Числовые и функциональные ряды Автор И В Дайняк

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Лекция 3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Функциональные ряды Определение: Функциональным рядом называется ряд членами которого являются функции un(x), определённые на некотором множестве Х.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Функциональные ряды п-я частичная сумма функционального ряда: Остаток функционального ряда:

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Сходимость функциональных рядов Определение: При каждом конкретном значении функциональный ряд превращается в числовой ряд Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд сходится в точке х0. при которых Множество D всех значений функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Сумма функционального ряда Определение: Суммой функционального ряда на множестве D называется функция При этом можно записать: где при

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Признаки сходимости функциональных рядов Признак сравнения: Пусть для членов рядов Тогда ряд где bn > 0, выполнено неравенство для всех значений и ряд и сходится абсолютно в области D.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Признаки сходимости функциональных рядов Признак Д’Аламбера: Пусть для функционального ряда существует предел Тогда функциональный ряд сходится абсолютно для всех х, удовлетворяющих неравенству L(x) < 1, и расходится для всех х, удовлетворяющих неравенству L(x) > 1.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Признаки сходимости функциональных рядов Признак Коши: Пусть для функционального ряда существует предел Тогда функциональный ряд сходится абсолютно для всех х, удовлетворяющих неравенству L(x) < 1, и расходится для всех х, удовлетворяющих неравенству L(x) > 1.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Признаки сходимости функциональных рядов Пример 1: Найти область сходимости функционального ряда

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Признаки сходимости функциональных рядов Пример 2: Найти область сходимости функционального ряда

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Признаки сходимости функциональных рядов Пример 3: Найти область сходимости функционального ряда

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Лекция 3 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Равномерная сходимость функциональных рядов Определение: Говорят, что ряд равномерно сходится в области D к сумме S(x), если для любого e > 0 существует такой номер не зависящий от такой, что выполнено следующее неравенство: Условие равномерной сходимости может быть записано в виде где rn(x) – остаток функционального ряда.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Равномерная сходимость функциональных рядов Теорема (критерий Коши равномерной сходимости): Ряд равномерно сходится в области D тогда и только тогда, когда для любого e > 0 существует такой номер такой, что для всех и всех выполняется неравенство всех целых

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Равномерная сходимость функциональных рядов Теорема (признак Вейерштрасса): для всех Пусть все члены ряда и при любом п удовлетворяют неравенству и числовой ряд Тогда ряд сходится равномерно на множестве D.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Равномерная сходимость функциональных рядов Пример 1: Исследовать на равномерную сходимость ряд на интервале (– 1; 1).

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Равномерная сходимость функциональных рядов Пример 2: Доказать равномерную сходимость ряда на интервале [7 ; 11].

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов Теорема 1 (о непрерывности суммы функционального ряда): Пусть на множестве D все члены функционального ряда являются непрерывными функциями и данный ряд сходится равномерно к сумме S(x) на этом множестве. Тогда сумма ряда S(x) является непрерывной функцией на множестве D.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов Теорема 2 (об интегрировании функционального ряда): Пусть на интервале [a, b] функции un(x), где п = 1, 2, 3, … , являются непрерывными функциями и функциональный ряд сходится равномерно к сумме S(x) на этом интервале.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов Теорема 2 (об интегрировании функционального ряда): Тогда для любой точки ряд также равномерно сходится на интервале [a, b] и справедлива формула

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов Теорема 3 (о дифференцировании функционального ряда): Пусть на интервале [a, b] функции un(x), где п = 1, 2, 3, … , являются непрерывно дифференцируемыми функциями, функциональный ряд а ряд сходится к сумме S(x), сходится равномерно на этом интервале.

Числовые и функциональные ряды Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов Теорема 3 (о дифференцировании функционального ряда): Тогда исходный ряд сходится равномерно на интервале [a, b], его сумма S(x) является непрерывно дифференцируемой функцией, и справедлива формула

Высшая математика Автор: И. В. Дайняк, к. т. н. , доцент кафедры высшей математики БГУИР math. mmts-it. org