ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Если функция f x непрерывна на

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Если функция f(x) непрерывна на отрезке то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и имеет вид

Задача численного интегрирования Найти определенный интеграл на отрезке если подынтегральная функция на отрезке задана таблично. Формулы приближенного интегрирования называются квадратурными формулами.

Постановка задачи: (1) y 0 a b x 0 x 1 xn-1 xn x (2)

Погрешность численного интегрирования - погрешность вычисления интеграла - погрешность в малом - погрешность вычисления интеграла - погрешность в целом

Связь Пусть и

Метод прямоугольников основан на непосредственном определении интеграла: где - интегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезка и некоторому выбору точек , , …, на отрезках разбиения

Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.

y Учитывая, что высота Прямоугольника ABba есть значение функции в точке f(x) A + E – B C D 0 a b x

Для увеличения точности численного интегрирования можно отрезок разбить на несколько частей и для каждой из них вычислить приближенное значение площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок (i = 0, 1, …, n – 1), а высотой число т. е. значение функции в точке

Практически удобно делить отрезок на равные части, а точки (i = 0, 1, …, n – 1) совмещать с левыми или с правыми концами отрезков разбиения.

Если точку совместить с левым концом отрезка то приближенное значение интеграла может быть представлено формулой левых прямоугольников: где – шаг.

y 0 x

. Если же в качестве точки выбрать правый конец отрезка то приближенное значение интеграла вычисляется по формуле правых прямоугольников:

y 0 x

Формула средних прямоугольников f(x) a b x 0 xn – составная формула

Погрешность формул средних прямоугольников

Метод трапеций Заменим на отрезке дугу AB графика подынтегральной функции y = f(x) стягивающей ее хордой и вычислим площадь трапеции ABba. Примем значение определенного интеграла численно равным площади этой трапеции: Это и есть формула трапеций

y f(x) B A 0 a b x

Если отрезок разделить на несколько частей и применить формулу трапеции к каждому отрезку Тогда

y 0 x

Для простоты вычислений удобно разделить отрезок на равные части, в этом случае длина каждого из отрезков разбиения есть Численное значение интеграла на отрезке равно

А на всем отрезке соответственно Эта формула называется общей формулой трапеции. Ее можно переписать в виде где – шаг.

Погрешность формулы трапеций

Составная формула трапеции

Метод парабол (метод Симпсона) y h 0 h x

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

Формула Симпсона

Определитель матрицы отличен от 0 => система уравнений имеет единственное решение

Через данные точки проходит единственная квадратичная парабола

Вычислим значение функции в точках

Найдём интеграл

Для увеличения точности вычислений отрезок разбивают на n пар участков и заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона второй степени, получают приближенное значение интеграла на каждом участке длины 2 h:

…………………

Тогда численное значение определенного интеграла на отрезке будет равно сумме интегралов Это соотношение называется общей формулой Симпсона. Ее можно записать также в виде где

Составная формула Симпсона

Пример: Вычислить определённый интеграл График подынтегральной функции

Ответ:

Метод Монте-Карло n Методы Монте-Карло – это общее название группы методов для решения различных задач с помощью случайных последовательностей. Название этой группе методов дал город Монте-Карло – столица европейского игорного бизнеса (казино).

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: n Требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. n Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=A.

Пример использования метода Монте-Карло n Предположим, что нам нужно определить площадь плоской фигуры, расположенной внутри квадрата, сторона которого равна единице , при этом площадь квадрата Sкв=1. Выберем внутри квадрата наугад N точек. Обозначим через M количество точек, попавших при этом внутрь фигуры. Тогда площадь фигуры S приближенно равна отношению M/N. Отсюда, чем больше N, тем больше точность такой оценки. S/Sкв≈M/N или S ≈ M/N

Вычисление числа π методом Монте-Карло Рассмотрим четверть круга единичного радиуса. Площадь четверти круга равна: S=πr 2/4. Для r=1 S=π/4 Y 1 A B M/N ≈ π/4 C O 1 X