Численное решение СЛАУ с помощью LU-разложения матрицы коэффициентов

Численное решение СЛАУ с помощью LU-разложения матрицы коэффициентов. Вычисление определителя матрицы. Обращение матрицы.

Постановка задачи: (1) Идея метода L – нижняя треугольная матрица U – верхняя треугольная матрица LUx = b Ly = b ; Ux = y (2 а) (2 б)

Теорема(об LU-разложении матрицы) Если все главные угловые миноры матрицы А не равны нулю, то матрицу А можно представить в виде где L – нижняя треугольная матрица, U – верхняя треугольная матрица. Если какая – либо из матриц L, U имеет ненулевую диагональ, то такое разложение единственно.

Два вида разложения: 1) (3) 2) (4)

Получение матриц L и U

Получение расчетных формул для матриц L и U

Получение расчетных формул для матриц L и U (продолжение)

Первый шаг второго этапа

Второй шаг второго этапа

Вычисление определителя матрицы Метод Гаусса Прямой ход LU-алгоритм - I вид LU-разложения или - II вид LU-разложения

Обращение матрицы

Введем новые обозначения Получим n систем из n уравнений

Численное решение СЛАУ со специального вида матрицами

Метод скалярной 3 -х точечной прогонки Постановка задачи : (1) (2)

Введем новые обозначения (3) (4) (5) (3), (5) – граничные уравнения 0 c 0 b a

от Зависимость (6) (6 а)

Вычисление и (7) (8) (9)

Вычисление (10) (11) (12) и

Вычисление (13)

Алгоритм метода скалярной прогонки 1. Прогонка вперед – вычисление прогоночных коэффициентов: Формула (12), Формулы (8), (9). 2. Прогонка назад – вычисление формула (13); Формула (6)

Условие применимости метода Достаточным условием применимости метода прогонки является требование диагонального преобладания в матрице А: (14) Замечание Диагональное преобладание гарантирует что угловые миноры матрицы А отличны от 0 (15)