ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 25 11 2013 Р Мунипов 1

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ 25. 11. 2013 Р. Мунипов 1

Определение 1. Если каждому значению из натурального ряда чисел ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных вещественных чисел называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Последовательность обозначается символом , при этом называют членом или элементом этой последовательности, — номером члена. Числовая последовательность — это функция, область определения которой есть множество всех натуральных чисел; множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел , называют множеством значений последовательности. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 2

Последовательность можно изобразить: 1. точками с координатами на координатной плоскости; 2. точками на числовой оси, 25. 11. 2013 Р. Мунипов 3

Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным, в то время как множество ее элементов всегда является бесконечным: любые два разных элемента последовательности отличаются своими номерами. множество значений состоит лишь из двух чисел 1 и (-1) множество значений бесконечно большое 25. 11. 2013 Р. Мунипов 4

Последовательность может быть задана с помощью формулы, позволяющей вычислить каждый член последовательности по его номеру. Например, то каждый нечётный член последовательности равен 0, а каждый чётный член равен 1. Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим. При таком способе задания последовательности обычно указывают: 1. первый член последовательности (или несколько членов); 2. формулу, связывающую -й член с соседними (например, с -м и -м членами). 25. 11. 2013 Р. Мунипов 5

Арифметическая прогрессия с разностью задаются рекуррентными формулами Геометрическая прогрессия со знаменателем задаются рекуррентными формулами или Например, Последовательность Фибоначчи задаётся рекуррентной формулой 25. 11. 2013 Р. Мунипов 6

Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует вещественное число такое, что каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству. Число называется верхней гранью последовательности , а неравенство называется условием ограниченности этой последовательности сверху. ограничена сверху Все элементы последовательности не больше верхней грани 25. 11. 2013 Р. Мунипов Последовательность ограниченная сверху, т. к. все её элементы не больше 7 одного

Определение 3. Последовательность называется ограниченной снизу, если существует вещественное число такое, что каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству. Число называется нижней гранью последовательности , а неравенство называется условием ограниченности этой последовательности снизу. ограничена снизу Все элементы последовательности не меньше нижней грани Последовательность ограниченная снизу, т. к. все её элементы не меньше нуля 25. 11. 2013 Р. Мунипов 8

Определение 4. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют два вещественных числа и такие, что каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам. ограничена Множество значений ограниченной последовательности ограничено 25. 11. 2013 Р. Мунипов 9

Необходимое и достаточное условие ограниченности последовательности. Последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует положительное вещественное число такое, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству ограничена Необходимость: последовательность ограниченная то, найдётся Геометрически ограниченность положительное число , что все элементы последовательности поозначает, не последовательности модулю что больше этого числа, все члены последовательности содержатся в -окрестности точки ноль. Достаточность: все элементы последовательности неравенству , тогда она ограничена, 25. 11. 2013 Р. Мунипов удовлетворяют 10

Определение 5. Последовательность называется неограниченной если для любого положительного вещественное числа найдется хотя бы один элемент последовательности , удовлетворяющий неравенству неограниченная последовательность ограниченная лишь снизу последовательность ограниченная, 25. 11. 2013 Р. Мунипов 11

Определение 6. Последовательность называется бесконечно большой, 6 если для любого положительного вещественного числа найдется номер , начиная с которого, элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству. бесконечно большая последовательность, неограниченная последовательность, но не является бесконечно большой Всякая бесконечно большая последовательность будет неограниченной, поскольку, по определению бесконечно большой последовательности, всякому все элементы последовательности удовлетворяют неравенству , а определение неограниченной последовательности требует, чтобы любому удовлетворял хотя бы один элемент последовательности. Вместе с тем не всякая неограниченная последовательность, будет бесконечно большой. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 12

Определение 7. Последовательность называется бесконечно малой, если 7 для любого положительного вещественного числа найдется номер , начиная с которого, элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству. бесконечно малая Последовательность бесконечно малая, значит для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется номер , начиная с которого, все элементы последовательности по модулю будут меньше этого числа Из определяющего неравенства бесконечно малой последовательности следует 1. 2. все элементы последовательности начиная с некоторого номера будут находится в некоторой –окрестности числа ноль , для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется номер , начиная с которого, все элементы последовательности 25. 11. 2013 Р. Мунипов по модулю будут меньше этого числа 13

Замечание. Последовательность Замечание если , и бесконечно большой если будет бесконечно малой. есть бесконечно малая есть Рассмотрим случай бесконечно большая. Положим , или Используя неравенство Бернулли получим или . Пусть. Номер такой, что при всех 25. 11. 2013 доказывает, что при , , выберем номер так чтобы , определим равенством для которого также справедливо . . В силу для всех . Получили, что для любого найдётся номер выполняется неравенство Р. Мунипов последовательность . Это 14 будет бесконечно малой.

Рассмотрим случай . Положим , или . Используя неравенство Бернулли получим выберем номер так чтобы , или равенством справедливо что при . В силу для всех найдётся номер выполняется неравенство определим последовательность справедливо . такой, что при. Это доказывает, будет бесконечно большой. Выражение называется функция антье, или целая часть числа 25. 11. 2013 . Номер , , для которого также Получили, что для любого всех . Пусть Р. Мунипов Неравенство Бернулли, 15

Пример бесконечно малая последовательность бесконечно большая последовательность 25. 11. 2013 Р. Мунипов 16

Теорема. Сумма двух бесконечно малых последовательностей Теорема и будет бесконечно малой последовательностью. Доказательство бесконечно малая: Пусть Рассмотрим Значит 25. 11. 2013 есть бесконечно малая последовательность Р. Мунипов 17

Теорема. Разность двух бесконечно малых последовательностей Теорема и будет бесконечно малой последовательностью. Доказательство бесконечно малая: Пусть Рассмотрим Значит есть бесконечно малая последовательность Замечание. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых 25. 11. 2013 Р. Мунипов последовательностей будет бесконечно малой последовательностью 18

Теорема. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно Теорема малую последовательность будет бесконечно малой последовательностью. Доказательство ограниченная: бесконечно малая: Пусть Рассмотрим произведение Значит произведение ограниченной и бесконечно малой последовательностей есть бесконечно малая последовательность Замечание. Если бесконечно малую последовательность умножить на число, то получим бесконечно малую последовательность 25. 11. 2013 Р. Мунипов 19

Теорема. Всякая бесконечно малая последовательность есть ограниченная Теорема последовательность. ограниченная: Доказательство Пусть последовательность Пусть число бесконечно малая, по определению такое, что , тогда очевидно для всех членов последовательности справедливо . Значит бесконечно малая последовательность ограничена. Замечание. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей будет бесконечно малой последовательностью 25. 11. 2013 Р. Мунипов 20

Теорема. Если есть бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность которая будет бесконечно малой. Доказательство Поскольку последовательность бесконечно большая, по крайней мере начиная с некоторого номера её элементы будут отличны от нуля и значит определена последовательность. Покажем, что она будет бесконечно малой последовательностью. Пусть , тогда, по определению бесконечно большой последовательности найдётся номер , начиная с которого для всех элементов справедливо неравенство , или, что то же самое, . Это значит последовательность будет бесконечно малой последовательностью. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 21

Теорема. Если все элементы бесконечно малой последовательности отличны от нуля, то последовательность будет бесконечно большой. Доказательство Поскольку последовательность бесконечно малая, элементы которой отличны от нуля и значит определена последовательность. Покажем, что она будет бесконечно большой последовательностью. Пусть , тогда, по определению бесконечно малой последовательности найдётся номер , начиная с которого для всех элементов справедливо неравенство , или, что то же самое, . Это значит последовательность будет бесконечно большой последовательностью. Последовательность бесконечно большая, тогда последовательность будет бесконечно малой Последовательность бесконечно малая, тогда последовательность будет бесконечно большой 25. 11. 2013 Р. Мунипов 22

Определение 9. Последовательность называется сходящейся, если 9 существует число , что для любого положительного вещественного числа найдется номер , начиная с которого, элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству. сходящаяся Замечание. Из определения предела последовательности следует, что последовательность сходится к числу , тогда и только тогда, когда разность есть бесконечно малая последовательность, значит: а) разность сходящейся последовательности с её предельным значением есть бесконечно малая последовательность, б) сходящуюся последовательность можно представить как сумму её предельного значения и бесконечно малой последовательности 25. 11. 2013 Р. Мунипов 23

Замечание. Предел бесконечно малой последовательности равен нулю: бесконечно малая Замечание. Из определения предела последовательности следует, что последовательность сходится к числу , тогда и только тогда, когда последовательность имеет предел равный нулю: Замечание. Из определения предела последовательности следует, что удаление конечного числа ее членов не изменяет ее сходимости, 25. 11. 2013 Р. Мунипов 24

Замечание. Из определения предела последовательности следует, -окрестность точки т. е. последовательность сходится к числу тогда и только тогда, когда для любого наперед заданного положительного числа найдется номер , начиная с которого все элементы последовательности будут находится в окрестности точки Число — предел последовательности , если для всякой окрестности точки найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 25

Пусть имеется утверждение {число есть предел последовательности } тогда отрицание этого, т. е. число не является пределом последовательности будет иметь вид Пусть имеется утверждение {последовательность сходящаяся} тогда отрицание этого, т. е. последовательность сходящейся, будет иметь вид не является Замечание. Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся; т. е. последовательность называют расходящейся, если 25. 11. 2013 Р. Мунипов никакое число не является ее пределом. 26

Пример Покажем, что последовательность , где , имеет Действительно, справедливо , тогда Пусть будет выполнятся, если . Неравенство или . Пусть номер где целая часть числа превосходящее числа неравенство значит 25. 11. 2013 такой, что . , например, , , т. е. наибольшее целое число, не . Тогда для всех будет выполнятся . По определению предела это , т. е. Р. Мунипов 27

Пример Покажем, что последовательность имеет , где , Действительно, справедливо тогда . Пусть если справедливо для всех . Неравенство , или . Пусть выполняются неравенства определению предела это значит 25. 11. 2013 будет выполнятся, , тогда. По , т. е. Р. Мунипов 28

Замечание. Пусть последовательность бесконечно большая, т. е. для Замечание любого положительного вещественного числа найдется номер , начиная с которого, все элементы последовательности удовлетворяют неравенству , -окрестность числа 25. 11. 2013 -окрестность числа Р. Мунипов 29

Замечание. Последовательность Замечание имеет предел минус бесконечность, т. е. в –окрестности числа содержатся все члены последовательности, быть может, за исключением конечного числа членов. Замечание. Последовательность Замечание имеет предел плюс бесконечность, т. е. в –окрестности числа содержатся все члены последовательности, быть может, за исключением конечного числа членов. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 30

Теорема. Сходящаяся последовательность имеет один и только один предел. Теорема Доказательство. Справедливость теоремы докажем от противного. Предположим, что последовательность имеет два различных между собой предела Причём, не ограничивая общности можно предположить. Пусть и окрестности и не пересекались (не имели общих точек). Так как число — предел последовательности , то по заданному можно найти номер такой, что для всех. Поэтому вне интервала может оказаться лишь конечное число членов последовательности. Тогда, интервал может содержать лишь конечное число членов последовательности. Это противоречит тому, что — предел последовательности (любая окрестность точки должна содержать бесконечное число членов последовательности). Полученное противоречие 31 25. 11. 2013 Р. Мунипов показывает, что последовательность не может иметь два различных предела.

Теорема. Если последовательность имеет предел, то она ограниченная. Теорема Доказательство. Докажем справедливость теоремы. Пусть последовательность имеет предел, равный. По определению предела для найдем номер такой, что при всех имеет место неравенство. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то Поэтому при всех тогда при всех выполняется неравенство , значит последовательность . Положим ограничена. Замечание. Не всякая ограниченная последовательность сходится. Последовательность ограничена, но предела не имеет 25. 11. 2013 Р. Мунипов 32

Теорема. Сумма двух сходящихся последовательностей и Теорема будет сходящейся последовательностью, предел которой равен сумме пределов исходных последовательностей. Доказательство бесконечно малые последовательности по определению предела Рассмотрим Значит теорема доказана сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей будет бесконечно малой 25. 11. 2013 Р. Мунипов 33

Теорема. Разность двух сходящихся последовательностей и Теорема будет сходящейся последовательностью, предел которой равен разности пределов исходных последовательностей. Доказательство бесконечно малые последовательности по определению предела Рассмотрим Значит теорема доказана сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей будет бесконечно малой 25. 11. 2013 Р. Мунипов 34

Теорема. Произведение двух сходящихся последовательностей Теорема и будет сходящейся последовательностью, предел которой равен произведению пределов исходных последовательностей. Доказательство бесконечно малые последовательности Рассмотрим Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность Значит 25. 11. 2013 теорема доказана Р. Мунипов Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность 35

Замечание. Из существования предела произведения последовательностей не следует существования конечного предела каждого сомножителя. Например: Замечание. Постоянный сомножитель можно выносить за знак предела, если постоянная величина, а последовательность имеет конечный предел, то Замечание. Если последовательность имеет конечный предел отличный от нуля, и есть целое отрицательное число, то 25. 11. 2013 Р. Мунипов 36

Теорема. Пусть Теорема Частное . двух сходящихся последовательностей и , будет сходящейся последовательностью, предел которой равен отношению пределов исходных последовательностей. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 37

Доказательство Докажем, что есть бесконечно малая последовательность. Имеем и Так как — бесконечно малые последовательности, то и будет бесконечно малой. По условию поэтому последовательность , является ограниченной. Отсюда следует, что последовательность — бесконечно малая как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность. Таким образом, — бесконечно малая последовательность, и поэтому 25. 11. 2013 Р. Мунипов 38

Теорема. Если для всех элементов последовательностей Теорема и или по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливы неравенства Теорема о трёх последовательностях, или теорема о «зажатой» а последовательности имеют конечный равные пределы, последовательности то последовательность сходится и её предел равен пределу этих последовательностей Доказательство. По определению предела для любого такие, что при всех найдутся номера и и при всех Отсюда, поскольку справедливы неравенства следует, что при всех выполняется условие . Это означает, что существует 25. 11. 2013 Р. Мунипов 39

Пример Пусть . Покажем, что Для всех элементов последовательности справедливо действительно, если , то Значит справедливы неравенства (*). Поскольку и , то по теореме о трёх последовательностях получаем, что 25. 11. 2013 Р. Мунипов 40

Пример Докажем, что если , то Действительно, поскольку получаем справедливо или , то , где , , тогда, в силу неравенства Бернулли, . Т. к. . Поскольку последовательностях получаем, что 25. 11. 2013 . Обозначая Р. Мунипов , то , , то по теореме о трёх , или 41

Пример Докажем, что Справедливо Тогда, , или . Т. к. для значений выполняется неравенство получаем , или то . Для последовательности , то. Поскольку , её предел тогда, по теореме о трёх последовательностях получаем , значит Функция корня и подкоренное выражение ведут себя в бесконечности одинаково 25. 11. 2013 Р. Мунипов 42

Пример Докажем, что, если Если и , то справедливо , то Показательная функция с основанием большим единицы быстрее стремится к бесконечности, чем любая степенная функция с показателем большим одного Тогда для выполняется неравенство , т. к. при. Если представить получаем , для исходной последовательности тогда справедливо двойное неравенство Поскольку , то . тогда, по теореме о трёх последовательностях получаем 25. 11. 2013 Р. Мунипов 43

Пример Найдём 25. 11. 2013 Р. Мунипов 44

Пример Найдём 25. 11. 2013 Р. Мунипов 45

Пример Докажем, что, если , то Действительно, Вместе с тем 25. 11. 2013 , значит Р. Мунипов 46

Пример Найдём Выполним преобразования Тогда 25. 11. 2013 Р. Мунипов 47

Теорема. Если последовательности Теорема и для которых выполняется неравенство имеют конечные пределы, , то, начиная с некоторого номера, для всех элементов последовательностей будет справедливо это неравенство, Доказательство. Согласно определению предела, выберем таким, чтобы точек , тогда существуют и не пересекались, номера для и. Пусть неравенство 25. 11. 2013 , такие что для , тогда для – окрестности и выполняется , что и требовалось доказать. Р. Мунипов 48

Замечание. Очевидно теорема справедлива для неравенства больше. Замечание. Если если Замечание. Если 25. 11. 2013 и и , то , или , то и Р. Мунипов , то 49

Замечание. Если для сходящейся последовательности всех (или для всех выполняется для ) неравенство , то для предела справедливо . Отсюда следует, что если все члены сходящейся последовательности принадлежат отрезку т. е. для всех (или для всех последовательности принадлежит отрезку , ) , то и предел этой , т. е. . Замечание. Если соответствующие члены двух сходящихся последовательностей связаны знаком нестрогого неравенства, то такое же неравенство справедливо и для пределов этих последовательностей. Т. е. предельный переход сохраняет знак нестрогого неравенства. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется, т. е. если при и последовательности сходятся, то Например, 25. 11. 2013 Р. Мунипов 50

Замечание. Теорема Штольца. Если для последовательностей справедливо и а последовательность , по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяет неравенству , то Пример. Применяя теорему Штольца, весьма просто находится предел, 25. 11. 2013 Р. Мунипов 51

Пример. Из теоремы Штольца следует, или Ранее было показано, что . Тогда рассматривая предел получаем, 25. 11. 2013 Р. Мунипов 52

Пример. Рассмотрим последовательность её предел, применяя теорему Штольца, получаем Вместе с тем, , тогда для разности Значит, 25. 11. 2013 Р. Мунипов 53

Определение 9. Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если каждый элемент этой последовательности, начиная со второго, не меньше предыдущего её элемента, т. е. если для всех номеров справедливо неравенство. неубывающая Определение 10. Последовательность называется убывающей (невозрастающей), если каждый элемент этой последовательности, начиная со второго, не больше предыдущего ее элемента, т. е. если для всех номеров справедливо неравенство. невозрастающая Определение 11. Последовательность называется монотонной, если она является либо невозрастающей, либо неубывающей. невозрастающая 25. 11. 2013 неубывающая монотонная Р. Мунипов 54

Определение 12. Последовательность называется строго возрастающей, если каждый элемент этой последовательности, начиная со второго, больше предыдущего ее элемента, т. е. если для всех номеров справедливо неравенство. возрастающая Определение 13. Последовательность называется строго убывающей, если каждый элемент этой последовательности, начиная со второго, меньше предыдущего ее элемента, т. е. если для всех номеров справедливо неравенство. убывающая 25. 11. 2013 Р. Мунипов 55

Определение 14. Точной верхней гранью последовательности называется число , для которого все элементы последовательности не превосходят этого числа, и для любого положительного числа найдётся номер , что соответствующий этому номеру элемент последовательности будет больше разности , Определение 15. Точной нижней гранью последовательности называется число , для которого все элементы последовательности не меньше этого числа, и для любого положительного числа найдётся номер , что соответствующий этому номеру элемент последовательности будет меньше суммы , 25. 11. 2013 Р. Мунипов 56

Теорема. Если последовательность Теорема возрастающая и ограничена сверху, то существует её предел равный точной верхней грани этой последовательности, . Если последовательность убывающая и ограничена снизу, то существует её предел равный точной нижней грани этой последовательности, . Доказательство Рассмотрим случай возрастающей и ограниченной последовательности. По определению точной верхней грани для любого элемента последовательности справедливо Пусть , по определению точной верхней грани найдётся номер , что соответствующий ему элемент удовлетворяет неравенству. По условию последовательность возрастающая, т. е. для всех элементов выполняется неравенство. Поэтому для справедливо или , сравнивая это неравенство с , получаем Значит что и требовалось доказать. Аналогично 25. 11. 2013 Р. Мунипов доказывается, если последовательность убывающая и ограниченная снизу. 57

Замечание. Чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной. Необходимость следует из теоремы, что всякая сходящаяся последовательность ограничена. Замечание. Не всякая сходящаяся последовательность монотонная. Например , однако эта последовательность не является монотонной Замечание. Все элементы неубывающей, ограниченной сверху последовательности не больше её предела. Все элементы невозрастающей, ограниченной снизу последовательности не меньше её предела. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 58

Пример Докажем, что для предел Для всех элементов последовательности справедливо то при всех , где . Значит заданная последовательность убывающая при всех . Кроме этого, при , т. е. ограничена снизу. Тогда, по теореме о сходимости монотонной последовательности, сходится, пусть . Рассматривая предел получаем 25. 11. 2013 , в итоге Р. Мунипов Функция факториала быстрее стремится в бесконечность, чем любая показательная функция 59

Пример Найдём предел последовательности ( корней) Для всех элементов последовательности справедливо Очевидно, последовательность возрастающая, и ограничена сверху, действительно, для первого и второго члена получаем Предположим , тогда Значит последовательность ограничена. По теореме сходимости монотонной ограниченной последовательности получаем существование конечного предела искомой последовательности, обозначим , очевидно 25. 11. 2013 Р. Мунипов 60

Пример (продолжение) Выполним преобразования Решая квадратное уравнение получаем предел равен 25. 11. 2013 Р. Мунипов , значит искомый 61

Пример Докажем, что для предел Очевидно, в силу , для всех элементов последовательности справедливо. Применим для неравенство для среднеарифметического и среднегеометрического, тогда для т. е. , значит заданная последовательность ограниченная снизу. Покажем её монотонность, т. к. и , то значит убывающая, у которой существует Рассматривая 25. 11. 2013 или Р. Мунипов . 62

Пример Рекуррентное выражение можно использовать для приближённого вычисления квадратного корня числа 25. 11. 2013 Р. Мунипов 63

Замечание. Итак, если , то предел Обобщением, этого примера есть последовательность для которой , что позволяет с достаточной точностью вычислять целые корни из положительного числа 25. 11. 2013 Р. Мунипов 64

Замечание. Среднее арифметическое двух чисел и равно Среднее геометрическое двух чисел и равно Очевидно, Значит среднее арифметическое двух чисел не меньше их среднего геометрического , Если , то их среднее арифметическое , среднее геометрическое для которых также справедливо 25. 11. 2013 Р. Мунипов 65

Число е. Рассмотрим последовательность где Покажем существование предела этой последовательности. Рассмотрим дополнительную последовательность , Эта последовательность ограничена снизу, действительно, в силу неравенства Бернулли 25. 11. 2013 Р. Мунипов 66

Число е. (продолжение 1) Покажем монотонность или, применяя неравенство Бернулли, или . Итак последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, значит у неё существует предел, обозначим этот предел символом т. е. 25. 11. 2013 , . Тогда выполняя преобразования получаем, Р. Мунипов 67

Число е. (продолжение 2) Тогда выполняя преобразования получаем, Значит 25. 11. 2013 Р. Мунипов 68

Теорема. Если в последовательности Теорема причём все элементы отличны от 0 и -1, , то Если равно 0 или -1 то выражение не определено Доказательство Условие Пусть означает, что возможно , тогда в последовательности и лишь конечное членов меньше единицы, значит не ограничивая общности можно считать , исключив из последовательности конечное число членов. Обозначим превосходящее — функция антье, наибольшее целое число не , причём, . Для положительном основании и степени справедливы неравенства 25. 11. 2013 Р. Мунипов 69

Доказательство (продолжение 1) Поскольку целые положительные (натуральные) числа и , то Значит Аналогично, 25. 11. 2013 Р. Мунипов 70

Пример 25. 11. 2013 Р. Мунипов 71

Определение 16. Последовательность отрезков где называется стягивающейся, если a) каждый последующий принадлежит предыдущему, b) длина –ого отрезка стремится к нулю при , , Замечание. Из определения стягивающихся отрезков следует, что значит 25. 11. 2013 Р. Мунипов 72

Теорема (Кантор). Если последовательность отрезков является (Кантор) стягивающейся, то существует и при том единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности. Доказательство Обозначим эту точку через. Покажем её существование, т. е. точка принадлежит всем отрезкам. Действительно, т. к. система отрезков стягивающая, то последовательность левых концов не убывает, а последовательность правых концов не возрастает. Вместе с тем, обе эти последовательности ограничены, Значит по теореме о сходимости монотонной ограниченной последовательности следует существование пределов, По определению стягивающей отрезков , поэтому причём для всех. Значит точка является общей для всех отрезков. Единственность этой точки доказывается аналогично, предполагая противное, что существуют две точки и , и справедливо. Тогда выполняется , значит. Это 25. 11. 2013 Р. Мунипов 73 невозможно поскольку при , получили противоречие.

Георг Кантор (1845 -1918) Немецкий учёный математик основоположник современной теории множеств 25. 11. 2013 Р. Мунипов 74

Определение 17. Пусть возрастающая последовательность натуральных чисел, . Тогда последовательность из последовательности , называется подпоследовательностью этой , образованная последовательности, Пример Замечание. Очевидно, всякая последовательность является подпоследовательностью для самой себя. Замечание. По определению, подпоследовательность образована из членов исходной последовательности , причем порядок следования членов в подпоследовательности такой же, как и исходной. Для элемента число означает порядковый номер члена последовательности , а — номер этого члена в исходной последовательности. Поэтому , откуда 25. 11. 2013 75 следует, что при. Р. Мунипов

Замечание. Очевидно, всякая подпоследовательность образуется из исходной последовательности прореживанием её членов. Замечание. Для последовательности и её подпоследовательностей справедливы свойства: 1. Если последовательность сходится к некоторому числу, то и всякая её подпоследовательность также сходится к этому числу. 2. Если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же числу, к этому же числу сходится и исходная последовательность. Замечание. Очевидно, всякая подпоследовательность бесконечной последовательности будет бесконечно большой последовательностью. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 76

Определение 18. Пусть подпоследовательность последовательности имеет конечный или бесконечный предел, . Тогда число называется частичным пределом последовательности Пример Имеет два частичных предела, -1 и +1 Имеет два частичных предела, 0 и 25. 11. 2013 Р. Мунипов 77

Определение 19. Пусть ограниченная последовательность, а есть множество её частичных пределов. Верхним пределом последовательности Определение 20. Пусть называют точную верхнюю грань множества ограниченная последовательность, а , есть множество её частичных пределов. Нижним пределом последовательности называют точную нижнюю грань множества , Пример 25. 11. 2013 Р. Мунипов 78

Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности (Больцано-Вейерштрасса) можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Доказательство Пусть — ограниченная последовательность, тогда все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку, т. е. Разобьем отрезок пополам точкой. Тогда по крайней мере один из отрезков содержит бесконечное число членов. Если оба отрезка обладают этим свойством, возьмем, например, правый отрезок (и будем так поступать в дальнейшем). Выбранный отрезок, содержащий бесконечное число членов данной последовательности, обозначим , его длина равна. Разделив отрезок пополам, выберем указанным выше способом из двух получившихся отрезков отрезок , содержащий бесконечное число членов последовательности. Продолжая эти рассуждения, получим последовательность отрезков таких, что: 25. 11. 2013 Р. Мунипов 79

Доказательство (продолжение) Значит, — стягивающаяся последовательность отрезков. По теореме Кантора существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам, Покажем, что найдется подпоследовательность такая, что последовательности . Действительно, отрезок членов последовательности содержит бесконечное число , . Отрезок также содержит бесконечное число членов данной последовательности, Вообще , следовательно, существует подпоследовательность последовательности справедливы неравенства точки . Полученное означает что принадлежат отрезку ними не превосходит длины отрезка Отсюда следует, 25. 11. 2013 такая, что , и поэтому расстояние между , т. е. . Теорема доказана. Р. Мунипов 80

Больцано Бернард (1781 -1848) Чешский учёный математик и логик 25. 11. 2013 Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815 -1897) Немецкий учёный математик, разработал систему логического обоснования математического анализа Р. Мунипов 81

Замечание. 1. Из теоремы Больцано-Вейерштрасса следует, что всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел. Т. е. из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к конечному числу подпоследовательность. 2. Всякая неограниченная последовательность содержит бесконечно большую подпоследовательность. Т. е. из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность. 3. Чтобы число , где есть конечное число, или число , было частичным пределом последовательности, необходимо и достаточно, чтобы в любой окрестности этого числа содержалось бесконечное число членов этой последовательности. 4. Из всякой последовательности можно выделить либо сходящуюся к конечному числу подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой, начиная с некоторого номера имеют один знак. 5. Метод последовательного деления рассматриваемых промежутков пополам называют методом Больцано. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 82

Определение 20. Последовательность называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого существует такое натуральное число , что для любого и любого справедливо неравенство , или Замечание. Для фундаментальной последовательности справедливы свойства: 1. Для любого найдётся номер , начиная с которого все элементы последовательности будут находиться в – окрестности элемента этой последовательности. 2. Фундаментальная последовательность ограничена. Замечание. Очевидно, фундаментальность последовательности означает, что с возрастанием номера последовательности, разность между её достаточно близкими элементами будет меньше любого наперёд заданного положительного 25. 11. 2013 Р. Мунипов 83 числа.

Покажем справедливость ограниченности фундаментальной последовательности. Пусть. Тогда т. к. последовательность фундаментальная, найдётся номер , начиная с которого все элементы последовательности будут находится в –окрестности значения (в силу первого свойства для фундаментальных последовательностей), Обозначим номеров , тогда для всех справедливо неравенство , что означает ограниченность последовательности. 25. 11. 2013 Р. Мунипов 84

Теорема (Критерий Коши). Чтобы последовательность имела конечный предел Коши) необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Доказательство Необходимость, что если последовательность имеет конечный предел, то она фундаментальная. Действительно, пусть по определению предела, Тогда для и получаем, что означает фундаментальность последовательности , необходимость доказана. Достаточность, что фундаментальная последовательность имеет конечный предел. Действительно, из определения фундаментальной последовательности получаем (*) 25. 11. 2013 Р. Мунипов 85

Доказательство (продолжение) Так как фундаментальная последовательность является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность , пусть . Покажем, что число является также пределом . По определению предела, (**) Пусть , тогда для Из неравенства (**) при Значит 25. 11. 2013 и из (*) получаем следует, , теорема доказана. Р. Мунипов 86

Замечание. Критерий Коши устанавливает факт сходимости последовательности, не указывая значение предела. Замечание. Очевидно, если последовательность не удовлетворяет критерию Коши, то она не имеет конечного предела, т. е. является расходящейся. Пример Докажем, что последовательность , где расходится. Последовательность расходится, если не выполняется условие Коши . Положим тогда, 25. 11. 2013 Условие Коши не выполняется при Р. Мунипов , значит расходится 87