Скачать презентацию Численные методы анализа Решение системы линейных уравнений Скачать презентацию Численные методы анализа Решение системы линейных уравнений

1. Решение систем линейных уравнений.ppt

  • Количество слайдов: 39

Численные методы анализа Численные методы анализа

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса – это метод последовательного исключения переменных с помощью Решение системы линейных уравнений методом Гаусса – это метод последовательного исключения переменных с помощью элементарных преобразований, которые приводят к равносильной системе ступенчатого (треугольного) вида. Сведение системы уравнений к треугольному виду называется метода Гаусса. Последовательность действий направленная на отыскание неизвестных системы уравнений называется метода Гаусса.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса 3, 2 0, 3 2, 8 Х 1 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса 3, 2 0, 3 2, 8 Х 1 + 0, 7 Х 2 + Х 3 = 1 4 1 0, 4 0, 2 Х 1 + 4, 1 Х 2 Х 3 = 8, 4 3 2 5 0, 1 4, 7 14, Х 1 Х 2 + Х 3 = 9 6 3 7 (1. 1)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Нормируем первое уравнение системы (1. 1) : 3, Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Нормируем первое уравнение системы (1. 1) : 3, 21 Х 1 + 0, 7 Х 2 + 0, 34 Х 3 = 2, 81 3, 21 0, 22 0, 10 0, 87 Х 1 + Х 2 + Х 3 = 1 6 5 (1. 2)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Умножим нормированное уравнение (1. 2) на коэффициент 0, Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Умножим нормированное уравнение (1. 2) на коэффициент 0, 43 при Х 1 второго уравнения системы (1. 1) × 0, 4 Х 1 + 0, 221 Х 2 + 0, 106 Х 3 = 0, 875 3 0, 4 0, 09 0, 04 0, 37 Х 1 + Х 2 + Х 3 = 3 5 6 6 (1. 3)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Умножим нормированное уравнение (1. 2) на коэффициент 0, Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Умножим нормированное уравнение (1. 2) на коэффициент 0, 19 при Х 1 третьего уравнения системы (1. 1) × 0, 1 Х 1 + 0, 221 Х 2 + 0, 106 Х 3 = 0, 875 9 0, 1 0, 04 0, 02 0, 16 Х 1 + Х 2 + Х 3 = 9 2 0 6 (1. 4)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Вычтем уравнение (1. 3) из второго уравнения системы Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Вычтем уравнение (1. 3) из второго уравнения системы (1. 1) 0, 4 Х 4, 11 Х 0, 22 Х + = 3 1 0 2 0 3 8, 450 0, 4 Х 0, 09 Х 0, 04 Х + + = 0, 376 3 1 5 2 6 3 4, 01 Х 0, 26 Х = 5 2 6 3 8, 826 (1. 5)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Вычтем уравнение (1. 4) из третьего уравнения системы Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Вычтем уравнение (1. 4) из третьего уравнения системы (1. 1) 0, 1 Х 0, 16 Х 4, 73 Х 14, 70 + = 9 1 0 2 0 3 0 0, 1 Х 0, 04 Х 0, 02 Х + + = 0, 166 9 1 2 2 0 3 0, 20 Х 4, 71 Х 14, 53 + = 2 2 0 3 4 (1. 6)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Х 1 0, 22 0, 10 + Х Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Х 1 0, 22 0, 10 + Х 2 + Х 3 = 0, 875 1 6 4, 01 0, 26 Х 2 Х 3 = 5 6 8, 826 0, 20 4, 71 14, 53 Х 2 + Х 3 = 2 0 4 (1. 7)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса 4, 01 0, 26 Х 2 Х 3 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса 4, 01 0, 26 Х 2 Х 3 = 5 6 8, 826 0, 20 4, 71 14, 53 Х 2 + Х 3 = 2 0 4 (1. 8)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Нормируем первое уравнение системы (1. 8) 4, 01 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Нормируем первое уравнение системы (1. 8) 4, 01 0, 26 : Х 2 Х 3 = 5 6 8, 826 4, 015 0, 06 Х 2 Х 3 = 6 2, 198 (1. 9)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Умножим нормированное уравнение (1. 9) на коэффициент (-0, Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Умножим нормированное уравнение (1. 9) на коэффициент (-0, 202) при Х 2 второго уравнения системы (1. 8) ×(Х - 0, 06 Х = 6 3 2, 198 0, 202) 2 0, 20 0, 01 0, 44 Х 2 + Х 3 = 2 3 4 (1. 10)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Вычтем уравнение (1. 10) из второго уравнения системы Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Вычтем уравнение (1. 10) из второго уравнения системы (1. 8) 0, 20 Х 4, 71 Х 14, 53 + = 22 03 4 0, 20 Х 0, 01 Х + =0, 444 2 2 3 3 4, 69 Х =14, 09 7 3 (1. 11)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Х 1 0, 22 0, 10 + Х Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Х 1 0, 22 0, 10 + Х 2 + Х 3 = 0, 875 1 6 0, 06 Х 2 Х 3 = 6 2, 198 4, 69 Х 3 = 14, 09 7 (1. 12)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Нормируем последнее уравнение системы (1. 12) 4, 69 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Нормируем последнее уравнение системы (1. 12) 4, 69 : Х 3 = 14, 09 7 4, 697 Х 3 = 3 (1. 13)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Х 1 0, 22 0, 10 + Х Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Х 1 0, 22 0, 10 + Х 2 + Х 3 = 0, 875 1 6 0, 06 Х 2 Х 3 = 6 2, 198 Х 3 = 3, 000 (1. 14)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Найдем значения неизвестных из уравнений системы (1. 14) Решение системы линейных уравнений методом Гаусса Найдем значения неизвестных из уравнений системы (1. 14) Х 3 = 3 (1. 15) 0, 06 Х 2 = + Х 3 = + ∙ 3= -2 2, 198 6 0, 87 0, 10 ∙ 0, 22 Х 1 = ∙ Х 2 = 5 6 Х 3 1 0, 87 0, 10 0, 22 ∙ (= ∙ 3= 1 5 6 1 2) Ответ: Х 1 = 1 Х 2 = -2 Х 3 = 3 (1. 16) (1. 17)

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Имеется система алгебраических линейных уравнений третьего порядка Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Имеется система алгебраических линейных уравнений третьего порядка (2. 1) Идея метода состоит в преобразовании исходной системы к виду, которая называется «приведенная система»

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Выражая из каждого уравнения системы неизвестное, стоящее Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Выражая из каждого уравнения системы неизвестное, стоящее на главной диагонали, получим приведенную систему: (2. 2)

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Решение системы сводится к вычислению неизвестных за Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Решение системы сводится к вычислению неизвестных за определенное число итераций. В результате каждой итерации получается новое значение неизвестных. Итерационный процесс заканчивается, если для каждой неизвестной будет выполняться условие где k – номер итерации (k=0, 1, …), (j=0, 1, …) (2. 3) j – индекс неизвестной

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации В начальном (нулевом) приближении все неизвестные берутся Решение системы линейных уравнений методом простой итерации В начальном (нулевом) приближении все неизвестные берутся равными нулю: (2. 4) Подставляя начальное приближение в правую часть уравнений системы (2. 2), найдем значения неизвестных в первом приближении: Далее во втором приближении: и так далее…

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Общий вид такого итерационного процесса: (2. 5) Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Общий вид такого итерационного процесса: (2. 5)

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Недостатком итерационных методов является жесткое условие сходимости, Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Недостатком итерационных методов является жесткое условие сходимости, т. е. приближение текущих значений неизвестных к корням системы уравнений. Для сходимости метода необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: (2. 6)

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Решить систему линейных уравнений методом простой итерации Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью до 0, 001. 3, 2 0, 3 2, 8 Х 1 + 0, 7 Х 2 + Х 3 = 1 4 1 0, 4 0, 2 Х 1 + 4, 1 Х 2 Х 3 = 8, 4 3 2 5 0, 1 4, 7 14, Х 1 Х 2 + Х 3 = 9 6 3 7 (2. 7)

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Выполним проверку на сходимость: (2. 8) Условие Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Выполним проверку на сходимость: (2. 8) Условие выполняется во всех уравнениях системы

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Примем в нулевом приближении значения неизвестных равные Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Примем в нулевом приближении значения неизвестных равные 0: (2. 9)

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Подставим принятые значения в итерационные формулы и Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Подставим принятые значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных в первом приближении (2. 10)

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Выполним проверку полученных значений Условие проверки вычисления Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Выполним проверку полученных значений Условие проверки вычисления не выполняется. Продолжим Подставим значения, полученные в первом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных во втором приближении

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации (2. 10) Решение системы линейных уравнений методом простой итерации (2. 10)

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Выполним проверку полученных значений Условие проверки вычисления Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Выполним проверку полученных значений Условие проверки вычисления не Подставим значения, приближении, выполняется. полученные Продолжим во втором в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных во втором приближении

Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Условия проверки итерации. выполняются только в Ответ: Решение системы линейных уравнений методом простой итерации Условия проверки итерации. выполняются только в Ответ: Х 1 = 1 Х 2 = -2 Х 3 = 3 пятой

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Данный метод также относится к итерационным методам и Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Данный метод также относится к итерационным методам и является развитием метода простой итерации. Процесс схождения в этом методе происходит быстрее, чем в методе простой итерации, т. к. значение неизвестных берется не с предыдущего шага, а последнее полученное Общий вид такого итерационного процесса: (2. 11)

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Решить систему линейных уравнений методом Зейделя с точностью Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Решить систему линейных уравнений методом Зейделя с точностью до 0, 001. 3, 2 0, 3 2, 8 Х 1 + 0, 7 Х 2 + Х 3 = 1 4 1 0, 4 0, 2 Х 1 + 4, 1 Х 2 Х 3 = 8, 4 3 2 5 0, 1 4, 7 14, Х 1 Х 2 + Х 3 = 9 6 3 7 (2. 12)

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Примем в нулевом приближении значения неизвестных равные 0: Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Примем в нулевом приближении значения неизвестных равные 0: (2. 13)

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Подставим принятые значения в итерационные формулы и вычислим Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Подставим принятые значения в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных в первом приближении (2. 14)

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Выполним проверку полученных значений Условие проверки вычисления не Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Выполним проверку полученных значений Условие проверки вычисления не выполняется. Продолжим Подставим значения, полученные в первом приближении, в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных во втором приближении

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя (2. 15) Решение системы линейных уравнений методом Зейделя (2. 15)

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Выполним проверку полученных значений Условие проверки вычисления не Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Выполним проверку полученных значений Условие проверки вычисления не Подставим значения, приближении, выполняется. полученные Продолжим во втором в итерационные формулы и вычислим значения неизвестных во втором приближении

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Условия проверки выполняются только в четвертой итерации. Ответ: Решение системы линейных уравнений методом Зейделя Условия проверки выполняются только в четвертой итерации. Ответ: Х 1 = 1 Х 2 = -2 Х 3 = 3