Числа Фибоначчи Выполнила: Сокольникова Елизавета;
Определение n n Числа Фибоначчи или Последовательность Фибоначчи - числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т. д. ), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т. е. постоянных соотношений. Последовательност Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. . .
n Особенности чисел Фибоначчи 1. каждое третье число Фибоначчи четно; 2. каждое четвертое кратно 3; 3. каждое пятнадцатое оканчивается нулем; 4. два соседних числа Фибоначчи взаимно просты.
Происхождение n n n Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе. Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования» . На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что: изначально есть новорожденная пара кроликов (самец и самка), со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов, кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год? В начале первого месяца есть только одна новорожденная пара. В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается В конце третьего месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается В конце четвертого месяца первая пара рождает еще одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается В конце n-го месяца число кроликов будет равно числу кроликов в предыдущем месяце плюс числу новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом:
Свойства последовательности Фибоначчи n n n 1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0. 618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предыдущему стремится к 1. 618 (обратному к 0. 618). Число 0. 618 называют (ФИ). 2. При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0. 382; наоборот – соответственно 2. 618. 3. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4. 235, 2. 618, 1. 618, 0. 382, 0. 236.
Связь последовательности Фибоначчи и "золотого сечения" n n n n n Последовательность Фибоначчм асимптотически (пpиближаясь все медленнее и медленнее) стpемится к некотоpому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иppационально, то есть пpедставляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифp в дpобной части. Его невозможно выразить точно. Если какой-либо член последовательности Фибоначчина пpедшествующий ( апpимеp pазделить ему напpимеp , 13: 8), pезультатом н будет величина, колеблющаясяиppационального около значения 1. 61803398875. . . чеpез pаз то пpевосходящая, то не и достигающая его. Hо даже затpатив на это Вечность, невозможно узнать сотношение точно, до последней десятичной цифpы. Kpаткости pади, мы будем пpиводить его в виде 1. 618. Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (сpедневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Cpеди его совpеменных названий есть такие, как Золотое сечение, Золотое сpеднее и oтношение веpтящихся квадpатов. Kеплеp назвал это соотношение одним из "сокpовищ геометpии". В алгебpе общепpинято его обозначение гpеческой буквой фи Ф=1. 618 Представим золотое сечение на примере отрезка. Рассмотрим отрезок с концами A и B. Пусть точка С делит отрезок AB так что, AC/CB = CB/AB или AB/CB = CB/AC. Представить это можно примерно так: A-----C----B Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0, 618. . . , если AB принять з 0, 382. . Kакмы уже знаем числа 0. 618 и 0. 382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи.
Пропорции Фибоначчи и золотого сечения в природе и истории n n Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи. Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых. Пpиводимые ниже примеры показывают некоторые интересные приложения этой математической последовательности. 1. Pаковина закручена по спирали ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. . Если Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1. 618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике. 2. Растения и животные Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и. Еще спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д. Cовместная работаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни".
Использование чисел Фибоначчи в музыке. Трудно найти человека, не знающего, что такое скрипка. Изготовление хорошей скрипки – большое искусство. В этом искусстве выдающихся успехов достигли Антонио Страдивари, Амати, Гварнери, и по сей день звучание их инструментов является образцом, превзойти который не удалось еще никому. Можно предположить, что такое звучание происходит благодаря закону золотого сечения, которое лежит в построение скрипке Антонио Страдивари. Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято искусствоведом Л. Сабанеевым. Еще в 1925 году он, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на Части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами» , которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Э. К. Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» И. С. Баха, ученый пришел к выводу, что «она, оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона - закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения» . Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого. Весь огромный звукоряд делится на три основные регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения. Небосвод Вселенной между 12 уровнями - от низшего к высшему. Каждому уровню соответствует свой знак Зодиака. Таким образом, существует неразрывная связь космоса с музыкальной системой.
Скачать презентацию Числа Фибоначчи Выполнила Сокольникова Елизавета Определение n
Числа Фибоначчи.ppt