Числовые характеристики случайной величины 1 Числовые характеристики

Числовые характеристики случайной величины 1

Числовые характеристики случайной величины • Применяются вместо закона распр. СВ • В сжатой форме выражают наиболее существенные особенности распр. • К ним относятся начальные и центральные моменты СВ, • Важнейшие из них носят название математического ожидания и дисперсии. 2

Математическое ожидание • Математическое ожидание – числ. хар. положения СВ на числ. оси. • Это некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные знач. СВ. • Это центр рассеяния значений СВ. 3

Математическое ожидание • Обозначения мат. ожидания: • и некоторые другие. 4

Математическое ожидание • Мат. ожидание дискретной СВ определяется как: • где . 5

Математическое ожидание • Мат. ожидание непрерывной СВ выражается интегралом: • где а – плотность вероятности, – элемент вероятности 6

Математическое ожидание • M(X) имеет размерность СВ; • может быть выражено как положит. , так и отрицат. числом 8

Математическое ожидание • При увелич. числа набл. среднее арифметич. СВ сходится по вероятности к ее мат. ожиданию, т. е. • где - среднее арифметическое СВ X 9

Свойства M(X) • 1. • 2. где • 3. • 4. • 5. независимых СВ ! • 6. если - только для 11

Дисперсия случайной величины • Дисперсия – числ. хар. степени рассеяния, • тесноты группировки… • … всевозм. знач. СВ около ее M(X). • Дисперсия характеризует точность измерений, если – результаты измерений. 12

Дисперсия случайной величины • Обозначения: и некоторые другие. 13

Дисперсия случайной величины • Определение: дисперсией называется мат. ожидание квадрата отклонения СВ от ее мат. ожидания, т. е. 14

Дисперсия случайной величины • Согласно определению дисперсии и определению мат. ожидания: • для ДСВ • , • для НСВ • - область интегрирования совпадает с областью всех возможных значений СВ 15

Дисперсия случайной величины • Практически для вычисления дисперсии как ДСВ, так и НСВ используется более удобная формула: • В ней • - для ДСВ 16

Дисперсия случайной величины - для НСВ. 17

Среднее квадратическое отклонение • Дисперсия имеет размерность квадрата размерности СВ • Это неудобный показатель точности измерений • Поэт. вводится положит. корень квадр. из D(X) • Он называется средним квадратическим отклонением и обозначается 18

Среднее квадратическое отклонение • Ср. кв. откл. имеет размерность СВ • Это более удобный показатель точности измерений 19

Свойства Дисперсии 1. 2. 3. 4. , где Ср. кв. отклонения 1. 2. 3. , где - 20

Задача • ДСВ задана рядом распределения: 0 1 2 0. 5 0. 3 • Вычислить M(X), D(X) и σ(X). 21

Решение • 1. • 2. • • • 3. . . 22

Задача • Непрерывная СВ задана плотностью вероятности • Вычислить математическое ожидание, дисперсию и ср. кв. отклонение. 23

Решение 1. 2. 3. 24

Моменты случайной величины • M(X) и D(X) – важнейшие из моментов СВ, • которые (моменты) используются для описания различных ее свойств. • Определим понятие этих моментов. 25

Начальные моменты СВ • Определение 1. Начальным моментом k - го порядка СВ X называется • мат. ожидание k-й степени этой СВ, • т. е. • . 26

Начальные моменты СВ • Согласно определению: 27

Начальные моменты СВ • • Если k = 0, то. Если k = 1, то. Если k = 2, то. Т. о. мат. ожидание СВ есть начальный момент 1 -го порядка этой СВ , а дисперсия м. быть выражена через нач. моменты 1 -го и 2 го порядков: • . 28

Центральные моменты СВ • Определение 2. Центральным моментом k-го порядка СВ X называется • мат. ожидание k-й степени отклонения этой СВ от ее мат. ожидания, • т. е. мат. ожидание k-й степени соответствующей центрированной СВ: • где знач. СВ X. – центрированное 29

Центральные моменты СВ • Центрированная СВ получается при переходе от ряда значений СВ X: • к ряду , • где. • Центрирование равносильно переносу начала координат из нуля в среднюю – «центральную» – точку, • т. е. в точку. 30

Центральные моменты СВ • Согласно определениям центр. момента и мат. ожидания: 31

Центральные моменты СВ • Если k = 0, то • если k = 1, то ; • если k = 2, то • , • т. е. дисперсия СВ есть центральный момент 2 -го порядка этой величины: 32

Центральные моменты СВ • Теоретически при симметричности кривой распр. все центр. моменты нечетных порядков равны нулю, т. е. • Практически это свойство используется для характеристики асимметрии (скошенности) кривой распределения. 33

• Вводится коэффициент асимметрии А: • где – центральный момент 3 -го порядка, а – ср. кв. отклонение СВ 34

• Центр. момент 4 -го порядка используется для характеристики положения вершины кривой распр. относительно эталона – т. н. нормального распределения, для кот. отношение • . 35

• Вводится числовая характеристика , называемая эксцессом кривой распределения и вычисляемая как 36

Мода • Модой СВ называется такое значение этой СВ, которому соответствует максимальная плотность вероятности, т. е. • Другими словами, мода – это наиболее часто встречающееся значение СВ. 38

Медиана • Медианой называется срединное значение СВ, т. е. такое ее знач. , при котором: • Медиана делит площадь под кривой распр. на две равновеликие части. 39