Числові послідовності Границя послідовності. Означення границі послідовності

Числові послідовності Границя послідовності.

Означення границі послідовності Число називається границею посл. , якщо для довільного додатного знайдеться такий номер з множини натуральних чисел, який залежить від , починаючи з якого виконується нерівність: . • границя або Позн.

Означення Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, у якої не має границі називається розбіжною.

Геометричний зміст •

Геометричний зміст Тобто для кожного конкретного всі члени збіжної послідовності, починаючи з номера будуть знаходитись у множині. • -труба

Геометричний зміст. -околом т. назив ається інтервал • Тобто, для кожного , починаючи з деякого номера, всі члени збіжної послідовності попадають у -окіл її границі.

Зауваження 1 До члени послідовності можуть попадати і не попадати в -окіл. Після всі мають бути в -околі. •

Зауваження 2 Якщо то для зовні -околу знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (може і жодного). •

Знайти границю послідовності • Гіпотеза: Доведемо за означенням Тобто для треба знайти , починаючи з якого .

Знайти границю послідовності • Розглянемо частковий випадок Отже для і .

Знайти границю послідовності • Тепер в загальному випадку Отже найперше натуральне число, що перевищує. Тому

Довести, що Нехай Знайдемо , починаючи з якого. Тому

Теорема про єдиність границі послідовності Збіжна послідовність має лише одну границю.

Теорема про єдиність границі послідовності Нехай і , і Тоді за означенням Доведення: Метод від супротивного

Теорема про єдиність границі послідовності Розглянемо , , бо

Теорема про єдиність границі послідовності Маємо протиріччя.

Властивості збіжних послідовностей.

Теорема 1 Збіжна послідовність – обмежена.