Численные методы решения уравнений с одной переменной Метод

Численные методы решения уравнений с одной переменной Метод половинного деления

Постановка задачи Рассмотрим общий вид уравнения с одной переменной: F(x) = 0 ………. . (1); f(x) = g(x) ………. (2) где F(x), f(x), g(x) – функции определенные и непрерывные на конечном или бесконечном интервале (а, b) Опр. 1. Всякое число ξ из интервала (а, b) обращающее уравнение (1) ((2)) в верное числовое равенство называется корнем уравнения (1) ((2)).

Для решения уравнения численным методом нужно: 1) отделить действительные корни уравнения – установить на числовой оси «тесные» промежутки, содержащие один и только один корень уравнения (графические и аналитические методы); 2) уточнить корни уравнения, т. е. вычислить любой из действительных корней с заданной степенью точности ε, что означает следующее: пусть х*- точный корень уравнения, который принадлежит интервалу (а, b), причем b – a ≤ ε, тогда любое число из (а, b) можно принять за корень уравнения с точностью до ε.

Графическая интерпретация корней уравнения F(x) = 0 ………. . (1); f(x) = g(x) ………. (2)

Теорема 1. Если функция F(x) непрерывна и монотонна на отрезке (а, b) и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка (а, b) содержится единственный корень уравнения (1). Теорема 2. Если функция F(x) непрерывна на отрезке (а, b) и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная F'(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то на (а, b) существует единственный корень уравнения (1).

Уточнение корней методом половинного деления Пусть уравнение (1) имеет на отрезке (а, b) единственный корень и функция F(x) непрерывна на (а, b). 1. Разделим отрезок точкой с = пополам 2. Из двух полученных отрезков (а, с) и (с, b) выберем тот на котором находится корень (F(а)*F(с) < 0) и обозначим его (а 1, b 1). 3. Теперь разделим отрезок (а 1, b 1) пополам, из двух полученных отрезков выберем тот, на котором находится корень…. . 4. Продолжаем процесс деления пока длина отрезка, содержащего корень, не будет меньше заданной точности ε. 5. В качестве корням берем середину последнего отрезка.