Численные методы анализа ч 1 -2 Всё опыт

1. 6. Погрешности вычислений Источники погрешностей: § неустранимые (неадекватность математической модели, ошибочные исходные данные), § регулируемые: а) погрешности численного метода (конечность ряда разложения функции, замена интегрирования суммированием, …), б) погрешности округлений: δmax=0. 5α 1 -k (k - количество разрядов мантиссы числа, α – основание системы счисления). 7

1. 7. Устойчивость. Корректность. Сходимость. 1. Чувствительность к неточностям исходных данных задачи характеризуется понятием «устойчивость» . Задача называется устойчивой по отношению к исходному параметру x , если решение y непрерывно от него зависит, т. е. малое приращение исходной величины Δx приводит к малому приращению искомой величины Δy. 2. Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторого класса существует единственное решение, устойчивое по отношению к исходным данным. Некорректные задачи решаются методами регуляризации, основанными на замене исходной некорректной задачи на поставленную корректно. Последняя содержит параметр, при стремлении которого к некоторому значению, эта задача переходит к исходной. 8

3. Неустойчивость метода. Численный алгоритм называется корректным в случае существования и единственности численного решения при любых значениях исходных данных , а также в случае устойчивости этого решения относительно погрешностей исходных данных. 4. Сходимость метода § при использовании метода последовательных приближений сходимость предполагает приближение результата вычислений к истинному значению при неограниченном увеличении числа итераций § при дискретизации (замене задачи с непрерывными параметрами на задачу, в которой значения функции вычисляются в фиксированных точках) – приближение значений дискретной модели решению исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации. 9

1. 8. Аппроксимация функций. 1. 8. 1. Постановка задачи. § Функциональная зависимость y=f(x) неизвестна, очень сложна или задана в виде таблицы [дискретному множеству значений аргумента {xi} поставлено в соответствие множество значений функции {yi} (i=0, 1, …n)], а требуется найти (вычислить) значения искомого параметра y при любых значениях определяющего параметра x. § Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию f(x) требуется заменить на некоторую другую функцию φ(x) (аппроксимирующую), так, чтобы отклонение φ(x) от f(x) в заданной области было минимальным. На практике φ(x) чаще всего представляется в виде полинома φ(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2+…. +amxm. § Интегральная (непрерывная) аппроксимация строится на непрерывном множестве точек (отрезке [a, b]), а точечная – на 10

1. 8. 2. Точечная аппроксимация. § Интерполирование (один из основных типов аппроксимации). Для заданной функции y=f(x) строится интерполяционный многочлен φ(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2+…. +amxm т. е. степенной ряд, принимающий в заданных точках (узлах интерполяции) {xi} (i=0, 1, …n) те же значения yi, что и функция f(xi). При этом предполагается, что среди {xi} нет одинаковых. Максимальная степень многочлена m=n (глобальная интерполяция), в этом случае решение единственное. Если интерполяционный многочлен строится отдельно для различных частей интервала, то такая интерполяция называется кусочной или локальной. Экстраполирование – нахождение значений функции вне отрезка [a, b]. § Отказ от требования прохождения аппроксимирующей функции 11

1. 8. 3. Равномерное приближение. В некоторых случаях ставится более жесткое условие, т. е. требуется, чтобы во всех точках на отрезке [a, b] отклонение многочлена φ(x) от функции f(x) было по абсолютной величине меньшим заданной величины ε>0. | f(x) – φ(x) | < ε , a ≤ x ≤ b. В этом случае говорят, что многочлен φ(x) равномерно аппроксимирует функцию f(x) на отрезке [a, b]. Абсолютное и среднеквадратичное отклонения многочлена φ(x) от функции f(x) Δ=max| f(x) – φ(x) | Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для любого ε>0 существует многочлен φ(x) степени m=m(ε), абсолютное отклонение которого от функции f(x) на отрезке [a, b] меньше ε. 12

1. 8. 4. Локальная интерполяция. § Линейная интерполяция: соединение заданных точек отрезками прямых: § φ(x)=a 0+a 1 x § Квадратичная (параболическая) интерполяция § φ(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2 § Сплайн – специально построенный многочлен третьей степени математическая модель тонкого гибкого стержня из упругого материала, обеспечивающая минимум потенциальной энергии при заданных узлах интерполяции и углах наклона стержня в этих точках. При этом используется условие непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции. 13

2. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений 1. Алгебраические и трансцендентные уравнения. § Алгебраические уравнения содержат алгебраические функции – целые, рациональные и иррациональные. § Трансцендентные уравнения содержат тригонометрические, показательные, логарифмические и др. функции. § 2. Методы Метод отделения корней. решения. § Графическое решение уравнений. § Метод половинного деления. § Метод хорд. § Метод Ньютона (метод касательных). § Метод последовательных приближений (метод итераций) 14

2. 1. Отделение корней Пусть дано уравнение f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на некотором (конечном или бесконечном) интервале a

Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [α, β], т. е. f(α) f(β)<0, то внутри этого отрезка содержится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, т. е. найдется хотя бы одно число , такое, что f(ξ) =0. Корень ξ заведомо единственный, если производная f’(x) существует и сохраняет знак внутри интервала (α, β). 16

Теорема 2. Пусть ξ - точный, а - приближенный корни уравнения f(x)=0, находящихся на одном и том же отрезке [α, β], причем при. В таком случае справедлива оценка 2. 2. Графическое решение уравнений Действительные корни уравнения f(x)=0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции y =f(x) или, если уравнение f(x)=0 можно записать как ψ(x)=φ(x), абсциссы точек пересечения 17

2. 3. Метод половинного деления Пусть дано уравнение f(x)=0 , где функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) f(b)<0. 1. Отрезок [a, b] делится пополам. 2. Если f((a+b)/2)) = 0, то ξ = (a+b)/2 есть корень уравнения. 3. Если f((a+b)/2)) ≠ 0, то выбирается та половина отрезка, [a, (a+b)/2] или [(a+b)/2, b] , на которой f(x) имеет противоположные знаки. 3. Далее эта процедура продолжается до допустимого отличия f(xn) от нуля. 18

2. 4. Метод пропорциональных частей (метод хорд) Пусть дано уравнение f(x)=0 , где функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) f(b)<0. Пусть f(a) <0, а f(b)>0. 1. Отрезок [a, b] делится в соотношении – f(a): f(b). Это дает приближенное значение корня x 1=a+h 1. 2. Далее выбирается та часть отрезка, [a, x 1] или [x 1, b] , на которой f(x) имеет противоположные знаки. 3. Процедура воспроизводится до допустимого отличия f(xn) от нуля. 19

2. 5. Метод Ньютона (метод касательных) Пусть корень ξ уравнение f(x)=0 отделен на отрезке [a, b], причем f ’(x) и f ”(x) непрерывны и сохраняют свои знаки в пределах этого отрезка. Найдя некоторое приближенное значение корня xn, мы можем уточнить его по методу Ньютона. Положим ξ= xn+hn. По формуле Тейлора f(xn+hn) ≈ f(xn) + f’(xn)∙hn ≈0. Откуда следует hn=– f(xn) / f ’(xn) или xn+1=xn– f(xn) / f ’(xn) (n=0, 1, 2, …). «Хорошим» начальным условием xn является то, для которого f 20 (xn) ∙ f ”(xn)>0.

2. 6. Метод итераций (метод последовательных приближений) Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) – непрерывная функция. Требуется найти его вещественные корни. Производится замена уравнения на x=φ(x) Любым способом (грубо) определяется приближенное значение корня x 0 и подставляется в правую часть ур-я. В результате получается первое приближение: x 1=φ(x 0). Второе приближение имеет вид: x 2=φ(x 1). Далее процесс продолжается, т. е. : xn=φ(xn-1). Если эта последовательность сходящаяся, то корень ξ можно 21

Теорема существования решения (сходимости итерационного ряда) Пусть корень функция φ(x) определена и дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда если существует правильная дробь q такая, что | φ ’(x)|≤q<1 при a

Важные замечания 1. Теорема существования остается справедливой и в случае, если функция φ(x) определена и дифференцируема на бесконечном интервале ∞

24

2. 7. Отделение корней 25

2. 8. Метод половинного деления в пакете Math. Cad 26

27

28

2. 9. Метод Ньютона в пакете Math. Cad 29

2. 10. Встроенная функция root в пакете Math. Cad 30

The end 31