Чистая математика — это такой предмет где мы

Чистая математика - это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. Бертран Рассел

Логика высказываний как средство описания электрических схем Логический элемент компьютера – это схема, реализующая логические операции И, ИЛИ, НЕ.

Пропозициональная переменная трактуется как выключатель, который может быть включен (0) или выключен (1). Последовательное соединение двух выключателей реализует операцию , а параллельное – операцию . Об электрических схемах можно рассуждать в терминах пропозициональной логики.

В технических приложениях операция конъюнкции называется логическим умножением. Эту операцию можно проиллюстрировать работой следующей электрической цепи: H 1 – контакт замкнут, ток в цепи есть 0 – контакт разомкнут, тока в цепи нет Q

Операцию дизъюнкции в технических приложениях называют логическим сложением. Простейшая электрическая цепь, иллюстрирующая эту операцию, имеет вид: H Q

Рассмотрим такую игру. Ход каждого игрока состоит в включении или выключении переключателя, находящегося под управлением данного игрока. Если оба игрока выполняют одно и то же действие, то выигрывает игрок 1, если нет – игрок 2. Постройте схему так, чтобы при выигрыше игрока 1 загоралась лампочка.

Комитет из трёх человек хочет применить электрическую схему для регистрации тайного голосования простым большинством голосов. Голосующий «за» нажимает кнопку, «нет» – не нажимает. Какая схема может обеспечить возможность такого голосования?

Тождественно-истинная формула логики высказываний (или «тавтология» , «общезначимая формула» ) – это формула, являющаяся истинной при любых наборах значений входящих в неё пропозициональных переменных. Например: А А А В В А

Тождественно-истинные формулы логики высказываний называют законами этой логики В истинности каждой такой формулы можно убедиться, построив соответствующую ей таблицу истинности. Запись ╞А означает, что формула А общезначима. Например, ╞А (В А) ╞А А В

Некоторые законы логики высказываний Закон тождества: А А Закон отрицания противоречия: (А А) Закон исключённого третьего: А А Законы снятия и введения двойного отрицания: А А А

Законы де Моргана связывают конъюнкцию и дизъюнкцию: а) отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний: ¬(А В) (¬А ¬В) б) отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний: ¬(А В) (¬А ¬В)

Закон контрапозиции устанавливает связь между прямой и обратной импликацией. При переходе от прямой импликации к обратной происходит перестановка членов импликации и замена каждого из них его отрицанием: (А → В) (¬В → ¬А)

Законы, позволяющие выразить импликацию через дизъюнкцию и отрицание (конъюнкцию и отрицание): (А В) ( А В) (А В)

Перечисленные выше законы логики высказываний – это схемы соотношений между высказываниями. Такие схемы можно превращать в высказывания, подставляя формулы вместо символов пропозициональных переменных. Например, если вместо А подставить p q, а вместо В - p q, то схему (А → В) (¬В → ¬А) можно переписать так: (p q → p q) (¬(p q) → ¬(p q))

Введём обозначения для высказываний: Y - «Разговор интересен» ; M – «Иванов ушёл» ; B – «Петров ушёл» ; C – «Сидоров ушёл» . Постройте формулу пропозициональной логики для высказывания, являющегося отрицанием данного: Если разговор будет интересным, то никто из участников (Иванов, Петров, Сидоров) не уйдёт. Упростите полученную формулу, воспользовавшись законами де Моргана.