Числа в информатике Автор Харченко Яна Сергеевна Преподаватель

Числа в информатике Автор: Харченко Яна Сергеевна, Преподаватель информатики

Цель проекта: Расширить знания, умения и навыки учащихся по теме «Системы счисления» .

Пути исследования • Поиск необходимой информации в Интернете; • Изучение литературы

Гипотеза: • Двоичное положительное число можно сложить с двоичным отрицательным используя дополнительный код.

Для подтверждения или опровержения гипотезу рассмотрим историческую справку «Как люди считают» , выясним какие системы счисления существуют, дадим определение системам счисления, рассмотрим какие арифметические операции можно производить с двоичными числами.

Как же люди считают?

На картинке представлены разные алфавиты. Одни возникли в глубокой древности, другие -в наши дни, но все служат общей цели - помогают людям называть и записывать любые числа. Начнем с цифр, которыми мы пользуемся и сейчас. Их принято называть арабскими. В Европу их действительно занесли арабы, и было это очень давно, в VIII нашей эры. Но родина арабских цифр и нашей десятичной системы счисления-Индия. Алфавит нашей десятичной системы всем известен. Это десять цифр-0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Как же с их помощью суметь записать любое, как угодно большое число? Тут приходят на помощь правила числового языка. В десятичной системе имеет значение не только сама цифра, но и место, на котором она стоит, - позиция. Недаром наша десятичная система называется позиционной в отличие от других, непозиционных, о которых речь впереди.

В числе 222 самая правая двойка означает две единицы, вторая справа – два десятка, а третья – сотни. Это число записано по правилам нашей системы – десять единиц образуют один десяток, то есть десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда. Точно так же десять единиц второго разряда образуют одну единицу третьего разряда и так далее. Десятичная систем далеко не сразу стала такой распространенной, как сейчас. Многие народы пользовались раньше другими системами.

Ацтеки и майя – народы американского континента, создавшие самобытную культуры, - считали по правилам двадцатеричной системы. В основе здесь было число «двадцать» . Для записи чисел майя использовали черточки и точки (см. рисунок). У древних греков числа записывались с помощью букв (см. рисунок).

Из исторической справки мы узнали несколько новых понятий: системы счисления, позиционная систем и непозиционная система. Рассмотрим их подробнее далее.

Системы счисления – что это? Система счисления- это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Непозиционные системы счисления Непозиционная система счисления - система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа. Примером непозиционной системы счисления может служить римская системы. «Римские» цифры знакомы всем – I, III, IV и т. д. У римлян была принята непозиционная система. Например, число 38 записывается в этой системе так: XXXVIII. Здесь цифра Х встречается три раза, на разных местах, но везде обозначает одну и ту же величину, десять единиц.

Позиционные системы счисления Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется Pичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления. Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена: x = an. Pn + an-1 Pn-1 +. . . + a 1 P 1 + a 0 P 0 + a-1 P-1 +. . . + a-m. P-m

Какие арифметические операции можно производить с двоичными числами? Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм: • 1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению; • 2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т. д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь в системе счисления с основанием P. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Пример Перевести число 75 из десятичной системы счисления в двоичную. Решение: 7510 =10010112;

Пример Перевести число 75 из десятичной системы счисления в восьмеричную. Решение: 7510 =1138;

Пример Перевести число 75 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Решение: Используя таблицу остаток 1110 запишем одной шестнадцатеричной цифрой В 16 7510 =4 В 16;

Задание 1 для самостоятельного выполнения: I. Перевести данные числа из десятичной системы счисления в двоичную: а) 46410; б)380, 187510; в) 115, 9410 (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении). II. Перевести данное число из десятичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления: а) 4610

Самоконтроль I. Перевести данные числа из десятичной системы счисления в двоичную: а) 46410 = 1110100002; б)380, 187510 = 101111100, 00112; в) 115, 9410» 1110011, 111102 (в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего результат был округлен). II. Перевести данное число из десятичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления: а) 4610=568=2 Е 16;

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8 = 23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах:

Соответствие между шестнадцатиричными цифрами и десятичными числами

Пример Переведем из двоичной системы в восьмеричную число 111010101, 112. Используя таблицу 3, получаем: 001 111 010 101, 1102 = 1725, 68.

Задание 2 для самостоятельного выполнения: I. Перевести из двоичной системы в шестнадцатеричную числа 1)1111010101, 112. 2)1000002 3)11112 II. Перевести из шестнадцатеричной системы в двоичную числа а)АВСD 16; б)3 FFFF 16;

Самоконтроль Используя таблицу 3, получаем 1)0011 1101 0101, 11002 = 3 D 5, C 16 2)1000002=2016 3)11112=FF 16 а)АВСD 16=1010 1011 1100 11012 б)3 FFFF 16=11 11112

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

Некоторые неотрицательные степени числа 2 (в десятичной системе счисления) Некоторые неотрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления) Некоторые отрицательные степени числа 8 (в десятичной системе счисления)

Пример: Перевести число 10000012 в десятичную систему счисления 10000012=1× 26+0× 25+0× 24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1× 20 = 64+1=6510.

Задание 3 для самостоятельного выполнения: 1. Перевести число 1000011111, 01012 в десятичную систему счисления Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать. 2. Перевести число 1011, 12 в десятичную систему счисления. 3. Перевести число 1216, 048 в десятичную систему счисления. 4. Перевести число 29 A, 516 в десятичную систему счисления.

Взаимоконтроль 1)1000011111, 01012=1× 29 + 1× 24 + 1× 23 + 1× 22 + 1× 21 + 1× 20 + 1× 2 -2 + 1× 2 -4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0, 25 + 0, 0625 = 543, 312510; 2)1011, 12=11, 510; 3) 1216, 048=1× 83+2× 82+1× 81+6× 80+4× 8 -2 = 512+128+8+6+0, 0625 = 654, 062510; 4) 29 A, 516 = 2× 162+9× 161+10× 160+5× 16 -1 = 512+144+10+0, 3125 = 656, 312510

Арифметические операции в системах счисления Теперь мы в одном шаге до ответа на главный вопрос «Как сложить двоичное положительное число можно сложить с двоичным отрицательным используя дополнительный код? » . Для этого рассмотрим какие же арифметические операции можно произвести в двоичной системе счисления:

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения:

Пример I. Сложить числа 1112+1102; Используя таблицу 9, получаем: II. Умножить числа 1012+1102; Используя таблицу 10, получаем: *

Задание 4 для самостоятельной работы: I. Сложить числа: а) 100000001002 + 1110000102 б)10001101, 12+111011, 112 II. Умножить число: а) 11100112*1100112

Взаимоконтроль I. Используя таблицу 9, получаем: II. Используя таблицу 10, получаем: а) а) б) *

Теперь, я думаю, мы сможем ответить на вопрос «Как сложить двоичное положительное число с двоичным отрицательным используя дополнительный код? »

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемо с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Рассмотрим 2 основных случая: Случай 1. А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Пример: Десятичная запись: Двоичные коды: Дополнительный код числа -10 Дополнительный код числа -7 Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110+1=1 0000111= -710;

Рассмотрим 2 основных случая: Случай 2. А положительное, В отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Пример: Десятичная запись: Двоичные коды: Дополнительный код числа -3 Перенос отбрасывается Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Вывод В данном проекте мы доказали, что сложить двоичное положительное число с двоичным отрицательным используя дополнительный код можно.

Задание для работы в группах: Группа № 1. Группа № 2. Задание: В какой системе счисления справедливо равенство 21+24=100? Задание: В какой системе счисления справедливо равенство 22+44=110

Рефлексия «Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры – двоичной»

Источники информации: 1. http: //comp-science. narod. ru/Progr/Syst_Sch. html 2. Информатика: учеб. пособие для 10 -11 кл. общеобразоват. учреждений/ Л. З. Шауцукова. -3 -е изд. -М. : Просвещение, 2003 г.