ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Игнатюк В. И. Игнатов

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Игнатюк В. И. Игнатов А. Ю.

Из математики известно, что определенный интеграл представляет собой по физическому смыслу площадь фигуры, ограниченной осью x, функцией f(x) и ординатами f(a) и f(b).

С другой стороны, известно, что Если Δxi принимать конечной величиной, то получаем формулу для приближенного вычисления интеграла методом прямоугольников:

где f(xi) – одна из ординат функции в пределах участка Δxi ; участки Δxi могут приниматься одинаковой величины (Δxi = Δx), что для расчета часто является более удобным. В зависимости от положения ординаты различают три варианта расчета:

1) если точки xi берутся слева на участках Δx, то будем иметь сумму левых прямоугольников:

2) если на участках Δx берутся правые ординаты, то будем иметь сумму правых прямоугольников:

3) если возьмем средние значения функции на участках Δx, то получим сумму прямоугольников, базирую- щихся на средних ординатах (такой подход часто называют методом средних) :

Вероятно, последний вариант будет точнее, чем два предыдущих, однако для его применения необходимо дополнительно вычислять средние ординаты на участках. Для численного вычисления интегралов используются и другие подходы, приводящие к еще более точным результатам. Рассмотрим некоторые из них.

Интегрирование функции одной переменной

1. Линейная функция Получим зависимость для вычисления определенного интеграла линейной функции одной переменной.

Пусть на участке длиной а имеем линейную функцию f(x). Выражение этой функции легко определяется из геометрических соображений: где Δf находится из подобия треугольников:

Подставим функцию f(x) в выражение интеграла и после интегрирования получим:

Получаем площадь трапеции. Поэтому для функции одной переменной в данном случае говорят о вычислении интегралов по формуле трапеций.

2. Параболическая функция

Подставим φ(x) в интеграл и выполним интегрирование: П-323

Получили выражение, которое представляет формулу Симпсона для вычисления интегралов, содержащих одну параболическую функцию одной переменной.

Интегрирование произведения двух функций

1. Формула трапеций (две линейные функции)

Рассмотрим интеграл вида в котором обе функции линейны и изменяются по зависимостям: Подставляя эти выражения в интеграл и выполняя интегрирование, получим:

Это выражение называют формулой трапеций.

Если функции будут представлять, например, изгибающие моменты, как в интегралах Мора, то для двух линейных эпюр изгибающих моментов получим формулу трапеций в виде:

2. Формула Симпсона

Рассмотрим интеграл вида от двух функций, где одна из функций будет линейной: а вторая будет изменяться по параболической зависимости:

Подставляем зависимости в интеграл и выполняем интегрирование:

Получаем выражение, которое называют формулой Симпсона.

Для функций в виде изгибающих моментов формула Симпсона будет иметь вид:

Представленные формулы для численного интегрирования позволяют вычислять перемещения в рамно-балочных, арочных и комбинированных системах. При этом для рам и балок, где зависимости изменения эпюр будут однозначно соответствовать линейным или параболическим, данные формулы будут давать точный результат, а для арок – будем получать приближенные значения.

Алгоритм численного вычисления интеграла