ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 8. Численные методы решения систем нелинейных уравнений (СНУ) Лекция 11

1. Постановка задачи Многие практические задачи химии и химической технологии сводятся к решению систем нелинейных уравнений (например, задачи термодинамики и др. ). Пусть для вычисления неизвестных x 1, x 2, …, xn требуется решить систему n нелинейных уравнений (1) Здесь F 1, F 2, …, Fn – функции от неизвестных x 1, x 2, …, xn.

В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения систем нелинейных уравнений общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (1) можно решить непосредственно. Например, для случая двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.

Для решения систем нелинейных уравнений обычно используют итерационные методы. Рассмотрим два из них: – метод простой итерации; – метод Ньютона.

2. Метод простой итерации Систему уравнений (1) представим, если это возможно, в виде: (2) Алгоритм решения этой системы методом простой итерации напоминает метод Гаусса-Зейделя, используемый для решения систем линейных уравнений. Задаются начальные (нулевые) приближения значений неизвестных:

Пусть в результате предыдущей k– 1 -й итерации получены значения неизвестных: Тогда выражения для неизвестных на следующей k-й итерации будут имеют вид: (3)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, т. е. абсолютные величины их разностей не станут меньшими заданного малого числа: где k – номер итерации; E<<1 – малое число. При использовании метода простой итерации успех во многом определяется удачным выбором начальных приближений неизвестных: они должны быть достаточно близкими к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись.

3. Метод Ньютона Метод обладает более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. В случае одного уравнения F(x)=0 алгоритм метода Ньютона был получен путем записи уравнения касательной к кривой y=F(x). В основе метода Ньютона для решения системы уравнений лежит использование разложения функций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (1) (например полученные на предыдущей итерации) равны соответственно a 1, a 2, …, an. Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям Δx 1, Δx 2, …, Δxn благодаря которым решение системы (1) запишется в виде (4)

Проведем разложение левых частей уравнений (1) с учетом (4) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений: (5)

Так как в соответствии с (1) левые части выражений (5) должны превращаться в нуль, то приравняем нулю их правые части. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений Δxi , i=1, 2, …, n: (6) где значения при: и их производные вычисляются

Определителем системы (6) является якобиан: Для существования единственного решения системы линейных уравнений (6) якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений (1) методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине: В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.