Числовые характеристики случайных величин План лекции 1

Числовые характеристики случайных величин

План лекции: 1. 2. 3. 4. Понятие вероятности. Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Числовые характеристики случайных величин.

Относительная частота события • Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. • Изменение относительной частоты появления орла • Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Примеры устойчивости относительной частоты • • Пример 1. По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами: 0, 486; 0, 489; 0. 490; 0, 471; 0, 478; 0, 482; 0, 462; 0, 484; 0, 485; 0, 491; 0, 482; 0, 473. Относительная частота колеблется около числа 0, 482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек. Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты. Пример 2. Многократно npoводились oпыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления "герба". Результаты нескольких опытов приведены в таблице Число бросаний 4040 12000 24000 Число появлений «герба» 2048 6019 12012 Относительная частота 0, 5069 0, 5016 0, 5005

Статистическое определение вероятности • Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов. • В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Задачи: 1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара 5? 2 или 5? не превосходит 10? 2. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. 3. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые? 4. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар? 5. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Понятие случайной величины Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин. Пример 1: 1) Курс доллара в наугад взятый день, 2) Цены товаров, 3) Прибыль или убытки фирмы, предприятия, организации, 4) Время ожидания транспорта при поездке на работу, 5) Число очков при бросании игральной кости. Каждой случайной величине соответствует множество значений, которые она может принимать. Пример 2: число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать целые значения от 0 до 100.

Дискретная и непрерывная случайная величина Определение: Случайная величина, принимающая отдельные возможные значения с определенными вероятностями, называется дискретной случайной величиной. Пример: х - число телефонных звонков за время t; х - число бракованных изделий в партии. Определение: Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого сколь угодно малого промежутка всевозможных значений. Пример 3: х – годовой пробег автомобиля; х – расход электроэнергии предприятия за год.

Закон распределения дискретной случайной величины Для того чтобы работать со случайными величинами, надо знать в той или иной форме вероятности тех или иных значений случайной величины. Так, для дискретной случайной величины надо знать вероятности отдельных ее значений. Пример 4: х - число очков при бросании игральной кости; х = 1, 2, 3, 4, 5, 6; р(х=1) = р(х=2)= р(х=3)= р(х=4)= р(х=5)= р(х=6) = 1/6 Х 1 2 3 4 5 6 Р(х) 1/6 1/6 1/6 Соотношение между всевозможными значениями ДСВ и соответствующими им вероятностями называется законом распределения ДСВ.

Табличный закон распределения Рассмотрим закон распределения дискретной случайной величины в виде соответствующей таблицы, состоящей из двух строк; первая указывает возможные значения, а вторая — их вероятности: Хi x 1 x 2 … … … xn Р(хi) p 1 p 2 … … … pn поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события Х=х1, Х=х2, . . . , Х=хn образуют полную группу, т. е. сумма их вероятностей равна единице: p(x=х1) +…+ p(x=хn) = 1. Если множество возможных значений X дискретной случайной величины бесконечно, то соответствующий ряд вероятностей сходится и его сумма равна единице: p(x=х1) +…+ p(x=хn) + … = 1.

Числовые характеристики дискретных случайных величин Пусть случайная величина X имеет табличный закон распределения: Хi x 1 x 2 … … … xn Р(хi) p 1 p 2 … … … pn Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M(X) = х1 р1 +х2 р2 +…+хn рn Из этого определения следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значению случайной величины.

Пример 1. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0, 2 для каждого из заемщиков. Таблица закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования имеет вид. Найти математическое ожидание невозврата кредитов. Хi 0 1 2 3 4 5 Р(хi) 0. 32768 0. 4096 0. 2048 0. 0512 0. 0064 0. 00032 M(X) = х1 р1 +х2 р2 +…+хn рn M(X) = 0*0, 32768 + 1*0, 4096 + 2*0, 2048 + 3*0, 0512 + 4*0, 0064 + 5*0, 00032= 1

Выполнить самостоятельно: Найти математическое ожидание случайной величины, закон распределения которой задан таблицей: Хi 0 1 2 3 4 5 Р(хi) 0, 1 0, 3 0, 2 0, 1

Дисперсия дискретной случайной величины Определение. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X - М (X). Определение. Математическое ожидание квадрата отклонения называется дисперсией, или рассеянием: D(Х) = М[Х-М(Х)]2. Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания. D(Х) = [x 1 -М(Х)]2 p 1 + [x 2 -М(Х)]2 p 2 +…+ [xn-М(Х)]2 pn. D(Х) = M(X 2) - М(Х)2

Пример 3. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным таблицы Решение. Закон распределения случайной величины X имеет вид Хi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Р(хi) 0, 25 0, 2 0, 1 0, 05 0, 025 Математическое ожидание М(Х 2) подсчитывается из этой таблицы: М (X 2) = 0 0, 25 + 1 0, 2 + 4 0, 1 + 9 0, 1 + 16 0, 1 + 25 0, 1 + 36 0, 05 + 49 0, 05 + 64 0, 025 + 81 0, 025 = 13, 475. Математическое ожидание М(Х) = 2, 675. Следовательно, получаем искомую величину дисперсии: • D(X) = M(X 2)-M(X)2 = 13, 475 - 7, 156 = 6, 319.

Выполнить самостоятельно: Найти дисперсию случайной величины, закон распределения которой задан таблицей: Хi 0 1 2 3 4 5 Р(хi) 0, 1 0, 3 0, 2 0, 1

Среднее квадратическое отклонение Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X (стандартом) называется квадратный корень из ее дисперсии В случае суммы взаимно независимых случайных величин справедлива формула:

Выполнить самостоятельно: 1. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины, закон распределения которой задан таблицей: Хi 0 1 2 3 4 5 Р(хi) 0, 1 0, 3 0, 2 0, 1 2. Найти дисперсию случайной величины Х+3 Y+2, если М(Х) = 2, М(Y) = 3.

Генеральная и выборочная совокупности o o Применение большинства статистических методов основано на идее использования небольшой случайной совокупности испытуемых из общего числа тех, на которых можно было бы распространить (генерализовать) выводы, полученные в результате изучения совокупности. Эта небольшая совокупность (с. , реально изученная) в статистике называется выборочной совокупностью (выборкой). Главный принцип формирования выборки — это случайный отбор испытуемых из мыслимого множества учащихся, называемого генеральной совокупностью (с. , подлежащая изучению) или популяцией объектов или явлений. Как по анализу элементов, содержащихся в капле крови, медики нередко судят о составе всей крови человека, так и по выборочной совокупности учащихся изучаются явления, характерные для всей генеральной совокупности. Пример: Если из 50 акций 50 различных компаний отобрано для финансового анализа 10, то объем генеральной совокупности N = 50, а объем выборки n = 10.

Статистический и вариационный ряд Предположим, что изучается ДСВ Х. Проводится ряд независимых опытов, в каждом из которых случайная величина Х принимает конкретное значение Х 1, Х 2, …, Хn, называемое вариантой. Совокупность всевозможных вариант случайной величины Х называют статистическим рядом. Статистическая совокупность, расположенная в порядке возрастания признака называется вариационным рядом. Вариационный ряд называется дискретным, если его члены принимают конкретные изолированные значения. Если члены ряда могут заполнить некоторый интервал, то такой ряд называется непрерывным.

Пример: o Приведем оценки 45 студентов по курсу статистика в порядке сдачи экзамена: o 533424435445544 o 333255444343454 o 444334343232333 o Составим вариационный ряд.

Задача: o В 2002 году количество служб, представляющих гражданам жилищные субсидии, по сельским районам области распределено следующим образом: o 5, 1, 1, 1, 5, 1, 10, 1, 1, 1, 4, 4, 5, 1, 1. o Составить вариационный ряд.

Статистический закон распределения ДСВ Пусть величина Х принимает конкретное значение Х 1, Х 2, …, Хn , причем Х 1 наблюдалось n 1 раз, Х 2 - n 2 раз, …, Хк - nк раз; n – объем выборки. Числа ni называют частотами наблюдаемых значений случайной величины, а отношение ni /n = μi – относительной частотой случайной величины Х. Статистическим распределением выборки ДСВ Х называется перечень вариант и соответствующих им относительных частот. Полученная таблица называется статистическим рядом. Х(1) Х(2) … Х(k) μ 1 μ 2 … μk

Мода, медиана, размах варьирования дискретной случайной величины Модой Мо называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Медианой me называется варианта, которая делит пополам вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т. е. k=2 L+1, то me =x. L+1 ; если же число вариант четно k=2 L, то me =(x. L +x. L+1)/2. Размахом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки: R= xmax – xmin Пример: х 4 7 8 12 17 ni /n 0. 1 0. 25 0. 3 0. 15 Мо = 12, me = 8, R = 13