Часть 1
Общий вид эконометрической модели Y= f(X)+ε Где Y – наблюдаемое значение зависимой переменной(объясняемая переменная, результат); f(X) – объясненная часть, которая зависит от значения объясняющих переменных (факторов); ε – случайная составляющая (ошибка, возмущение).
Задачи экономического моделирования 1. Определить объясненную часть, пользуясь 2. экспериментальными данными 2. Получить оценки параметров распределения случайной составляющей, рассматривая ее как случайную величину
Классы экономических моделей 1. Регрессионные модели с одним уравнением Результативный признак представлен в виде функции от факторных признаков Уравнение регрессионной модели 2. Системы одновременных уравнений Состоят из тождеств и регрессионных уравнений, в которых наряду с факторными признаками включены результативные признаки из других уравнений системы. 3. Модели временных рядов Результативный признак является функцией переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени
Классы экономических моделей 1. Регрессионные модели с одним уравнением 2. Системы одновременных уравнений 3. Модели временных рядов Модель цены от объема поставки. Модель спроса от цены на отдельный товар от реальных доходов потребителей Модель зависимости объема производства от производственных факторов Модель спроса и предложения. Кейнсианская модель формирования доходов Модели, описывающие зависимость от времени: üТренда; üСезонности; üТренда и сезонности Модели, представляющие зависимость результата от переменных датированных другими моментами времени: üс распределенным временным лагом
Типы данных Пространственные Набор сведений по разным объектам, взятым за один и тот же период времени, Например объем производства, предприятий региона, численность сотрудников институтов города Временные Набор сведений, характеризующих один и тот же объект за разные периоды времени, например индекс потребительских цен, численность занятых за последние годы
Виды переменных Экзогенные – (независимые, х) и их значения задаются извне модели Эндогенные – (зависимые, у) их значения определяются внутри модели Лаговые – (экзогенные или эндогенные) датируются предыдущими моментами времени и находятся в уравнении с текущими переменными Предопределенные – (лаговые и текущие экзогенные переменные, лаговые эндогенные перемнные)
1 этап - постановочный Формулируем цель исследования (анализ, прогноз, имитация развития, управленческое решение и т. д. ), определяем экономические переменные модели 2 этап - априорный Анализируем изучаемое экономическое явление: формируем и формализуем информацию, известную до начала моделирования 3 этап - параметризация 4 этап - информационный Определяем вид экономической модели, выражаем в математической форме взаимосвязь между ее переменными, формулируем исходные предпосылки и ограничения модели Собираем необходимую статистическую информацию 5 этап – идентификация модели Проводим статистический анализ модели, оцениваем качество ее параметров 6 этап – верификация модели Проверяем истинность модели, определяем насколько соответствует построенная модель реальному экономическому явлению
Экономическая теория Экономическая модель Оценка параметров модели Проверка качества модели нет Модель адекватна ? да Использование модели на практике Статистические данные
Этапы построения модели Исходной информацией для решения поставленной задачи являются результаты наблюдения за объектом и качественные выводы общей экономической теории Этапы процесса моделирования: Спецификация модели Сбор и первичная обработка исходной информации Оценивание в числе неизвестных параметров, входящих в модель Проверка адекватности модели
Получение данных, анализ их качества • Пространственные данные (cross-sectional data) – независимость наблюдений – мультиколлинеарность экзогенных переменных – гомоскедастичность • Временные ряды (time-series data) – автокорреляция остатков
Структуры данных (классификация) • По количеству переменных для каждой элементарной единицы (объекта) • По типу измерения • Необходимость упорядоченности по времени • Источник информации – первичные данные – вторичные данные
Измерения в экономике • Номинальная шкала • Порядковая (ранговая, ординальная) шкала • Интервальная шкала – Шкала отношений (есть абсолютный нуль) – Шкала разностей (масштаб фиксирован)
Обобщающие показатели набора данных • • • Выборочное среднее Взвешенное среднее Медиана Мода Перцентили Квартили
• Номинальные данные – мода • Порядковые данные – мода – медиана • Количественные данные – мода – медиана – среднее
Графическое описание данных • Гистограмма – столбиковая диаграмма частот • Унимодальные и бимодальные распределения • Сильно отклоняющиеся значения
Изменчивость данных • Дисперсия (variance) • Стандартное отклонение выборки (среднее квадратическое отклонение) (sample standard deviation) • Коэффициент вариации (coefficient of variation)
Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. Характерные черты задач ЛП следующие: 1) показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X = (x 1, x 2, . . . , xn ); 2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств
1. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в ЦФ и общий объем потребления соответствующих ресурсов должен быть прямо пропорционален величине этой переменной 2. Аддитивность означает, что ЦФ и ограничения должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных. 3. Допустимое решение – это совокупность чисел (план) удовлетворяющих ограничениям задачи 4. Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.
ЗАДАЧА Выполнить заказ по производству 32 изделий И 1 и 4 изделий И 2 взялись бригады Б 1 и Б 2. Производительность бригады Б 1 по производству изделий И 1 и И 2 составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9, 5 ч. Производительность бригады Б 2 – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Б 1 равны соответственно 9 и 20 руб. , для бригады Б 2 – 15 и 30 руб. Цель Составить математическую модель, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.
Решение: будем использовать двухиндексную форму записи xij – количество изделий Иj (j=1, 2), изготавливаемых бригадой Бi (i=1, 2), x 11 – количество изделий И 1, изготавливаемых бригадой Б 1, [шт. ]; x 12 – количество изделий И 2, изготавливаемых бригадой Б 1, [шт. ]; x 21 – количество изделий И 1, изготавливаемых бригадой Б 2 , [шт. ]; x 22 – количество изделий И 2, изготавливаемых бригадой Б 2 , [шт. ].
Составить математическую модель, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа. L(X )= 9 x 11 + 20 x 12 +15 x 21 + 30 x 22 →min Учитываем ограничения (Исходные данные)
ОГРАНИЧЕНИЯ
Задача Предприятие производит два вида продукции. Для производства этих видов продукции пользуются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих видам продукции. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на продукцию 2 -го вида никогда не превышает спроса на продукцию 1 -го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на продукцию 2 -го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны продукции равны: 3 тыс. руб. для продукции 1 -го вида; 2 тыс. руб. для продукции 2 -го вида. ЦЕЛЬ: Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
Параметры задачи о производстве продукции Ингредиенты Расход ингредиентов, т ингр. /т продукции Продукция 1 -го вида Продукция 2 -го вида Запас. т ингр. /сутки А 1 2 6 В 2 1 8 Искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида продукции – суточный объем производства продукции 1 -го вида, [т продукции/сутки]; – суточный объем производства продукции 2 -го вида, [т продукции/сутки].
ЦЕЛЬ – добиться максимального дохода от реализации продукции критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремится к максимуму. Учитываем ограничения (Исходные данные) количество ингредиентов А и В, израсходованное в течение суток на производство продукции обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе; согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объем производства продукции 2 -го вида может превышать объем производства продукции 1 -го вида, но не более, чем на 1 т продукции; объем производства продукции 2 -го вида не должен превышать 2 т в сутки, что также следует из результатов изучения рынков сбыта; • объемы производства продукции не могут быть отрицательными.
1. Ограничения по расходу любого из ингредиентов имеют следующую содержательную форму записи: прод. Ограничение по расходу А Ограничение по расходу В
2. Ограничение по суточному объему производства продукции 1 -го вида по сравнению с объемом производства продукции 2 -го вида имеет содержательную форму прод.
прод.
продук.
Методика решения задач ЛП графическим методом 1. В ограничениях задачи заменить знаки неравенств на знаки точных равенств и постройте соответствующие прямые. 2. Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи 3. Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. 4. Если ОДР – не пустое множество, то постройте целевую прямую, т. е. любую из линий уровня где L – произвольное число, например, кратное т. е. удобное для проведения расчетов. 5. Постройте вектор , который начинается в точке (0; 0), заканчивается в точке (c 1, c 2). Если целевая прямая и вектор C построены верно, то они будут перпендикулярны. 6. При поиске max ЦФ передвигайте целевую прямую в направлении вектора C, при поиске min ЦФ – против направления вектора C. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой max или min ЦФ. 7. Определите координаты точки max (min) ЦФ Для вычисления координат оптимальной точки X∗ решите систему уравнений прямы на пересечении которых находится X∗.
Найдем оптимальное решение задачи , математическая модель которой имеет вид:
1. Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат:
Графическое решение задачи
Строим вектор C из точки (0; 0) в точку (3; 2). Точка Е – это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDEF, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора C. Поэтому Е – это точка максимума ЦФ.
Определим координаты точки Е из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2) Максимальное значение ЦФ равно:
