Циклические перестановки Работу выполнили ученики 9 класса Мухиева Светлана и Летюшова Ольга
Задача: Найти шестизначное число, записанное различными цифрами, которое при умножении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает шестизначное, записанное теми же цифрами, но в другом порядке.
Решение: Путем цепочки несложных рассуждений о сохранении шестизначности, четности и нечетности цифр и учёта признаков делимости, находим это число 142857: 1. 142857=142857 2. 142857=285714 3. 142857=428571 4. 142857=571428 5. 142857=714285 6. 142857=857142 В произведениях круговая перестановка цифр первоначального числа.
Если сложить попарно 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 произведение, то в результате будет 999999: 1. 142857+6. 142857=142857. (1+6)= 142857. 7=999999 2. 142857+5. 142857=142857. (2+5)= 142857. 7=999999 3. 142857+4. 142857=142857. (3+4)= 142857. 7=999999
Продолжим первоначальную последовательность: 8. 142857=1142856(142857) 9. 142857=1285713(285714) 10. 142857=1428570(142857) 11. 142857=1571427(571428) 12. 142857=1714284(714285) 13. 142857=1857141(857142) 14. 142857=1999998() 15. 142857=2142855(142857) 16. 142857=2285712(285714) 17. 142857=2428569(428571) 18. 142857=2571426(571428) 19. 142857=2714283(714285) 20. 142857=2857140(857142) …………. . 89. 142857=12714273 (714285)
Если в семизначных произведениях первую цифру прибавить к последней, в восьмизначных две первые к двум последним и так далее, например, 2313. 142857=330428541, (428571) то цикличность продолжается. Только произведение чисел кратных 7 -ми выпадают из общей закономерности, они же и являются нитью, которая ведет к разгадке тайны круговых чисел. Так как 7 · 142857=999 999, то легко сделать вывод, что число 142857 представляет собой период дроби превращении её в десятичную. Все свойства числа 142857 мы найдём в каждом числе, составляющем период дроби , если в этом периоде (р-1) цифр, а р простое. Круговые числа дают, например, дроби
Если период, полученный при обращении дроби (где р – простое число) в десятичную дробь, насчитывает цифр , то мы будем иметь дело с другим типом круговых чисел. Умножая этот период на числа от 1 до р-1, получим две группы круговых чисел. Продемонстрируем на примере.
обозначим период буквой w, тогда: 1 · w =076923 2 · w =153846 3 · w =230769 4 · w =307692 5 · w =384615 6 · w =461538 7 · w =538461 8 · w =615384 9 · w =692307 10· w =769230 11· w =846153 12· w =923076 Итак, «цикличность» числа объясняется тем, что оно является периодом десятичной дроби, полученным при переводе из обыкновенной.
Скачать презентацию Циклические перестановки Работу выполнили ученики 9 класса Мухиева
e30b048984569f9743d5c68ea6d796bc.ppt