Числовые последовательности Лекция 4 Числовые последовательности

Числовые последовательности Лекция № 4

Числовые последовательности Бесконечной числовой последовательностью называют функцию, заданную на множестве натуральных чисел N, с областью значений R. Обычно используют обозначения: Способы задания последовательностей: • Формула общего члена • Несколько членов последовательности 2

· Рекуррентная формула: - Арифметическая прогрессия - Геометрическая прогрессия § Словесный Виды последовательностей: § Монотонные последовательности (строго монотонные) § Ограниченные последовательности (сверху, снизу ) 3

Арифметические операции над последовательностями: - сумма (разность) последовательностей - произведение последовательностей - умножение на число - частное последовательностей 4

Предел числовой последовательности Число А называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого положительного числа существует такой номер N = N( ) (возможно зависящий от ), что все члены последовательности с номерами, принадлежащими N -окрестности + , принадлежат окрестности точки А. Другой вид: 5

Число А называется пределом последовательности {xn}, если в любой его -окрестности находятся все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера N, зависящего от . Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися, в противном случае – расходящимися. Пример 1 расходящейся последовательности: 6

Пример 2. Рассмотрим последовательность Докажем, что предел этой последовательности А = 2 7

Пример 3. Рассмотрим последовательность Доказать, что предел этой последовательности существует и равен 1. Доказать, что предел последовательности равен 1/2. 8

Основные свойства сходящихся последовательностей n Сходящаяся последовательность имеет только один предел Доказательство (от противного): 9

n Любая сходящаяся последовательность является ограниченной. Доказательство: Верна ли обратная теорема? 10

n Если последовательность сходится, то сходится и любая ее подпоследовательность, и при том к тому же пределу. (Верна ли обратная теорема)? n Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность имела предел необходимо и достаточно, чтобы в любой окрестности нуля находилась разность между двумя произвольными членами этой последовательности, начиная с некоторых номеров, зависящих от . n 11

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Опр. : Последовательность { n}, имеющая предел равный нулю, называется бесконечно малой. Каково определение без слова предел? Опр. : Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А в Aокрестности бесконечности находятся все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера N, зависящего от А. Определение без окрестностей? 12

Теорема. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми. Если {xn} – бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность бесконечно малая. Если все элементы бесконечно малой последовательности { n } отличны от нуля, то последовательность бесконечно большая. Замечание о бесконечно большой величине: 13

Основные свойства бесконечно малых Т 1. Последовательность (переменную величину), имеющую предел можно представить в виде суммы своего предела и некоторой бесконечно малой величины. Т 2. Если переменную величину xn можно представить в виде суммы двух слагаемых: постоянного числа А и бесконечно малой величины, то числа А есть предел переменной величины xn. Т 3. Сумма и разность двух бесконечно малых являются бесконечно малыми. Т 4. Произведение двух бесконечно малых – бесконечно малая. Т 5. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью. 14

Доказательство: Т 1. Т 3 Т 4 Т 5 15

Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного последовательностей: n Сумма(разность) сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме(разности) пределов исходных последовательностей. n. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов исходных последовательностей. n Частное двух сходящихся последовательностей при условии отличия знаменателя от нуля есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов исходных последовательностей. 16

17

Примеры: 1. 2. 3. 18

Основные теоремы о пределах Т. 1. (О предельном переходе в неравенстве ) сходятся, причем Замечание: Если вместо нестрогого неравенства выполнятся строгое, то гарантировать выполнение строгого неравенства для пределов нельзя! (они могут быть и равны) 19

Т. 2. Сравнительный признак сходимости ( «о двух милиционерах» ) Если сходящиеся последовательности xn, yn, zn таковы, что Пример: 20

Некоторые важные пределы 1. 2. 3. Число e: 21

Основные виды неопределенностей 22

Тождественные преобразования при вычислении пределов 23