Числа управляю миром Пифагор Лекция 1 Предмет теории

Числа управляю миром Пифагор Лекция 1 Предмет теории чисел. Делимость целых чисел. Теорема о делении с остатком

Предмет теории чисел Теория чисел: • наука о числовых системах с их связями и законами; • изучает числа с точки зрения их строения и внутренних связей, рассматривает возможности представления чисел через другие, более простые; • арифметика или высшая арифметика (arithmetike от arithmos – «число» , и techne – «наука» )

• Со времён Пифагора известно, что Пифагоровы числа, то есть натуральные числа, удовлетворяющие условию x 2+y 2=z 2, вычисляются по формулам: x=2 mn, y=m 2 -n 2, z=m 2+n 2, где m, n ϵN, m>n и одно из них четное, а другое нечетное • Но то, что уравнение xn+yn=zn при n>2 неразрешимо в натуральных числах (великая теорема Ферма), было доказано сравнительно недавно Пьер де Ферма (1601 -1665) – французкий математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, советник парламента в Тулузе

Пифагорейские числа • Четные и нечетные числа: o четно-четные: те, половина которых четная; o нечетно-четные: те, половина которых нечетная; o четно-нечетные: те, которые при делении на нечетное число дают четное число; o нечетно-нечетные: те, которые имеют только нечетные делители • Простые и составные числа • Линейные, плоские, телесные, квадратные и кубические числа: o линейные числа не имеют делителей (т. е. являются простыми числами); o плоские числа являются произведением двух чисел, образующих их стороны; o телесные числа являются произведением трех чисел, образующих их стороны; o квадратные числа записываются в виде квадрата другого числа; o кубические числа записываются в виде куба другого числа

Пифагорейские числа • Совершенные, недостаточные и избыточные числа: o недостаточные числа – те, сумма собственных делителей которых меньше самого числа (собственный делитель числа – это другое число, на которое исходное число делится нацело, включая единицу и исключая само число); o избыточные числа – те, сумма собственных делителей которых больше самого числа; o совершенные числа равны сумме всех своих собственных делителей • Дружественные числа: два таких числа, каждое из которых равно сумме делителей другого. Пифагорейцам была известна лишь одна пара дружественных чисел: 220 и 284 220=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (сумма делителей числа 220). 284=1+2+4+71+142 (сумма делителей числа 284).

Числа близнецы • Числа близнецы - пары простых чисел с разностью, равной двум (в пределах первой сотни): 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73 • По мере удаления от нуля близнецов становится всё меньше и меньше, хотя исследования, проводимые «в глубоком числовом космосе» , продолжают выявлять эти замечательные и загадочные пары • Среди них имеются пары очень больших чисел. На 2005 г. рекордсменами считались близнецы 33218925∙ 2169690± 1, найденные с помощью ЭВМ • До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество пар близнецов

• Учение о целых числах всегда казалось учёным неисчерпаемым полем для исследований и во все времена привлекало к себе внимание наиболее выдающихся умов «Эта особенность теории чисел вместе с неистощимым богатством её, которым она столь сильно превосходит другие отрасли математики, придаёт высшей арифметике неотразимое очарование, сделавшее её любимой наукой величайших математиков» (Гаусс) Иога нн Карл Фри дрих Га усс (1777 — 1855 гг. ) — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист

Высшая арифметика имеет большое значение в развитии математики • В первую очередь развитие математики связано с расширением понятия числа • Расширение понятия числа до действительного числа породило метод координат, аналитическую геометрию и математический анализ • Измерения длин, площадей, объёмов, объединившие геометрию и теорию чисел, привели к созданию интегрального исчисления

С развитием математики и расширением понятия числа развивалась и сама теория чисел • Современная теория чисел сильно отличается от элементарной (классической) теории чисел • Она распадается на геометрическую теорию чисел, аналитическую теорию чисел (где используются методы математического анализа, в частности, теория функций комплексного переменного), комбинаторную теорию чисел, алгебраическую теорию чисел • И при изучении теории чисел используются методы, соответственно, геометрии, математического анализа, теории вероятностей и др.

В последние два десятилетия теория чисел весьма широко используется в криптографии • Шифрование и дешифрование текстов можно представить себе как процессы переработки целых чисел при помощи ЭВМ, а способы, которыми выполняются эти операции, как некоторые функции, определённые на множестве целых чисел • Для дешифрования наиболее трудоёмкую часть вычислений составляет разложение натуральных чисел на простые множители • В теории чисел, несмотря на многолетнюю её историю и на очень интенсивные поиски в течение последних 20 лет, эффективный алгоритм разложения натуральных чисел на множители так и не найден

Отношение делимости. Делимость целых чисел • В Италии существует поговорка «Трудное дело деление» . Так обычно говорят, когда оказываются перед почти неразрешимой проблемой • В Средние века людей, умевших производить деление, можно было пересчитать чуть ли не по пальцам. Их уважительно называли «магистрами деления» . Они переезжали из города в город по приглашениям купцов, желавших привести в порядок свои счета

Старинная восточная притча Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трём сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвёртую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу

Старинная восточная притча - О мудрец! – сказал старший брат. – Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца? - Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой. Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались: - О мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний. - Это не лишний, - сказал мудрец, - это мой верблюд. Верните его и идите домой

Определение отношения делимости Пусть a, b ϵ Z, b≠ 0. Говорят, что a делится на b, если существует c ϵ Z, что a=b∙c • Обозначают: • Говорят также: b – делитель a, b делит a (обозначают: b│a), a кратно b.

На 0 делить нельзя • Число 0 не рассматривается в качестве делителя • Действительно, если a≠ 0, то a=0∙q невозможно при любом q • Если же a=0, то 0=0∙q верно при любом целом q. Однако в этом случае частное q, в отличие от остальных случаев, определяется не однозначно • Если считать, что 0 делится на 0, то это создаёт определённые неудобства

Пример • Разложим в произведение выражение a 2 -a 2 двумя способами: 1) вынесем общий множитель за скобки a(a-a) 2) используем формулу разности квадратов (а-а)(а+а) • Имеем: • • а(а-а)=(а-а)(а+а) После разделим обе части на (а-а) и получим: а=2 а Ещё разделим на а, получим, что 1=2 Казус получился из-за того, что делили 0 на 0 Поэтому на 0 делить нельзя

Свойства делимости 1. , если а≠ 0 (рефлексивность) Действительно, а=а∙ 1 2. Если и , то (транзитивность) Доказательство: a=bq, b=cq 1, где q, q 1 – целые числа. Откуда a=c(q 1 q) 3. Если а≠ 0, то 4. Если а≠ 0 и , то │a│≥│b│ Доказательство: a=bq, q ϵ Z. Так как q≠ 0, то │q│ ϵ N, следовательно, │q│≥ 1. Умножим обе части неравенства на положительное число │b│, получим: │bq│≥│b│, то есть │a│≥│b│ 5. Если , то b=± 1 (следует из свойства 4) 6. Если и , то a=±b Доказательство: a=bq, b=aq 1, где q, q 1 – целые числа. a=a(q 1 q), откуда q 1 q=1, q=± 1 и a=±b 7. для любого целого а

Свойства делимости 8. Если и , то Доказательство: a=cq, b=cq 1, где q, q 1 – целые числа 9. Если и b ϵ Z, то 10. Если и , то (следует из свойств 9, 8) 11. Если и 12. Если и 13. Если 14. Если 15. Если 16. Если и , то и b ϵ N, то

Теорема о делении с остатком Для любого целого числа а и любого целого b≠ 0 существуют и единственные целые числа q и r, такие, что a = bq + r, где 0 ≤ r <│b│ Число q называют неполным частным, r – остатком

Доказательство 1) b>0. Рассмотрим числовую прямую и разобьем её на отрезки длины b точками 0, ±b, ± 2 b, ± 3 b, … -2 b -b 0 b 2 b Очевидно, что где бы ни было расположено число a, оно обязательно попадёт в один из полуинтервалов [bq, b(q+1)), где q – целое, так как числовая прямая – объединение всех таких полуинтервалов. То есть найдётся целое q, что bq ≤ a ≤ b(q+1). К каждой части неравенства прибавим –bq, получим 0 ≤ a-bq < b Обозначим a-bq=r. Тогда a=bq+r, 0 ≤ r < b=│b│ 2) b<0. Тогда –b > 0 и по доказанному для a и –b существуют целые q и r, что a=(-b)q+r, 0 ≤ r <│-b│. Откуда получаем: a=b(-q)+r, где 0 ≤ r <│b│. Существование q и r доказано

Доказательство Докажем единственность. • Пусть a =bq+r, 0≤ r <│b│, и a= bq 1+r 1, 0 ≤ r 1<│b│ • Имеем: bq+r = bq 1+r 1, b(q-q 1) = r 1 -r Ø Если q=q 1, то r 1=r Ø Если же q≠q 1, то (r 1 -r) и, следовательно, │r 1 -r│≥│b│(свойство делимости 5) • Однако │r 1 -r│<│b│ - противоречие • Следовательно, q=q 1, r 1=r

Ребус