Числовые ряды (не всякая бесконечная сумма чисел равна бесконечности) Лекция № 6
Сходимость и сумма числового ряда Определение. Числовой ряд – сумма элементов бесконечной числовой последовательности: un – общий или n-й член ряда – n-я частичная сумма ряда Сходящийся ряд: Расходящийся ряд: (S – сумма ряда) или не 2
Примеры числовых рядов Пример 1: Пример 2: Пример 3: 3
Свойства сходящихся рядов 1. Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость. 2. Если ряд также и ряд сходится и имеет сумму S, то сходится ( 0 – число) причем сумма этого ряда равна S. 3. (Необходимое условие сходимости ряда) Если ряд сходится, то 4. Если два ряда сходятся то сходится и ряд 4
Замечание 3 -е свойство является необходимым, но не достаточным 5
Достаточные признаки сходимости Ряды с неотрицательными членами Основное свойство: последовательность частичных сумм ряда является неубывающей Необходимое и достаточное условие сходимости: Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена. 6
Признаки сравнения Теорема. Пусть для двух рядов с неотрицательными членами Тогда из сходимости ряда bn следует сходимость ряда an. А расходимость ряда an влечет за собой расходимость bn. Док-во: Рассмотрим частичные суммы рядов Пример 1: Пример 3: Пример 2: (ряд Дирихле) При = 1 ряд называется гармоническим. Ряд Дирихле сходится при > 1 и расходится 1. 7
Предельный признак сравнения Теорема. Если для двух рядов с положительными членами То оба ряда сходятся и расходятся одновременно. Признак Даламбера Теорема. Пусть для ряда с положительными членами существует Тогда этот ряд сходится при < 1 и расходится при > 1. 8
Примеры применения признака Даламбера =a = e > 1 ряд расходится 9
Признак Коши Теорема. Если существует предел То ряд сходится при L < 1 и расходится при L > 1. Пример 1: Пример 2: 10
Знакопеременные ряды - знакочередующийся ряд Признак Лейбница: Если последовательность абсолютных величин членов знакопеременного ряда является невозрастающей и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится. 11
Доказательство: - последовательность монотонно возрастающая - последовательность ограничена 12
Замечание. В признаке Лейбница существенны оба условия!! Сложим каждые два члена и получим расходящийся ряд: 13
Следствие: Погрешность приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена. Пример: Какое число членов ряда необходимо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0, 001? 14
Абсолютная и условная сходимость (1) -Абсолютно сходящийся ряд, если сходится (2) (1) – условно сходящийся ряд, если ряд (2) расходится Примеры: 15
Различие свойств абсолютно и условно сходящихся рядов Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Пример. 16
Скачать презентацию Числовые ряды не всякая бесконечная сумма чисел равна
Лекция 06. Числовые ряды.ppt