Четырехполюсники 1 Основные уравнения четырехполюсника 2 Уравнения четырехполюсника

Четырехполюсники 1. Основные уравнения четырехполюсника 2. Уравнения четырехполюсника при питании со стороны выходных зажимов. 3. Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсников. 4. Опытное определение коэффициентов четырехполюсника. 5. Эквивалентные схемы замещения четырехполюсников. 6. Волновое сопротивление четырехполюсника. 7. Коэффициент распространения 8. Уравнения четырехполюсника в гиперболических функциях 2003 г. Переменный ток

Четырехполюсники Четырехполюсник- некая обобщенная электрическая цепь, имеющая четыре зажима, одна пара которых присоединена к источнику энергии, а другая пара к потребителю. I 1 U 1 1 2 I 2 2' 1' U 2 ZH Рис. 1. Четырехполюсник в рабочем режиме Рис1. I 1 U 1 1 1' 2 А 2' I 2 U 2 Переменный ток Рис. 2. Активный четырехполюсник

Четырехполюсники I U 1 1' П 2 2' I 2 U 2 Рис. 3 Пассивный четырехполюсник Рис. 3 Четырехполюсники отличаются от других электрических цепей тем, что независимо от внутренней схемы соединения напряжения на входе и выходе жестко связаны определенными зависимостями, которые называются уравнениями четырехполюсника. Четырехполюсники бывают активные ( Рис. 2 ) и пассивные ( Рис. 3 ). Активные четырехполюсники содержат внутри себя источники питания, внутри пассивных четырехполюсников источников питания нет.

Четырехполюсники Основные уравнения четырехполюсника. По теореме о компенсации заменим напряжения на входе и выходе четырехполюсника эдс. Причем Е 1= U 1 , Е 2=U 2. I 1 I 2 1 2 E 1 E 2 2' 1' Ток в любой ветви электрической цепи по методу наложения равен Ik =E 1 Yk 1+E 2 Yk 2+E 3 Yk 3+ + Еk. Ykk Учитывая , что в рассматриваемой электрической цепи только две ЭДС, получим уравнения для токов I 1 и I 2:

Четырехполюсники 1. I 1= E 1 Y 11 – E 2 Y 12 I 2 = -E 2 Y 22 + E 1 Y 21 2. I 1= U 1 Y 11 – U 2 Y 12 I 2 = -U 2 Y 22 + U 1 Y 21 Из второго уравнения системы (2) выразим напряжение U 1 3. 4. А В Подставим в первое уравнение системы (2) уравнение (3) C D

Четырехполюсники 5. I 1= С U 2 + D I 2 В результате получим систему уравнений (6), связывающих входные значения тока и напряжения с выходными. Система (6) - основные уравнения четырехполюсника (6) относительно входных I 1 = С U 2 + D I 2 зажимов. Коэффициенты четырехполюсника А, В, С, D могут быть действительными либо комплексными числами, а также некоторыми функциями связанными с параметрами четырехполюсника.

Четырехполюсники Коэффициенты четырехполюсника связаны между собой уравнением АD–BC=1 Доказательство Полученное уравнение справедливо линейных четырехполюсников для любых

Четырехполюсники Уравнения четырехполюсника при питании со стороны выходных зажимов. U 2 ' 1 1' 2 U 2 I' 1 U 1 ' 2' X (6) 7. 8. D X B X U'1 I 1 - I'2 - I'1 C X U'2 I 2 I'2 U 1 A Вычтем из (7) уравнение (8)

Четырехполюсники 9. 10. Вычтем из (10) уравнение (11) 11. 12. 13. Система 13 - основные уравнения четырехполюсника при питании со стороны выходных зажимов.

Четырехполюсники Таким образом, при питании со стороны выходных зажимов, структура уравнений остается той же, что и при питании со стороны входных зажимов, только меняются местами коэффициенты А и D. Если А = D , то входные и выходные зажимы связаны одними и теми же зависимостями, независимо с какой стороны питается четырехполюсник. Такие четырехполюсники называются симметричными и условием симметрии является A = D

Четырехполюсники Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсника. Покажем, что любой рабочий режим четырехполюсника может быть получен наложением двух режимов: холостого хода и короткого замыкания. I 2 H I 1 1 2 U 1 Z 2' 1' H H I. Холостой ход. ( Z H = ∞, I 2 xx = 0) 1. 2. а) Опыт холостого хода проводим таким образом , чтобы U 2 xx=U 2 H

Четырехполюсники II. Короткое замыкание (ZH=0, U 2 xx=0) b) Опыт короткого замыкания проводим таким образом, чтобы I 2 k=I 2 H 3. 4. С учетом замечаний ( a, b) уравнения 1, 2, 3, 4 будут иметь вид (5, 6, 7, 8) 5. 6. (9) 7. 8. I 1 = С U 2 H + D I 2 H Сравнив уравнения 5 -8 с уравнениями системы (9), получим

Четырехполюсники (10) Вывод: Система уравнений 10 показывает , что любой режим работы четырехполюсника может быть определен наложением двух независимых режимов (хх и кз) при соблюдении условий (а, b).

Четырехполюсники Опытное определение коэффициентов четырехполюсника Для определения коэффициентов четырехполюсника необходимо провести 3 опыта: 1. Холостой ход 2. Короткое замыкание 3. Обратный холостой ход или обратное короткое замыкание. 4. Использовать уравнение А D – B C = 1 I 1 W U 1 V А С 0 1 2 I 2 ZH 1' 2' U 2

Четырехполюсники При проведении опытов измеряем I, U, P 1. Опыт холостого хода (ХХ). I 2 x=0, ZH=∞ 2. Опыт короткого замыкания (кз). U 2 k=0 , ZH=0.

Четырехполюсники 3. Обратное короткое замыкание (окз). U'2 k=0. Уравнения при питании со стороны выходных зажимов.

Четырехполюсники В режиме обратного короткого замыкания 1. 2. 4. А D – B C = 1 3.

Четырехполюсники Решим совместно 1, 2, 3, 4. Подставим полученные выражения в (4) (5) (6)

Четырехполюсники Если четырехполюсник симметричный , то Z 1 k = коэффициент А определяется по уравнению (6) Z 2 k и Для определения характера нагрузки ( знака аргумента у входного сопротивления) служит емкость, подключаемая параллельно исследуемому четырехполюснику. Если при подключении емкости показание амперметра уменьшаются, то характер цепи индуктивный, если наоборот –емкостной. Эквивалентные схемы замещения четырехполюсника Z 2 T I I 2 I 1 Z 1 T I 1 2 Z 2 T U 1 U 2 U U 2 1' Y 2 T U 0 ' Рис. 1 Рис. 2

Четырехполюсники Пример: С помощью уравнений Кирхгофа составленных для схемы Рис. 2 получить уравнения, аналогичные уравнениям четырехполюсника. Z 2 T I Z 1 T I 1 2 I 1 I 0 1 2 U 1 U 0 Y 2 T 2 1' ' Рис. 1 2 1. 2. 3.

Четырехполюсники Выразим из (3) ток I 1 5. 6. 7. 8. Таким образом получили систему:

Четырехполюсники 9. 10. (11) I 1 = С U 2 + D I 2 Сравнив уравнения 9 и 10 с системой (6) получим 12. 14. 13. 15.

Четырехполюсники Сопротивления Т-образной схемы замещения: Т-образная схема замещения может использоваться как для симметричных , так и для не симметричных четырехполюсников. Для схемы замещения симметричных четырехполюсников Z 1 T=Z 2 T. П-образная схема замещения может быть получена путем из Т-образной схемы замещения, если преобразовать звезду сопротивлений в треугольник.

Четырехполюсники П-образная схема замещения четырехполюсника. ZП I 1 U 1 Y 1 п I 2 Y 2 п U 2 Выразим параметры П –образной схемы замещения через коэффициенты четырехполюсника: Если четырехполюсник симметричный, то Y 1 П=Y 2 П

Четырехполюсники Повторное или характеристическое (волновое) сопротивление четырехполюсника Повторным (волновым) сопротивлением называется такое сопротивление четырехполюсника, при подключении которого к выходным зажимам входное сопротивление становится волновым. Пусть к выходным зажимам симметричного четырехполюсника подключено повторное(волновое) сопротивление ( Zc ) I 1 U 1 (1) По определению ( ) 1 1' I 2 2 2' Zc U 2

Четырехполюсники Определим величину волнового сопротивления. С учетом (1) и (2) (3) (4) Поделим (3) на (4)

Четырехполюсники (5) (6) (7) (8) Найдем из (6) отношение U 1/U 2 и I 1/I 2

Четырехполюсники (9) (10) Отношение токов и напряжений на входе и выходе четырехполюсника одинаково и обозначается - коэффициент распространения, комплексное число - коэффициент затухания - коэффициент фазы Коэффициент затухания показывает во сколько раз изменились ток и напряжение на выходе по отношению к напряжению и току на входе четырехполюсника.

Четырехполюсники Коэффициент фазы показывает на сколько изменились фазы токов и напряжений при переходе от входных зажимов четырехполюсника к выходным, Уравнения четырехполюсника в гиперболических функциях Некоторые предварительные формулы гиперболический синус гиперболический косинус 2003 г. Переменный ток

Четырехполюсники -гиперболический тангенс -гиперболический котангенс 2003 г. Переменный ток

Четырехполюсники Можно сделать вывод иначе 2003 г. Переменный ток

Четырехполюсники 11. 2003 г. Переменный ток

Четырехполюсники Система 11 - уравнения симметричного четырехполюсника в гиперболических функциях. Опытное определение волнового сопротивления ZC и коэффициента распространения I 1 U 1 1 1' 2 2' I 2 ZH U 2 1. Режим холостого хода(xx). Анализируя систему 11 получим. 1. 2003 г. 2. Переменный ток

Четырехполюсники 3. 2. Режим короткого замыкания U 2=0 2003 г. Переменный ток