Числовые последовательности ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СОСТАВЛЯЮТ ТАКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИРОДЫ

Числовые последовательности

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СОСТАВЛЯЮТ ТАКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПРИРОДЫ, КОТОРЫЕ МОЖНО ПРОНУМЕРОВАТЬ Дни недели Дома на улице Классы в школе Названия месяцев Номер счёта в банке

ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 08. 02. 2018 19: 56 Выпишем в порядке возрастания положительные четные числа. Первое число -2 Второе число -4 Третье число -6 Четвертое число -8 и т. д. Получим ряд чисел: 2; 4; 6; 8; …; 2*n; … он образует последовательность. Числа, образующие последовательность, называются первым, вторым, …, n-м членом последовательности:

08. 02. 2018 19: 56 ОБОЗНАЧЕНИЕ Обозначают члены последовательности: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; … ; an ; … Читают: ( « а первое» , «а второе» , … , «а n- ое» , … ) Последовательность a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; … ; an ; … обычно обозначают (an)

Примеры последовательностей 08. 02. 2018 19: 56 Бесконечные последовательности: (an) 1, 3, 5, 7, 9, 11, … - последовательность нечетных чисел (возрастающая) (an) -5, -10, -15, -20, -25, … - последовательность отрицательных чисел, кратных 5 (убывающая) Конечные последовательности: (an) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - последовательность однозначных натуральных чисел. (an) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – последовательность двузначных чисел, кратных 10.

08. 02. 2018 19: 56 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 1. 2. Описанием Формулой общего члена 3. Рекуррентный 4. Таблицей

08. 02. 2018 19: 56 ЗАДАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПИСАНИЕМ Пример: Составить последовательность, в которой на четных местах 0, на нечетных местах – 1. Получим последовательность: (an) 1; 0; …

ЗАДАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФОРМУЛОЙ 08. 02. 2018 19: 56 1) an= 3*n +2, a 5 = 3*5+2 a 10 = ? a 100 = ? 2) an= 3+n , a 5 = ? a 100 = ? 3) an= n 2+1, a 5 = ? a 100 = ? 4) an= 2 n-1 , a 5 = ? a 7 = ? a 10 = ? 17 32 302 8 13 103 26 101 10001 16 64 512

08. 02. 2018 19: 56 РЕКУРРЕНТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Название способа произошло от слова «recurro» возвращаться. Рекуррентной называется формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого через предыдущие. Например: а 1 =4, an+1 = an +1 a 2= a 1 +1= 4+1=5, a 3= a 2 +1= 5+1=6, …

08. 02. 2018 19: 56 ТАБЛИЧНЫЙ СПОСОБ an a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 (an ) 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

НАЙДИТЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ И ПОКАЖИТЕ ИХ С ПОМОЩЬЮ СТРЕЛКИ: П 1; 4; 7; 10; 13; … ½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6; В порядке возрастания положительные нечетные числа 10; 19; 37; 73; 145; … В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 6; 8; 16; 18; 36; … В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 Р О В Е Р Ь С Е Б Я Увеличение на 3 Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза 1; 3; 5; 7; 9; … 5; 10; 15; 20; 25; … Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1

Последовательности заданы формулами: an=n 4 an=n+4 an=(-1)nn 2 an=3 n-1 an=2 n-5 an=-n-2 Выполните следующие задания: 1. Впишите пропущенные члены последовательности: ПРОВЕРЬ 1; ___; 81; ___; 625; … 16 256 5; ___; 9; … 6 7 8 -1; 4; ___; -25; … -9 16 ___; -1 11; ___; 3; -3 27 ___; -4 ; ___; -7; … -3 -5 -6 2; 8; ___; … 26 80 242 2. Укажите, какими числами являются члены этих последовательностей Положительные и отрицательные Положительные Отрицательные СЕБЯ

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Блез Паскаль (1623 – 1662 ) один из самых знаменитых людей в истории человечества. Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке: 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля существует интересная связь. Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим: для 1 диагонали – 1; для 2 диагонали – 1; для 3 диагонали – 1+1=2; для 4 диагонали – 1+2=3; для 5 диагонали – 1+3+1=5; для 6 диагонали – 1+4+3=8; для 7 диагонали – 1+5+6+1=13 …. Мы получили не что иное, как числа Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.

Числа Фибоначчи Треугольник Паскаля Бесконечная числовая таблица треугольной 1 1 1 формы, х1 =х2=1; хn+2=xn+1 где 1 боковым по 2 1 +xn; n=1; 2; 3; … 1 3 3 сторонам стоят11, 1 4 6 4 1 а каждое 10 остальных из 10 5 1 1 5 Вычислим несколько чисел равно строчку! Продолжи сумме двух её первых членов: чисел, стоящих над ним 1 6 15 20 15 6 1 слева и справа. 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; Последовательность чисел Фибоначчи задается так: 34; 55; 89; 144; 233; 377; …

Связь между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля существует связь. Подсчитаем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим: Для 1 диагонали – 1; Для 2 диагонали – 1; Для 3 диагонали – 1+1=2; Для 4 диагонали – 1+2=3; Для 5 диагонали – 1+3+1=5; Для 6 диагонали – 1+4+3=8. . . В результате мы получаем числа Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5; 8; … Всегда сумма чисел n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЗАДАНА ФОРМУЛОЙ. ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ. 7 ? 9 ? 11 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ? 21 ?

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЗАДАНА ФОРМУЛОЙ. ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ. 0 ? 2 ? 6 ? 12 ? 20 ? 30 ? 42 ? 56 ?

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЗАДАНА РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛОЙ. ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ. 1 3 ? 7 ? 15 ? 31 ? 63 ? 127 ? 255 ?

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа

ПРИМЕРЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРОГРЕССИЙ: 1) 1; 2; 3; 4; 5; … 2) 14; 17; 20; 23; … 3) 0; -2; -4; -6; -8; -10; … 4) 25; 20; 15; 10; 5; 0; -5; 10; …

РАЗНОСТЬ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ Число равное разности между любыми двумя соседними членами прогрессии

РАЗНОСТЬ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

ФОРМУЛА N-ГО ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

ВОПРОСЫ : 1) Определение арифметической прогрессии 2) Что такое разность арифметической прогрессии, какой буквой она обозначается 3) Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии

КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т. д равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

ЗАДАЧА № 1 Найдите методом Гаусса сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии : 3; 7; 11; 15; 19; …

СУММА ПЕРВЫХ N-ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

СУММА ПЕРВЫХ N-ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

ВОПРОСЫ: 1) Определение арифметической прогрессии 2) Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии 3) Запишите формулы суммы первых n-х членов арифметической прогрессии