ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лекция 8 Приближение функций Постановка

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лекция 8: Приближение функций.

Постановка задачи приближения функций: o o Пусть на отрезке [x 0, xn ] определена некоторая функция y=f(x), однако полная информация о ней недоступна, либо функция имеет слишком сложное для дальнейшего использования аналитическое описание. Пусть известны значения этой функции в конечном числе точек x 0, x 1, …, xn отрезка [x 0, xn ]

Постановка задачи приближения функций: o Требуется по известным значениям y 0=f(x 0), y 1=f(x 1), …, yn=f(xn) найти на отрезке [x 0, xn ] аналитическое выражение для некоторой функции F(x), которая приближала бы f(x) так, что в известных нам точках: F(x 0)=f(x 0)=y 0, F(x 1)=f(x 1)=y 1, …, F(xn)=f(xn)=yn .

Постановка задачи приближения функций: o o Такую функцию F(x) принято называть интерполирующей, точки x 0, x 1, …, xn - узлами интерполяции.

Постановка задачи приближения функций: o Подобные задачи интерполяции часто возникают на практике, например, при обработке экспериментальных данных, при работе с табличными функциями, в том случае, если требуется вычислить приближенно значение y=f(x) в некоторой точке х*, не совпадающей ни с одной из заданных в таблице.

Постановка задачи приближения функций: o Если точка х* находится за пределами отрезка интерполирования [x 0, xn ] , то задача определения значения функции в точке x называется экстраполированием.

Интерполирование функций • Геометрически задача интерполирования означает построение кривой проходящей через точки y 0 x 1 xn x

Интерполирование функций l Эта задача будет иметь единственное решение, если в качестве интерполирующей функции F(x) для f(x) , заданной (n+1) своим значением, выбрать многочлен степени не выше n: Pn(x 0)=y 0, Pn(x 1)=y 1, …, Pn(xn)=yn. Pn(x) при этом называется интерполяционным полиномом.

Задача 1 l Построить линейный полином по заданным узлам интерполяции x 0< x 1 и соответствующим им значениям функции и. l Линейная система уравнений для определения a 0 и a 1 имеет вид:

Задача 1 l Определитель этой системы равен. l Решив систему, получим: l Следовательно:

Задача 1 l Перепишем этот полином в несколько другой форме, выделив и в качестве множителей: Геометрически это прямая на плоскости, проходящая через точки с координатами.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа n Требуется построить многочлен такой, чтобы в узлах интерполяции его значения совпадали бы со значениями функции : n Задача имеет единственное решение, если степень многочлена не выше n.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа n Традиционно интерполяционный полином в форме Лагранжа обозначается n Где - неизвестные постоянные коэффициенты, которые нужно найти. В узле интерполяции полином : n

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа n В узле : n Наконец в точке n Получаем систему из (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными: , где и - известные табличные значения аргумента и функции. :

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа n Если определитель системы не равен 0, то она имеет единственное решение. Действительно: , n если различны. Любым из известных способов находим

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа n Перепишем многочлен в другой форме: (1) где

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа n Легко проверить, что в общем виде функция : n В точках функция обращается в 0, а в точке равна 1.

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа n Для формулы (1) окончательно получим:

Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа n Формулы линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу:

ПРИМЕР 1 o Написать интерполяционный полином второй степени для функции по ее значениям в трех точках: Вычислить с помощью этого полинома приближенное значение синуса в точке , сравнить полученный результат с точным значением синуса и подсчитать погрешность. o

Решение примера 1

Решение примера 1 Окончательно получаем:

Понятие конечных разностей l Для случая равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. , где , h - шаг интерполяции, введем понятие конечной разности. l Назовём конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции.

Понятие конечных разностей l Тогда конечные разности в точках определяются:

Понятие конечных разностей l. В общем виде конечная разность первого порядка: l Из конечных разностей первого порядка можно получить конечные разности второго порядка: второго порядка третьего порядка: l из и т. д.

Понятие конечных разностей l. В общем виде конечная разность n-го порядка:

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Пусть функция f(x) задана значениями: в равноотстоящих узлах интерполяции:

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Тогда многочлен Лагранжа может быть записан в виде интерполяционного полинома Ньютона: l где различных порядков. - конечные разности

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Полагая , можно интерполяционный многочлен Ньютона записать в следующем виде:

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Итак, в случае равноотстоящих узлов можно воспользоваться интерполяционным полиномом Ньютона. l В частности при n=1 имеем формулу линейного интерполирования:

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l при n=2 - формулу квадратного интерполирования:

Пример 1 • Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить f(0, 14), где функция задана таблицей:

Решение примера 1 • Составляем таблицу конечных разностей:

Решение примера 1 • Таблица конечных разностей:

Решение примера 1 • Для вычисления f(0, 14) воспользуемся интерполяционным полином Ньютона. • Полагаем x 0=0, 1 и h=0, 1, тогда и

Решение примера 1 • При этом погрешность приближения:

РАЗДЕЛЕННЫЕ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ n В практике интерполирования иногда удобнее использовать многочлены Ньютона, степень которых можно последовательно повышать путем добавления очередных слагаемых, имеющих более высокую степень.

РАЗДЕЛЕННЫЕ РАЗНОСТИ n n Такие несимметричные многочлены, альтернативные симметричным многочленам Лагранжа, основаны на разделенных и конечных разностях, вычисляемых по интерполируемой сеточной функции. Разделенные разности вводятся для функции у = f(x), заданной на неравномерной сетке (h = var)

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона с использованием разделённых разностей l Построим многочлен n- й степени Pn(x) в форме Ньютона. Этот многочлен имеет вид:

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Здесь - разделенные разности 0 -го, 1 -го, 2 -го, : . , n-го порядка соответственно. Разделенные разности вычисляются по таблице функции.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Разделенные разности. Величины f(x 0), f(x 1), : , f(xn), т. е. значения самой табличной функции в узлах, считаем разделенными разностями нулевого порядка (k=0). Таким образом, на отрезке [x 0, xn] определена n+1 разделенная разность нулевого порядка.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Величина называется разделенной разностью первого порядка (k=1) на частичном отрезке [x 0, x 1] и вычисляется по уже известным разделенным разностям нулевого порядка на концах отрезка [x 0, x 1] и длине этого отрезка.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Для произвольного частичного отрезка [xi, xi+1] разделенная разность первого порядка (k=1) равна На отрезке [x 0, xn] можно вычислить n разделенных разностей первого порядка, по числу частичных отрезков [xi, xi+1] , i=0, . . . , n-1.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Величина называется разделенной разностью второго порядка (k=2) на частичном отрезке [x 0, x 2] и и вычисляется по двум найденным ранее разделенным разностям первого порядка.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Для произвольного частичного отрезка [xi, xi+2] разделенная разность второго порядка (k=2) равна На [x 0, xn] можно вычислить (n-1) разделенную разность второго порядка по числу частичных отрезков [xi, xi+2] , поскольку в этом случае 0 i n-2.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Разделенная разность некоторого порядка k на отрезке [xi, xi+k] может быть определена через найденные ранее разделенные разности (k-1)-го порядка по формуле: На [x 0, xn] можно вычислить (n-k+1) разделенную разность порядка k, поскольку в этом случае 0 i n- k.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l При k =n значение i может быть равно только 0 и мы получаем единственную разделенную разность n-го порядка на всем отрезке интерполирования [x 0, xn] по формуле:

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Разделенные разности в формуле для многочлена Ньютона Pn(x) определены, соответственно, для отрезков [x 0, x 0+k], где k=1, . . . , n.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Теорема: Многочлен Pn(x), построенный по формуле Ньютона, является интерполяционным многочленом, т. е. в узловых точках значение многочлена равно значению табличной функции: Pn(xi) = f(xi)=yi для всех i=0, . . . , n. Доказывается непосредственной подстановкой точек x 0, x 1, …, xn в формулу Ньютона.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Интерполяционный многочлен степени не выше n, построенный по n+1 узлу интерполяции, единственен. Формула Лагранжа и формула Ньютона предлагают различные способы построения этого единственного многочлена.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Пример интерполяции по Ньютону Дана табличная функция: i x i yi 0 2 0, 69 31 47 1 3 1, 09 86 13 2 4 1, Вычислим разделенные разности 1 -го, 2 -го и максимально возможного в задаче 3 го порядка ( здесь n=3) и занесем их специальную таблицу.

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Три разделенные разности первого порядка:

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Две разделенные разности второго порядка:

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона l Одна разделенная разность третьего порядка:

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона i xi Разделенные разности 0 -го 1 -го 2 -го 0 2 0, 693147 0, 405466 1 3 1, 098613 -0, 058892 0, 287682 2 4 1, 386295 -0, 0322695 0, 223143 3 5 1, 60943 3 -го 0, 00887416

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной табличной функции имеет вид:

Оценка погрешности n Интерполяционного многочлена: где - производная (n+1) - го порядка