ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лекция 6 Итерационные методы решения СЛАУ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Лекция 6: Итерационные методы решения СЛАУ 1

Метод последовательных приближений (метод простой итерации) решения СЛАУ Пусть дана СЛАУ (невырожденная): (1) В матричном виде: AX = B. 2

Метод последовательных приближений (метод простой итерации) решения СЛАУ l В матричном виде СЛАУ запишем так: AX = B, где , , 3

Метод простой итерации решения СЛАУ Предполагая, что диагональные элементы aii 0, выразим: x 1 - через первое уравнение системы, x 2 - через второе уравнение системы и так далее. В результате получим эквивалентную систему: 4

Метод простой итерации решения СЛАУ • Обозначим новые коэффициенты: 5

Метод простой итерации решения СЛАУ • Тогда в матричном виде система может быть записана Или: (2) 6

Метод простой итерации решения СЛАУ Система (1) приведена к нормальному виду (2). Решим СЛАУ методом простой итерации. За нулевое приближение примем столбец свободных членов: - нулевое приближение 7

Метод простой итерации решения СЛАУ Далее любое (k+1)-е приближение вычисляют по формуле: где . 8

Метод простой итерации решения СЛАУ Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел является решением системы, т. к. (по свойствам пределов), т. е. 9

Достаточное условие сходимости метода простой итерации: l 10 Если сумма модулей элементов строк или сумма модулей элементов столбцов матрицы меньше единицы, то процесс итерации для данной СЛАУ сходится к единственному решению независимо от выбора начального вектора.

Метод Зейделя o Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. В методе Зейделя при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi учитываются найденные ранее k-е приближения неизвестных x 1, x 2, … , хi-1. 11

Метод Зейделя o Пусть дана СЛАУ, приведённая к нормальному виду: 12

Метод Зейделя n Выбираем произвольно начальное приближение корней и подставляем в первое уравнение системы: 13

Метод Зейделя n Полученное первое приближение подставляем во второе уравнение системы (остальные - нулевые приближения): n Полученные первые приближения и подставляем в третье уравнение системы и т. д. 14

Метод Зейделя n Таким образом, предполагая, что k-е приближения корней известны, по методу Зейделя строим (k+1)-е приближения по формуле: 15

Метод Зейделя o Метод Зейделя часто приводит к более быстрой сходимости, чем метод итерации. Можно дать оценку числа итераций N, необходимых для достижения заданной точности : , где n - размерность квадратной матрицы из коэффициентов при неизвестных. 16

Метод Зейделя n Алгоритм в методе Зейделя прост и удобен для вычислений. Он не требует никаких действий с матрицей . Ранее вычисленные на текущей итерации компоненты сразу же участвуют в расчетах наряду с компонентами и, таким образом не требуют дополнительного резерва памяти, что существенно при решении больших систем. 17

ПРИМЕР 1 n Методом Зейделя решить систему : 18

Решение: n Приведем систему к нормальному виду: 19

Продолжение решения: n n За нулевые приближения возьмем соответствующие значения свободных членов: Строим итерации по методу Зейделя. 20

Продолжение решения: n Первые приближения: 21

Продолжение решения: n Вторые приближения: и так далее. На восьмой итерации (четвертый знак не меняется): 22