ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Численные методы линейной алгебры Лекция 5

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Численные методы линейной алгебры Лекция 5:

Основные понятия линейной алгебры Рассмотрим прямоугольную матрицу

Матрицы: определение, типы, действия Две матрицы A [aij] и B [bij] размерности m n равны другу, если aij= bij для всех i и j. ¡ Сумма (разность) двух матриц A и B размерности m n есть матрица размерности m n: A B [aij] [bij] [aij bij]. ¡

Матрицы: определение, типы, действия n Произведение матрицы A на скаляр есть матрица размерности m n: A [aij]= [ aij]. n Умножение матриц: A B, возможно если n. A = m. B, то есть число столбцов матрицы A должно равняться числу строк матрицы B. Из существования произведения A B вовсе не следует существование произведения B A.

Матрицы: определение, типы, действия o Для квадратных матриц (m=n) одного порядка существуют матрицы A B и B A, но, вообще говоря, A B B A. o Матрица E - «единица» относительно операции умножения, A E = E A = A.

Пример 1: n Умножение матриц, согласованных по размеру: = = =

Матрицы: определение, типы, действия l Важным частным случаем квадратной матрицы является диагональная матрица: l при а 11 = а 22 =…= аnn =1 матрица называется единичной и обозначается через Е.

Матрицы: определение, типы, действия l Матрица называется нижней треугольной, если все её элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю:

Матрицы: определение, типы, действия l Аналогично определяется верхняя треугольная матрица: l Квадратная матрица называется симметричной, если её элементы удовлетворяют соотношению aij = aji.

Матрицы: определение, типы, действия l Если в матрице поменять строчки со столбцами, то получим транспонированную матрицу:

Скалярные характеристики матрицы l Всякая квадратная матрица (А)n характеризуется определителем. Определитель (детерминант) квадратной матрицы обозначают det. A или буквой « » : , где Aij – алгебраическое дополнение элемента аij.

Определитель матрицы l Определитель det (A)2 вычисляют по правилу:

Пример 2 n Вычислить определитель матрицы по Лапласу (разложением по первой строке) n Решение: = 2 (7+22) - 4 (21+8) + 3 (33 -4) =58 – 116 + 87 = 29

Нормы матрицы n В пространстве квадратных матриц порядка n наиболее употребительны следующие нормы:

Нормы матрицы Норма - максимальное число среди сумм модулей элементов строк матрицы, n - максимальное число среди сумм модулей элементов столбцов матрицы, n - называется евклидовой или сферической. n

Пример 3 n Вычислить нормы матрицы n Решение:

Обратная матрица l Всякая невырожденная матрица А имеет обратную матрицу А-1 : l А А-1 = А-1 А = Е = где Аij – алгебраическое дополнение аij-го элемента матрицы А.

Прямые и итерационные методы решен СЛАУ n Прямыми называются методы, которые позволяют получить решения невырожденной системы за конечное число операций. Это решение может быть точным, но чаще приближенным из-за ошибок округления. Чем выше порядок матрицы, тем больше может оказаться результирующая погрешность.

Анализ СЛАУ Теорема Кронекера-Копелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна, если ранг матрицы системы A равен рангу расширенной матрицы А b. n Рассмотрим два прямых метода: метод Крамера и метод Гаусса.

Метод Крамера o o o По правилу Крамера система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, если определитель системы отличен от нуля ( = det. A 0) Значение каждого из неизвестных вычисляется как отношение двух определителей порядка n: хj = det. Aj / det. A, j=1, …, n. det. Aj – определитель матрицы, получаемый заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Метод Крамера o o При непосредственном вычислении определителей по правилу Крамера требуется приблизительно n n! арифметических операций. Использование метода Гаусса позволяет уменьшить время, необходимое для решения задачи.

Метод Гаусса o СЛАУ представим в виде:

Метод Гаусса o Метод Гаусса можно интерпретировать как метод, в котором первоначально матрица приводится к верхней треугольной форме (прямой ход), а далее – к единичной (обратный ход). Очевидно, что если матрица единичная, то xi = bi.

Итерационные методы дают решение как предел бесконечной последовательности приближенных решений, в которых каждое последующее, более точное приближение находится по уже найденному предыдущему решению (или предыдущим решениям). l Рассмотрим два итерационных метода решения СЛАУ: метод последовательных приближений и метод Зейделя.