Что будете знать 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Исследования Тихо Браге Законы Кеплера Свойства эллипсов Силы взаимодействия Ньютон и его закон Уточненный третий закон Кеплера Дополнение
БРАГЕ (Brahe) Тихо (1546– 1601), датский астроном. Браге сделал много астрономи- ческих открытий, но главная его заслуга была в следую- щем. Он не был сторонником системы мира Коперника, а хотел доказать свою геогелиоцентрическую систему. Для этой цели он в течение 20 лет(!) проводил наблюде- ния Марса. Именно эти наблюдения позволили позднее Кеплеру установить законы движения планет.
Гео-гелиоцентрическая система (2 варианта согласно Тихо Браге) В центре – Земля. 2. Вокруг Земли вращаются Луна, Солнце и звезды 3. Вокруг Солнца вращаются все планеты. 1. В центре Земля. 2. Вокруг Земли вращ Солнце, звезды, Ма и Сатурн. 3. Вокруг Солнца вра рий и Венера. .
КЕПЛЕР (Kepler) Иоганн (1571– 1630), немецкий астроном, один из творцов астрономии нового времени. Предположил, что природа планет родственная земной. Кеплер был сторонником идей Коперника, согласно которой планеты обращаются вокруг Солнца. На основе многолетних наблюдений, выполненных Тихо Браге, он открыл законы движения планет (1609, 1602, 1618 года) и составил эфемериды. Заложил основы теории затмений. Изобрел телескоп, в котором объектив и окуляр – двояковыпуклые линзы. Выведенные из наблюдений законы Кеплера были использованы впоследствии Ньютоном для обоснования закона всемирного тяготения.
Кеплер был сторонником пифагорейского учения, согласно которому придавалось большое значение магии чисел и геометрических фигур. Поэтому для определения расстояний планет от Солнца, он пытался построить систему правильных геометрических фигур: - сперва внутри треугольной пирамиды Кеплер размещает внутреннюю сферу, - затем вокруг этой пирамиды строится внешняя сфера, - затем вокруг этого куба опять-cтроится сфера, вокруг этой сферы строится куб, - вокруг последней сферы строится октаэдр и т. д. Таким образом Кеплер получил 6 сфер – по числу 6 известных в его время планет.
Первый закон Кеплера Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Минимальное расстояние до фокуса F А Максимальное расстояние до фокуса В Этот закон применим не только к планетам, но и к спутникам Земли и планет, к двойным звездам, галактикам и др. Для точек А и Б используется следующая терминология: - если в фокусе Земля: - А – апогей, - В - перигей: - если в фокусе Солнце: - А – афелий, - В - перигелий; - если в фокусе звезда: - А – апоастр, - В - периастр.
Свойства эллипса C A . F 1 O D E . F 2 F 1 E+F 2 E=AB OA=OB=a – большая полуось B OC=OD=b – малая полуось OF 1/a=e – эксцентриситет F 2 B=q – перигелийное расстояние, F 2 A=Q – афелийное расстояние, q=a (1 -e) Q=a (1+e)
Орбита Земли Весеннее равноденствие Март 20/21 Летнее солнцестояние Июнь 21/22 Афелий Июль 4 152 500 000 км Осеннее равноденствие Сентябрь 22/23 147 500 000 км Перигелий Январь 3 Зимнее солнцестоян иеедекабрь 21/22 Примеры: Эксцентриситет орбиты Земли e = 0. 08182. Период обращения Земли = 365. 26 суток. Средняя скорость вращения 30 км/сек. Эксцентриситет орбиты Луны = 0. 055. Эксцентриситет орбиты Плутона = 0. 248. Эксцентриситет орбиты кометы Галлея = 0. 967.
Второй закон Кеплера Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна. Скорость движения планеты в перигелии где – средняя или круговая скорость планеты при r = a. Скорость движения в афелии Площадь 1 S 21 равна площади 3 S 43 Вывод: движение планет неравномерное!!
Третий закон Кеплера Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит. это запись закона в первоначальной формулировке Кеплера. это уточненная запись закона, полученная с использованием закона всемирного тяготения. массы планет, масса Солнца.
Фундаментальные силы взаимодействия слабые Относительная роль Гравитация 6*10 -39 везде Слабые ядерные силы Электромагнитные сильные Зона действия Сильные ядерные силы 10 -5 внутри ядра 1/137 везде 1 внутри ядра В астрономических объектах все эти силы играют свою роль. Но главная сила, определяющая начальные, промежуточные и конечные стадии развития, это сила гравитации.
Закон всемирного тяготения НЬЮТОН (Newton) Исаак (1643– 1727), английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики, член (1672) и президент (с 1703) Лондонского королевского общества. В 1664– 1667 годах, когда в Лондоне свирепствовала чума, Ньютон сделал 3 важнейших открытия: дифференциальное и интегральное исчисления, объяснение природы света, закон всемирного тяготения, описанные в фундаментальных трудах «Математические начала натуральной философии» (1687) и «Оптика» (1704). В механике Ньютон продолжил труды Галилея и Кеплера. Он сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, дал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики. Пространство и время считал абсолютными. Надгробие на могиле Ньютона «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики движение планет, пути комет и приливы океанов. Он исследовал различие световых лучей и проявляющиеся при этом различные свойства цветов. . . Пусть смертные радуются, что существует такое украшение рода человеческого» .
d Гравитация Ньютон знал, исходя из 3 закона механики, что сила гравитации должна быть взаимна между двумя телами. Применяя им же развитый «метод флюксий» (малых величин) к орбите Луны, он установил, что эта сила обратно пропорциональны квадрату расстояния G есть постоянная гравитации (G = 6. 67 x 10 -8 дина. cм 2/грамм 2). Силы тяготения – настолько слабы, что G во времена Ньютона не была измерена.
Закон всемирного тяготения (продолжение) С Закон всемирного тяготения (ЗВТ)формулируется для материальных точек
Применимость ЗВТ к небесным телам (неточечным) Ньютон показал, что его формула верна и для таких случаев: 1. Взаимодействие двух однородных сфер 2. Взаимодействие сфер с концентрическим распределением плотности 3. Комбинации этих вариантов 4. Вопрос: верен ли ЗВТ для тел иной формы?
Вывод 3 закона Кеплера V . M . m a aотн a=ω2 r=V/r- ускорение при круговом движении, ω=2π/T- угловая скорость a=4π2 r/T 2 а 1=GM/r 2 -ускорение, вызываемое телом массы М; а 2=Gm/r 2 -ускорение со стороны тела массы m; aотн=G (M+m)/r 2 – относительное ускорение двух тел; a=aотн. Тогда r 3/T 2(M+m)=G/4π2=const Отношение этих величин для двух планет дает уточненный третий закон Кеплера.
Почему Кеплер не «заметил» массы? Массы планет намного меньше массы Солнца: Тогда:
+
Что будем знать 1. Задача двух тел 2. Запуск ИСЗ и КК 3. Элементы планетных орбит 4. Задача трех тел 5. Приливы и отливы
Закон всемирного тяготения и движение планет Результатом гравитационного взаимодействия двух тел будет их относительное движение согласно законам Кеплера. Другими словами, в этом случае никакого воздействия со стороны третьего тела нет. Форма и размер орбит определяется решением так называемой задачи двух тел, а движение будет называться невозмущенным.
При движении этих двух тел, конечно, будет соблюдаться закон сохранения энергии: (M и m – массы тел, V-скорость движения, r – расстояние между телами) Рассмотрим частные случаи: – это означает, что кинетическая энергия тела мала, чтобы преодолеть силу гравитации: тело будет вращаться по замкнутой орбите – эллипсу. При . Это движение по параболе. При будет стремится к постоянной величине. Это будет движение по гиперболе.
Задача двух тел р>0 Па ра бо л а p = 0 ла пербо Ги Эллипс Круг В зависимости от значения первоначальной Эллипс p < 0 скорости движения и направления вектора движения форма и размер орбит будет следующими: круг, эллипс, парабола, гипербола.
Конические сечения Круг Эллипс Парабола Гипербола Упомянутые кривы являются результатом сечения конуса плоскостями, проведенными под определенными углами к основани
Космические скорости Скорость в любой точке орбиты (из теории) v 2 =G(M+m)(2/r-1/a), где r – есть расстояние до фокуса, а – большая полуось орбиты: Частные случаи: r =a, v 2 = G(M+m)/r - круг, а = , v 2 = G(M+m)(2/r) - парабола.
Запуск ИСЗ 1. Запускающая ракета обычно состоит из нескольких ступеней. 2. Первые ступени используются для h вертикального прохождения плотных слоев атмосферы до Rз высоты h (примерно в 150 км. ) 3. Затем последняя ступень ракеты сообщает ИСЗ скорость V в горизонтальном направлении 4. Выбор этой скорости V зависит от того, какую орбиту ИСЗ необходимо иметь: - круговая орбита: V 2=V 2 круг(h)=GMз/(Rз+h). Mз и Rз – масса и радиус Земли. Массой ИСЗ пренебрегаем. При h=0 имеем Vкруг(h=0)=7. 91 км/сек – это первая космическая скорость. - эллиптическая орбита: V>Vкруг(h) - параболическая орбита: V 2=V 2 параб(h)=2 GMз/(Rз+h). При такой скорости ИСЗ покинет поле тяготения Земли. При h=0 имеем Vпараб(h=0)=11. 2 км/сек – это вторая космическая скорость. V
Выбор орбиты ИСЗ определяется назначением (примеры 1 и 2) Полярные орбиты Геосинхронная орбита Некоторые спутники запускаются на орбиту с радиусом в 35 700 км. Метеорологические спутники и По спутники-шпионы имеют поляртретьему закону Кеплера ную орбиту. За счет вращения спутник на Земли вокруг своей оси спутник такой орбите будет иметь может обозревать всю территориюпериод в 24 Земли. часа. Если наклон его орбиты к экватору сделать равным 0
35 700 км Три геостационарных спутника обеспечивают связь между всеми точками земного шара.
Выбор орбиты ИСЗ определяется его назначением (пример 3) Молния Допустим, нам необходимо обеспечить телекоммуникационной связью северные города России. Тогда надо запустить такой спутник, который находился бы над этими городами долгое время. Отсюда следует, что орбита должна быть сильно эксцентричной и должна иметь большой угол наклона орбиты к земному экватору. Причем самая вытянутая часть орбиты должна находится на территорией северных городов. Например, спутник серии «Молния» имеет в перигее расстояние в 1470 км, а апогее 38 900 км. Угол наклона орбиты равен 630. 4. Период обращения равен 12 часов. Приведенная схема показывает, что этот спутник решает поставленную задачу.
Система GPS и ГЛОНАС Система Global Positioning System (GPS) предназначена для использования спутников Земли для решения задач определения положений объекта (субъекта) на поверхности Земли. Система включает 24 cпутника. Эту задачу решает и российская система ГЛОНАС
Запуск ИСЗ «INTEGRAL» на эллиптическую орбиту (2003 г. ) Отделение 3 ступени ракеты Отделение 2 ступени ракеты Отделение 1 ступени ракеты Запуск ИСЗ с помощью ракеты «Протон» Орбита ИСЗ
Запуск космических кораблей (КК) 1. Первые ступени ракеты преодолевают плотные слои атмосферы (вертикально). 2. Последняя ступень ракеты сообщает КК на высоте h необходимую параболическую скорость, чтобы КК покинул поле тяготения Земли. 3. Далее КК двигается под влиянием поля тяготения Солнца. 4. На определенном этапе движения делается корректировка орбиты для достижения научной цели: выход на орбиту вокруг планеты, посадка на планету или ее спутник. Эти этапы показаны на следующем слайде – на примере посылки КК на спутник Марса Фобос, посадки спускаемого модуля на Фобос, забора грунта, старта модуля с поверхности Фобоса, полета для возвращения модуля на Землю.
Пример: этапы запуска КК на спутник Марса Фобос Пояснения: КА – космический аппарат, РН – ракета-носитель, ЭРДУ-электроракетная установка, ДУ – двигательная установка,
35
Для вывода формулы мы используем ряд известных Ньютону фактов и некоторые интуитивные (и достаточно очевидные) соображения. Что было известно Ньютону о Земле и вращении Луны: 36
1) То, что сила взаимодействия между двумя массами M 1 и M 2 пропорциональна произведению M 1 M 2 , следует из симметрии взаимодействия. Итак: F~M 1 M 2 2) Однако зависимость силы от расстояния между массами не ясна. Интуитивно, можно предположить, что эта сила изменяется (интуитивно-уменьшается) по закону r-n. Определим значение n, используя факты из обращения Луны вокруг Земли. 37
38
Приравниваем обе силы: В итоге имеем: Отсюда получаем, что наблюдаемое значение может получиться только при значении n=2. Итого:
