«Что такое ничего и что такое много» или «Число Грэма на пальцах» Александр ФИЛАТОВ Иркутский государственный университет alexander. filatov@gmail. com
Что идет за миллионом? Древние люди: «раз, два, много…» Детский сад: «десять, сто…» Начальная школа: «тысяча, миллион, миллиард…» Какое число самое большое? Потренируемся на кошках! 1012 – триллион 1015 – квадриллион 1018 – квинтиллион 1021 – секстиллион 1024 – септиллион 1027 – октиллион 1030 – нониллион 1033 – дециллион 1036 – ундециллион 1039 – додециллион
Миллион Дипломат с миллионом долларов (реально входит 600 тыс. )
Миллиард 1 млрд секунд ~ 32 года 7 млрд человек в мире 100 млрд звезд в галактике 100 млрд нейронов в головном мозге человека
Триллион 1 трлн рыб во всех океанах Земли 10 трлн клеток в теле человека 100 трлн $ - мировой ВВП 100 трлн см от Земли до Сатурна 100 трлн букв во всех книгах мира Квадриллион 1 квадриллион муравьев на Земле
Числовые монстры 1 квинтиллион комбинаций кубика Рубика (1018) 1 секстиллион звезд во Вселенной (1021) 1 септиллион – масса Земли в кг (1024)
В глубины Вселенной… 1026 метров – диаметр обозримой Вселенной 1051 атомов – составляют планету Земля 1080 – примерное количество элементарных частиц во Вселенной 10100 – гугол; просто круглое и красивое число, а также компания, которая поставила себе целью индексировать гугол ссылок 10122 – плотная упаковка Вселенной протонами 10185 – объем Вселенной в планковских объемах (кубиках размера планковской длины 10– 35 метра; меньших размеров наука не знает) 10185 – наибольшее число, которое в принципе может что-то значить в современной науке, которая может пощупать и измерить! ЧТО БОЛЬШЕ? ? ? Гуголплекс = 10 гугол ? (чтобы всего лишь записать такое число, понадобится вся обозримая Вселенная, если писать «наноручкой» прямо по вакууму _ПОЧТИ_ в планковские ячейки космоса!) Гуголплексгуголплекс ? ……………………………………………
В глубины Мультивселенных… Дохулион = 1010185 – цифра в каждой планковской ячейке Вселенной! Вселенная лишь одна из многих пузырьков Мультивселенной? Сколько всего пузырьков? Операция флип: Возьмем число, длиною со все сущее и представим себе Мультивселенную с подобным количеством Вселенных, каждая из которых под завязку исписана цифрами. Второй флип: Возьмем столько Вселенных, сколько было цифр во Вселенных, количество которых было равно дохулиону цифр, заполнявших нашу Вселенную. Третий-четвертый-десятый-тысячный… флипов…
Спустимся с небес на землю… Комбинаторика: размещения, перестановки, раски и прочие красивые, но (казалось бы!) абстрактные вещи. Число способов разложить колоду карт: 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000 или примерно 8 × 1067 Начало XX века – теория случайных графов, абстрактная теория Начало XXI века – топология связей имеет значение! ЗАДАЧИ: 1. Поиск спамовых колец. 2. Распространение эпидемий. 3. Каскадные дефолты в банковской системе. 4. Распространение общественного мнения. . . . .
Фейсбушка на курьих ножках Для BIG DATA нужны BIG NUMBERS !!!
Задача Франка Рамсея Пусть дан куб, все вершины которого соединены отрезками двух цветов, красного или синего. Можно ли так подобрать конфигурацию этих двух цветов, чтобы при раске отрезков у нас НЕ ВЫШЛО правой картинки, т. е. что все отрезки одного цвета, соединяющие четыре вершины, лежат в одной плоскости? 8 вершин, 28 отрезков… OK!!!
Задача Франка Рамсея Четырехмерный куб (тессеракт)? 16 вершин, 120 отрезков – OK! Пятимерный пентакуб? – OK! Шестимерный – OK! Семимерный – ? ? ? Восьмимерный – ? ? ? Рональд Грэм в 1971 – взялся за задачу, но доказать не смог ни для 7, ни для 8. Но доказал обратное: что существует минимальная размерность гиперкуба, при котором раски нет! Задача: Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с 2 n вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в синий цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости? Число Грэма!
Порисуем стрелочки Одна стрелочка – обычное возведение в степень 2↑ 2 = 22 = 4 3↑ 3 = 33 = 27 4↑ 4 = 44 = 256 … 10↑ 10 = 10 000 000 Две стрелочки – возведение в степень степени 2↑↑ 3 = 2↑ 2↑ 2 = 222 = 24 = 16 3↑↑ 3 = 3↑ 3↑ 3 = 333 = 327 = 7 625 597 484 987 (больше 7 триллионов) 3 3↑↑ 4 = 3↑ 3↑ 3↑ 3 = 333 = 37 625 597 484 987 = = число, в котором около 3 триллионов цифр 3 333 = 337 625 597 484 987 = 3↑↑ 5 = 3↑ 3↑ 3 = 3 в степени числа, в котором 3 триллиона цифр >> гуголплекс!!! 5↑↑ 8 – «башня» из восьми пятерок «Число ↑↑ другое число» показывает, какая высота степеней ( «башня» ) выстраивается из первого числа.
От «башен» к «безбашням» Три стрелочки: Если двойная стрелочка показывала высоту башни степеней, то тройная, казалось бы, укажет «высоту башни высоты башни» ? Какой там!!! Уже для тройки мы имеем высоту башни высоты башни (в математике такого понятия нет, назовем его «безбашней» ): 3↑↑↑ 3 – безбашня из троек, высотой 7 триллионов штук (отсюда и до Сатурна!), притом что пять троек покрывают гуголплекс!!! Движемся дальше… 3↑↑↑ 4 = 3↑↑ 3↑↑ 3 = 3↑↑ 7 625 597 484 987 = 3↑↑безбашня Не 3 в степени безбашни, а «три стрелочка безбашня» (!!!), она же безбашня безбашни. 3↑↑↑ 5 = 3↑↑ 3↑↑ 3 – заканчиваются слова!!! 3↑↑↑ 6 = 3↑↑ 3↑↑ 3↑↑ 3 – заканчиваются междометия!!!!!!!
Ни представить, ни описать!!! Четыре стрелочки: g 1 = 3↑↑↑↑ 3 = 3↑↑↑(3↑↑↑ 3) = 3↑↑↑ безбашня Рассчитывать его бесполезно, да и не получится! Количество степеней здесь не поддается осмысленному учету. Это число невозможно ни представить, ни описать. Никакие аналогии на пальцах неприменимы, число просто не с чем сравнивать. Можно говорить, что оно огромно, грандиозно, монументально и заглядывает за горизонт событий. Но визуализация, даже вольная и образная невозможна! Если с тремя стрелочками еще хоть что-то удавалось сказать, нарисовать безбашню от Земли до Сатурна, как-то с чем-то сопоставить, то тут аналогий быть просто не может! Попробуйте вообразить себе тонкую башню из троек от Земли до Сатурна, рядом еще одну почти такую же и еще одну, и еще. . . Бескрайнее поле башен уходит вдаль, в бесконечность, башни повсюду, башни везде! И, что самое обидное, эти башни даже отношения к числу не имеют, они лишь определяют высоту других башен, которые нужно построить, чтобы получить высоту башен. . . чтобы через невообразимое количество времени и итераций получить само число.
Рост эскалации от стрелочки к стрелочке 3↑ 3 = 27 3↑↑ 3 = 7 625 597 484 987 3↑↑↑ 3 = башня, высотой от Земли до Сатурна 3↑↑↑↑ 3 = число, которое невозможно ни представить, ни описать 3↑↑↑↑↑ 3 3↑↑↑↑↑↑ 3 …………………………………………… Стрелочек может быть сто!!! …………………………………………… g 2 = 3↑↑↑…↑↑↑ 3 g 1 стрелок Всё, что было написано до сих пор, расчеты, степени и башни, не помещающиеся в мультивселенные мультивселенных нужны были только для одного. Чтобы показать КОЛИЧЕСТВО СТРЕЛОК в числе g 2. Есть еще g 3, в котором содержится g 2 стрелок, а также g 4, g 5, g 6, …
Число Грэма = g 64 Game Over!
Назад в будущее! 10000 лет назад человек вышел из пещер 500 лет назад доказал, что земля круглая 400 – «а всё таки она вертится» ! 200 – с помощью пара привел в движение мёртвый металл 100 – поверил в полёты на аппаратах тяжелее воздуха 60 – вышел в космос 20 – запустил мировую сеть 5 – в ней осела половина человечества… Всё, что мы в состоянии осознать сегодня, воплотится в реальность завтра! НАСТОЯЩЕЕ будущее рождается в НАСТОЯЩЕМ настоящем! To be or not to be continued…