {a+hi/hi H}. 2). G = – аддитивная группа комплексных чисел; H=; H G. z 1=a 1+b 1 i; (2+i)H 2+i i z 2=a 2+b 2 i; H ось абсцисс 2 z 1ρz 2, eсли –z 1+z 2 H. -a 1 -b 1 i + a 2+b 2 i R. Это возможно при b 1=b 2. Т. о. , z 1ρz 2, если Imz 1 = Im z 2.

3) G = – мультипликативная группа. H=<{z C / |z|=1}; ·>; H G. Пусть z 0=2(cos( /15)+isin( /15)), тогда z 0 H = {z C /|z|=2} H 1 z 0 2

II. IIусть G – группа, H G. Рассмотрим бинарное отношение a b ba-1 H. Ha = {b G / ba-1 H, или a b} Ha=Ha G = H+ Ha 1 + Ha 2 +… Если G – аддитивная группа, то a b, если (b-a) H H+a – правый смежный класс

2) ; H= a. H = {-2 h / h R+} Ha = {h(-2) / h R+}. a. H = Ha. a=-2.