Скачать презентацию ЧАСТЬ 4 Жесткопластическое деформирование при условии плоской деформации Скачать презентацию ЧАСТЬ 4 Жесткопластическое деформирование при условии плоской деформации

лекции по пластичности 004.ppt

  • Количество слайдов: 61

ЧАСТЬ 4. Жесткопластическое деформирование при условии плоской деформации. ЧАСТЬ 4. Жесткопластическое деформирование при условии плоской деформации.

4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Плоской деформацией называется такое деформированное состояние 4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Плоской деформацией называется такое деформированное состояние тела, при котором смещения всех частиц тела параллельны одной плоскости. Такое состояние характерно для длинных призматических тел из однородного изотропного материала, нагруженных по нормали к боковой поверхности силами, не зависящими от z. Аналитическое решение задач плоского деформирования для упругопластического тела затруднительно, однако существует приближенный метод, в рамках которого тело рассматривается как жесткопластическое, то есть деформирование происходит только в тех областях, где выполнено условие текучести. Условие текучести – условие перехода материала в пластическое состояние может, например, иметь вид

4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Жесткопластическая модель удовлетворительна, если пластические деформации 4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Жесткопластическая модель удовлетворительна, если пластические деформации локализованы в некоторой достаточно четко определяемой области и велики настолько, что в сравнении с ними упругими деформациями можно пренебречь. Такая ситуация реализуется в технологических задачах с установившейся текучестью, к которым относятся, например, прокатка, волочение проволоки, штамповка. Кроме того, жесткопластическая модель дает возможность получать оценки предельных нагрузок.

4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Считается, что пластические деформации не могут 4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Считается, что пластические деформации не могут быть вызваны гидростатическим нагружением, поэтому пластическую составляющую тензора деформаций связывают с девиатором тензора напряжений соотношениями вида или Поскольку , из этих соотношения следует

4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. При плоской деформации напряженно-деформированное состояние во 4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. При плоской деформации напряженно-деформированное состояние во всех сечениях будет постоянным и не зависящим от. При этом Таким образом является одним из главных напряжений.

4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Отказавшись от обычно применяемого правила нумерации 4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Отказавшись от обычно применяемого правила нумерации главных напряжений, обозначим как. Затем найдем остальные главные значения. Максимальное касательное напряжение: Это позволяет записать все главные напряжения в простом виде

4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Направляющие косинусы главных направлений определяются соотношениями: 4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Направляющие косинусы главных направлений определяются соотношениями: Зная первое главное направление, можно найти направления площадок, на которых действуют максимальные касательные напряжения, на том основании, что эти направления составляют с главным угол

4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Если материал находится в состоянии пластического 4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Если материал находится в состоянии пластического течения, выполнено условие Условие текучести принимает вид Добавим к нему уравнения равновесия с нулевыми объемными силами: Если к этому добавить граничные условия для напряжений, у нас будет полная система уравнений для определения напряженного состояния независимо от деформаций. Если использовать эту модель для нахождения экстремальных нагрузок, то этих уравнений достаточно.

4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Компоненты двумерного тензора напряжений выражаются через 4. 1. Плоская деформация. Жесткопластическое приближение. Основные уравнения. Компоненты двумерного тензора напряжений выражаются через главные напряжения следующим образом:

4. 2. Линии скольжения и их свойства. Семейства и линий задаются, соответственно, дифферен. Линии 4. 2. Линии скольжения и их свойства. Семейства и линий задаются, соответственно, дифферен. Линии скольжения – линии, в каждой своей точке касающиеся циальными уравнениями площадок максимального касательного напряжения. Линии скольжения образуют два ортогональных семейства, характеризующихся уравнениями Линии скольжения покрывают область ортогональнойпарамет. Линии, соответствующие фиксированным значениям сеткой, и элементы, на которые эта сетка делит ра бесконечно малые -линиями и наоборот. , называются область, испытывают на угол Линии отклоняются одинаковое растяжение в направлении вправо от первого главного линий скольжения обоихвлево. направления, -линии – семейств

4. 2. Линии скольжения и их свойства. Пусть имеется некая линия L, заданная уравнениями 4. 2. Линии скольжения и их свойства. Пусть имеется некая линия L, заданная уравнениями и на ней известны значения искомых функций необходимо найти функции , , принимающие эти значения на L, то есть решить задачу Коши для уравнений Если L – характеристическая линия, то решение задачи Коши невозможно, поскольку нельзя вдоль L однозначно определить из дифференциальных уравнений первые производные от решения.

4. 2. Линии скольжения и их свойства. Сменим систему координат: где s 1 отсчитывается 4. 2. Линии скольжения и их свойства. Сменим систему координат: где s 1 отсчитывается вдоль касательной к L в некоторой точке P, а s 2 – вдоль нормали. Если и дифференцируемы, то вдоль L кроме них известны их производные Уравнения равновесия и условие пластичности, как и дифференциальные уравнения от и не меняют своего вида при таком переходе, причем угол , определяющий направление площадки скольжения в точке P, отсчитывается от s 1. Если L не является линией скольжения, значит В этом случае, зная и на L , можно найти и из дифференциальных уравнений от и , записанных в новых координатах, и решить задачу Коши.

4. 2. Линии скольжения и их свойства. В случае, когда L является линией скольжения, 4. 2. Линии скольжения и их свойства. В случае, когда L является линией скольжения, то есть упомянутые производные нельзя определить из уравнений В этом случае L будет характеристической линией. Таким образом характеристические линии совпадают с линиями Если координатные оси направлены по касательным к линиям скольжения, то система переписывается вхарактеристик, значит есть два семейства виде система имеет гиперболический тип. Где частные производные берутся вдоль и линий.

4. 2. Линии скольжения и их свойства. Вдоль и линий выполняются соответственно условия Параметр 4. 2. Линии скольжения и их свойства. Вдоль и линий выполняются соответственно условия Параметр меняется при переходе от одной -линии к другой, но вдоль одной линии остается постоянным. То же справедливо относительно параметра и -линий. Если параметры и известны вдоль какой-то линии, исходящие из которой линии скольжения покрывают всю интересующую нас область, то в каждой точке этой области можно найти величины и , а значит и.

4. 2. Линии скольжения и их свойства. 1. Вдоль линии скольжения давление меняется пропорционально 4. 2. Линии скольжения и их свойства. 1. Вдоль линии скольжения давление меняется пропорционально углу линии скольжения с осью Ox 1. 2. При переходе от одной -линии к другой вдоль какой-то линии изменение угла и давления не зависит от выбора линии. Аналогичное правило выполняется для перехода между линий вдоль -линии. 3. Если известно в какой-то точке сетки скольжения, его можно вычислить всюду в поле. 4. Вдоль прямых отрезков линий скольжения величины , , 11, 22, 12 постоянны. Если в некоторой области оба семейства линий скольжения прямолинейны, напряжения там распределены равномерно. 5. Если некоторый отрезок линии скольжения прямой, то все соответствующие отрезки линий его семейства, отсекаемые линиями другого семейства, тоже прямые.

4. 2. Линии скольжения и их свойства. 6. Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого 4. 2. Линии скольжения и их свойства. 6. Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого семейства, имеют одинаковую длину. 7. Радиусы кривизны двух линий скольжения одного семейства в точках пересечения их линией другого семейства отличаются на длину отсекаемого ими отрезка на этой линии. 8. Если двигаться вдоль -линии в сторону вогнутости -линий, то каждая следующая -линия будет иметь радиус кривизны меньший, чем у предыдущей. 9. Если производные компонент напряжения испытывают разрывы при переходе через линию скольжения одного семейства, то кривизна линий второго семейства вдоль этой линии также разрывна.

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Можно привести к простому виду уравнения в качестве 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Можно привести к простому виду уравнения в качестве неизвестных функций взяв параметры , . подставим

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Можно привести к простому виду уравнения в качестве 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Можно привести к простому виду уравнения в качестве неизвестных функций взяв параметры , . подставим

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Можно привести к простому виду уравнения в качестве 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Можно привести к простому виду уравнения в качестве неизвестных функций взяв параметры , . подставим

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Умножим второе уравнение на tg и прибавим к 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Умножим второе уравнение на tg и прибавим к первому

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Умножим второе уравнение на -ctg и прибавим к 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Умножим второе уравнение на -ctg и прибавим к первому

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Получаем простую систему уравнений: Эту систему можно привести 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Получаем простую систему уравнений: Эту систему можно привести к линейной системе путем перемены ролей зависимых и независимых переменных. Пусть и якобиан преобразования не равен нулю Подставив эти выражения для частных производных в исходную систему и сократив на ненулевой якобиан, получим каноническую линейную систему

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Система уравнений не эквивалентна системе так как теряет 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Система уравнений не эквивалентна системе так как теряет решения, соответствующие =0 (они называются первыми интегралами плоской задачи. Но эти решения можно получить непосредственно: перепишем =0 с учетом системы Отсюда вытекают три случая, в которых где-то в области выполняется условие =0.

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. 1. Равномерное напряженное состояние Линии скольжения обоих семейств 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. 1. Равномерное напряженное состояние Линии скольжения обоих семейств – прямые. 2. Простое напряженное состояние автоматически удовлетворяется переписывается в виде поскольку Решения очевидны: Таким образом, одно семейство линий скольжения – прямые линии, зависящие от параметров С 1, С 2.

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Вдоль этих прямых сохраняются напряжения Второе семейство строится 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. Вдоль этих прямых сохраняются напряжения Второе семейство строится как семейство линий, ортогональных первым. 3. Аналогичное простое напряженное состояние В более общем случае прямолинейное семейство состоит из касательных к некоторой линии, называемой предельной кривой. Важным случаем является центрированное поле, где предельная кривая вырождается в точку.

4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. То есть мы области, примыкающей к области равномерного 4. 3. Линеаризация, простые напряженные состояния. То есть мы области, примыкающей к области равномерного Теорема. Вимеем в В простое напряженное состояние. Области равномерного напряженногоосуществляется простое состояния можно соединапряженного состояния всегда нять при помощи областей простого напряженного состояния. напряженное состояние. Доказательство. Пусть в области А имеется равномерное напряженное состояние, то есть. Отрезок линии скольжения, являющийся границей этой области А – прямой, и на нем также. По свойству (5) в соседней Допустим, он является -линией. . области семейство -линий будет состоять из прямых отрезков равной длины, причем , так каждая -линия, пересекающая границу А и В, несет на себе постоянное значение

4. 4. Граничные условия для напряжений. Когда поле линий скольжения построено, необходимо задать граничные 4. 4. Граничные условия для напряжений. Когда поле линий скольжения построено, необходимо задать граничные условия в напряжениях, чтобы найти напряжения внутри области. Пусть имеется некоторый контур С, на котором заданы нормальная и касательная составляющая напряжения n и n, причем. Если φ – угол между нормалью к контуру С и осью Ox 1, то справедливы следующие соотношения: Подставим сюда напряжения из выражений и получим уравнения:

4. 4. Граничные условия для напряжений. Если xi=xi(s) – уравнения контура С, n(s) – 4. 4. Граничные условия для напряжений. Если xi=xi(s) – уравнения контура С, n(s) – заданные на контуре напряжения, то на С известны = (s) и = (s), а значит и параметры , . В частности, если отрезок границы – прямой и n, n на нем постоянны, то постоянны и , , , . Однако , , , неоднозначно определяются из уравнений А именно Наличие двух решений, удовлетворяющих условию текучести, определяется квадратичным характером последнего. Для выбора знака необходимы дополнительные условия, которые не имеют универсального характера и определяются в каждом частном случае из механической постановки задачи. Помощь в выборе может оказать нормальное напряжение возле контура, определяемое формулой.

4. 4. Граничные условия для напряжений. Вблизи свободной прямолинейной границы может быть только либо 4. 4. Граничные условия для напряжений. Вблизи свободной прямолинейной границы может быть только либо растяжение, либо сжатие вдоль нее. Если на контуре только нормальные напряжения, уравнения упрощаются до вида В случае свободной прямолинейной границы имеем на границе

4. 5. Основные краевые задачи, связанные с решением задачи жесткопластического деформирования при плоском деформированном 4. 5. Основные краевые задачи, связанные с решением задачи жесткопластического деформирования при плоском деформированном состоянии можно разделить по способу задания условий на границах исследуемых областей. Задача Коши. В плоскости Ox 1 x 2 задается гладкая дуга АВ через параметрические уравнения xi=xi(s), нигде не совпадающая с линиями скольжения и пересекающая каждую из них лишь один раз (например – граница тела). На АВ задаются (s), непрерывные вместе со своими первыми и вторыми производными. Требуется построить решение уравнений принимающее на АВ заданные значения.

4. 5. Основные краевые задачи. Свойства решений задачи Коши. Решение задачи Коши существует и 4. 5. Основные краевые задачи. Свойства решений задачи Коши. Решение задачи Коши существует и единственно в области, ограниченной дугой АВ и отрезками и -линий, исходящих из ее концов, включая и сами эти отрезки. Решение непрерывно вместе со своими производными до второго порядка включительно. Решение в точке С зависит только от данных на дуге АВ, являющейся для точки С областью зависимости. Если на кривой, содержащей дугу АВ, изменить данные вне этой дуги, то и изменения решения произойдут только за пределами криволинейного треугольника АВС.

4. 5. Основные краевые задачи. Из последнего следует, что вдоль линии скольжения, ограничивающей область, 4. 5. Основные краевые задачи. Из последнего следует, что вдоль линии скольжения, ограничивающей область, к решению в этой области можно присоединять снаружи любые решения, отличные от него, то есть в соседних областях решения могут иметь разные аналитические выражения. Если изменить данные в некоторой точке , это окажет влияние лишь на решение в области, отсеченной от АВС и линиями, исходящими из D.

4. 5. Основные краевые задачи. Если производные начальных данных будут разрывными в некоторой точке 4. 5. Основные краевые задачи. Если производные начальных данных будут разрывными в некоторой точке , упомянутые выше результаты будут справедливы не во всем треугольнике АВС, а только в треугольных подобластях, опирающихся соответственно на отрезки дуги АЕ и ЕВ. Решение можно построить и в оставшейся за их пределами части треугольника АВС, но вдоль линий скольжения, исходящих из Е, решение будет иметь разрывы производных. Эти разрывы распространяются только вдоль линий скольжения и не могут исчезнуть на них.

4. 5. Основные краевые задачи. Следствие: Поле напряжений у границы, свободной от нагрузки, определяется 4. 5. Основные краевые задачи. Следствие: Поле напряжений у границы, свободной от нагрузки, определяется только формой границы. Справедливо, поскольку n=0 на границе, откуда следует, что направление нормали к контуру является одним из главных направлений, и линии скольжения подходят к контуру под углом /4, что исключает совпадение контура где либо с характеристическим направлением и обеспечивает единственность решения задачи Коши. Важный частный случай: У прямолинейной свободной границы всегда существует поле равномерного одноосного растяжения или сжатия величиной 2 s, параллельного границе. Эта область равномерного напряженного состояния представляет собой треугольник, основание которого – граница, а боковые стороны – прямолинейные линии скольжения, выходящие из ее концов.

4. 5. Основные краевые задачи. У границы, представляющей собой дугу окружности, поле скольжения образовано 4. 5. Основные краевые задачи. У границы, представляющей собой дугу окружности, поле скольжения образовано логарифмическими спиралями где r, j – полярные координаты с центром в центре окружности, которой принадлежит дуговая свободная граница, a – радиус этой окружности. Логарифмические спирали – это линии, в каждой своей точке пересекающие луч, выходящий из центра окружности, под углом ± /4.

4. 5. Основные краевые задачи. Начало отсчета угла φ определяется таким образом, что φ=0 4. 5. Основные краевые задачи. Начало отсчета угла φ определяется таким образом, что φ=0 в точке пересечения линий скольжения, ограничивающих область, опирающуюся на дугу. Напряженное состояние в этой области имеет вид который легко получить, решив с нулевыми граничными условиями на напряжения систему из уравнения равновесия и условия текучести в полярных координатах:

4. 5. Основные краевые задачи. Действительно, 4. 5. Основные краевые задачи. Действительно,

4. 5. Основные краевые задачи. Начальная характеристическая задача (задача Римана). Значения и задаются на 4. 5. Основные краевые задачи. Начальная характеристическая задача (задача Римана). Значения и задаются на двух отрезках и -линий, выходящих из одной точки. Эти значения не могут быть произвольными, поскольку в силу природы линий скольжения связаны соотношениями вдоль и -линий соответственно. Эти граничные значения обычно получаются из решения задач в соседних областях и потому автоматически удовлетворяют данному условию. Решение краевой задачи определено в четырехугольнике ABCD.

4. 6. Линии разрыва напряжений. При определенных условиях поля напряжений могут быть разрывными вдоль 4. 6. Линии разрыва напряжений. При определенных условиях поля напряжений могут быть разрывными вдоль линий скольжения. Если разрывны только производные, такой разрыв решения называется слабым. Если решение, удовлетворяющее граничным условиям, само имеет разрыв, такой разрыв называется сильным. Вдоль линии разрыва напряжения должны удовлетворять простым условиям, вытекающим из уравнений равновесия и условия текучести. Рассмотрим бесконечно малый элемент, лежащий на линии разрыва и имеющий исчезающе малую толщину. На гранях элемента действуют напряжения Обозначим компоненты напряжения с разных сторон линии разрыва индексами + и –. Поскольку толщина элемента стремится к нулю, из условия равновесия следует необходимость соотношений

4. 6. Линии разрыва напряжений. Значит, разрыв может испытывать только напряжение Условие текучести справедливо 4. 6. Линии разрыва напряжений. Значит, разрыв может испытывать только напряжение Условие текучести справедливо по обе стороны линии разрыва, значит, по обе стороны справедливы ранее полученные соотношения Из них получаем откуда находим

4. 6. Линии разрыва напряжений. Поскольку элемент лежит на линии разрыва, возьмем В итоге 4. 6. Линии разрыва напряжений. Поскольку элемент лежит на линии разрыва, возьмем В итоге имеем скачок на линии разрыва: Подставим в

4. 6. Линии разрыва напряжений. Поскольку элемент лежит на линии разрыва, возьмем В итоге 4. 6. Линии разрыва напряжений. Поскольку элемент лежит на линии разрыва, возьмем В итоге имеем скачок на линии разрыва: Подставим в

4. 6. Линии разрыва напряжений. Если перед скобкой взять знак +, распределение напряжений в 4. 6. Линии разрыва напряжений. Если перед скобкой взять знак +, распределение напряжений в окрестности предполагаемой линии разрыва будет непрерывным. Поэтому возьмем знак – , что даст нам то есть угол наклона линий скольжения меняется скачком на линии разрыва напряжений. Также скачком меняется и кривизна линий скольжения. Линия скольжений не может быть линией разрыва напряжений, поскольку на линии скольжения

4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. Чтобы решить жесткопластическую задачу, надо 4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. Чтобы решить жесткопластическую задачу, надо выделить жесткие и пластические области. В жестких областях напряжения не определены, так что такое выделение в известной мере произвольно. Возникает проблема нединственности полей напряжений. Необходим признак, позволяющий выделить из множества возможных построений наиболее подходящее. Возьмем для примера длинную полосу с круговым отверстием, растягиваемую вдоль своей продольной оси x 2 (рассмотрим область вблизи отверстия)

4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. Есть два вида свободной границы 4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. Есть два вида свободной границы – внешняя прямая и внутренняя круглая. И к той и к другой можем пристроить поле линий скольжения неопределенного размера. У круглой границы – треугольники из логарифмических спиралей. У прямых границ – треугольники из прямых линий. Размеры этих областей могут быть ограничены положением точки их соединения (после того, как пластическая область пересечет все сечение полосы, она перестанет распространятся в материал).

4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. Вариантов с разными расположениями точки 4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. Вариантов с разными расположениями точки встречи пластических областей бесконечно много. Могут также реализоваться и два крайних варианта, когда точка встречи лежит на внешней или внутренней свободной границе.

4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. 4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора.

4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. На горизонтальной оси симметрии в 4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. На горизонтальной оси симметрии в направлении растяжения полосы в треугольнике у внешней границу будет действовать x 2, а в криволинейном треугольнике у внутренней – φ. Предельная нагрузка – такая, при которой пластическая область пересекает всю полосу, полностью отделяя друг от друга жесткие области: где r 0 – полярный радиус точки соприкосновения областей.

4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. В действительности всегда реализуется наиболее 4. 7. Неединственность поля напряжений. Предельная нагрузка. Критерий выбора. В действительности всегда реализуется наиболее энергетически выгодная конфигурация пластической зоны, то есть та, при которой предельная нагрузка минимальна. Легко видеть, что это случай (в), при котором

Примеры применения модели. Есть полоса с двумя симметричными тонкими вырезами, растягиваемая вдоль продольной оси Примеры применения модели. Есть полоса с двумя симметричными тонкими вырезами, растягиваемая вдоль продольной оси (рассмотрим верхнюю левую четверть). 1. Справа от выреза равномерное напряженное состояние. Ограничено линиями скольжения, исходящими из точек О и D. Вариант большого треугольника, симметричного относительно продольной оси полосы, отпадает, как требующий большей энергии (большей площади пластической зоны). 2. К свободной поверхности выреза примыкает область равномерного напряженного состояния. Ограничена линиями скольжения, исходящими из точек О и А. Где находится А? 3. Чтобы это узнать, строим третью область – центрированное простое НС, соединяющее области OCD и ABO.

Примеры применения модели. -линия, граница пластической зоны. Во всей области параметр Схема работает только Примеры применения модели. -линия, граница пластической зоны. Во всей области параметр Схема работает только для глубоких вырезов. При неглубоких прорыв к оси симметрии происходит не по оси AD.

Примеры применения модели. В верхней области имеется растяжение, в Как найти точку С? нижней Примеры применения модели. В верхней области имеется растяжение, в Как найти точку С? нижней – сжатие. По сечению ОО` главный вектор напряжений должен быть равен нулю:

Примеры применения модели. Подставив, получим Предельный момент: Примеры применения модели. Подставив, получим Предельный момент:

Примеры применения модели. Задача о плоском штампе. Решение Прандтля. Предположение Прандтля: под штампом равномерное Примеры применения модели. Задача о плоском штампе. Решение Прандтля. Предположение Прандтля: под штампом равномерное НС. Напряжение там неизвестно. У свободных границ тоже равномерное НС (сжатие -2 s вдоль границы). Области равномерного НС соединяются областями центрированного простого НС. Надо найти среднее напряжение в треугольнике АВС.

Примеры применения модели. Задача о плоском штампе. Решение Прандтля. Вдоль -линии постоянен, то есть Примеры применения модели. Задача о плоском штампе. Решение Прандтля. Вдоль -линии постоянен, то есть он один и тот же в этих треугольниках.

Примеры применения модели. Задача о плоском штампе. Решение Хилла. Предположение Хилла: под штампом равномерное Примеры применения модели. Задача о плоском штампе. Решение Хилла. Предположение Хилла: под штампом равномерное НС, но состоит из двух областей, соединяющихся лишь в одной точке. Получим то же давление на линии под штампом и ту же предельную нагрузку. Однако поле скольжения и картина движения пластического материала будут иными.

Примеры применения модели. Задача о широком угловом вырезе. (растяжение вдоль границы) (сжатие вдоль границы) Примеры применения модели. Задача о широком угловом вырезе. (растяжение вдоль границы) (сжатие вдоль границы) На линии ОС в квадрате OECE` из соображений симметрии имеется растяжение q = + s. Вдоль -линии CB параметр постоянен, значит C = B, то есть Точка С определяется условием равновесия:

Приемы численного решения основных краевых задач. Начальная характеристическая задача. Среднее напряжение и угол заданы Приемы численного решения основных краевых задач. Начальная характеристическая задача. Среднее напряжение и угол заданы на -линии на отрезке ОВ и на -лини на отрезке ОА. Шаг 1. делим отрезки ОВ и ОА на малые части точками, чьи кординаты отсчитываются вдоль линий скольжения, на которых заданы граничные условия. То есть ОВ разбивается точками (1, 0), (2, 0), … (n, 0), …, а ОА – точками (0, 1), (0, 2), …, (0, n), … Пересечения линий скольжения, выходящих из этих точек назовем узлами сетки и обозначим (m, n). значения искомых функций в узле (m, n) определяются из первой теоремы Генки, она же второе свойство линий скольжения: 2. При переходе от одной -линии к другой вдоль какой-то линии изменение угла и давления не зависит от выбора линии. Аналогичное правило выполняется для перехода между линий вдоль -линии.

Приемы численного решения основных краевых задач. Задача Римана. Среднее напряжение и угол заданы на Приемы численного решения основных краевых задач. Задача Римана. Среднее напряжение и угол заданы на -линии на отрезке ОВ и на -лини на отрезке ОА. Шаг 1. делим отрезки ОВ и ОА на малые части точками, чьи кординаты отсчитываются вдоль линий скольжения, на которых заданы граничные условия. То есть ОВ разбивается точками (1, 0), (2, 0), … (n, 0), …, а ОА – точками (0, 1), (0, 2), …, (0, n), … Пересечения линий скольжения, выходящих из этих точек назовем узлами сетки и обозначим (m, n). Шаг 2. Значения искомых функций в узле (m, n) определяются из 1 -й теоремы Генки, она же второе свойство линий скольжения: 2. При переходе от одной -линии к другой вдоль какой-то линии изменение угла и давления не зависит от выбора Шаг 3. Основная проблема – найти координаты узлов сетки. Онилинии. Аналогичное правило выполняется для перехода между ищутся пошаговым методом. линий вдоль -линии.

Приемы численного решения основных краевых задач. Пусть известны координаты узлов (m-1, n), (m, n-1) Приемы численного решения основных краевых задач. Пусть известны координаты узлов (m-1, n), (m, n-1) и угол в этих узлах. Положение точки (m, n) определяется пересечением двух малых дуг, которые можно заменить хордами. наклон которых равен среднему значению наклона в начальной и конечной точках. Дифференциальные уравнения линий скольжения заменим разностными Из них определяем координаты узла (m, n), начиная с (1, 1).

Приемы численного решения основных краевых задач. Задача Коши. Среднее напряжение и угол заданы на Приемы численного решения основных краевых задач. Задача Коши. Среднее напряжение и угол заданы на дуге АВ, не являющейся линией скольжения. Шаг 1. делим дугу АВ на малые части точками (1, 1), (2, 2), … (n, n), … Шаг 2. Значения искомых функций в ближайших к дуге узлах находим из условия постоянства параметров и на линиях и : Шаг 3. Координаты узлов ищем так же, как в задаче Римана.