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Chapter 4 網路模型 Network Models 1 Chapter 4 網路模型 Network Models 1

8 網路問題可以利用下列方式表示 9 10 節點 Nodes 7 6 4. 1 網路介紹 Introduction 10 弧 8 網路問題可以利用下列方式表示 9 10 節點 Nodes 7 6 4. 1 網路介紹 Introduction 10 弧 Arcs 弧上函數 2 Function on

4. 1網路介紹 Introduction (p. 236) • 網路模型之重要性 – 許多企業問題可以用網路模型表示 – 因特殊數學結構,網路問題之最佳解為整數 解. – 網路問題可以有效的以數學演算法求解. 4. 1網路介紹 Introduction (p. 236) • 網路模型之重要性 – 許多企業問題可以用網路模型表示 – 因特殊數學結構,網路問題之最佳解為整數 解. – 網路問題可以有效的以數學演算法求解. 3

4. 1 網路介紹 (p. 236~237) • 常見網路模型 – 運輸模型(Transportation Model) – 轉運模式(Transshipment Model) – 4. 1 網路介紹 (p. 236~237) • 常見網路模型 – 運輸模型(Transportation Model) – 轉運模式(Transshipment Model) – 指派模式(Assignment Model) – 最短路徑模式 (Shortest Path Model) – 最大流量模式 (Max Flow Model) – 推銷員模式 (Traveling Salesman Model) – 最小展開樹模式 (Minimal Spanning Tree Model) 4

網路專有名詞 Network Terminology (p. 238~239) • 流量 Flow – 兩節點由node i至 node j運送的數量。使用符號如 下: 網路專有名詞 Network Terminology (p. 238~239) • 流量 Flow – 兩節點由node i至 node j運送的數量。使用符號如 下: Xij = amount of flow Uij =流量上限(產能) Lij = l流量下限(產能) • 有向與無向弧 Directed/undirected arcs – 流量只有一個方向之弧為有向弧(以箭頭表示) – 流量允許兩個方向之弧為無向弧(無箭頭表示). • 相鄰節點 Adjacent nodes – 存在一弧連接兩節點node i 與 node j 時,此二節點 為相鄰節點 5

網路專有名詞 Network Terminology • 路徑Path /相連路徑 Connected nodes – 路徑乃是一系列連接相鄰節點的弧所構成的集合 – 兩節點若相連接,則兩節點中存在一條路徑 • 循環Cycles 網路專有名詞 Network Terminology • 路徑Path /相連路徑 Connected nodes – 路徑乃是一系列連接相鄰節點的弧所構成的集合 – 兩節點若相連接,則兩節點中存在一條路徑 • 循環Cycles :由一點出發,循一條路徑而不重複 的經由一條弧回到該點則稱該路徑為「循環」 • 樹Trees :一系列節點的一組弧不形成任何 Cycles,則這組弧稱為「樹」 • 展開樹 Spanning Trees :連接網路中所有節 點的樹稱為「展開樹 」 ( 有 n個點之展開樹有 n -1弧 ) 6

4. 2 運輸問題 (p. 240) The Transportation Problem 運輸問題乃是考量將物品由有限的供應起 點(Supply Points)運送到有需求的目的 地(Demand Points) 所需花費的成本效 4. 2 運輸問題 (p. 240) The Transportation Problem 運輸問題乃是考量將物品由有限的供應起 點(Supply Points)運送到有需求的目的 地(Demand Points) 所需花費的成本效 益的問題 7

運輸問題 The Transportation Problem • 模型定義 Problem definition – 有 m 個來源 (sources). Source 運輸問題 The Transportation Problem • 模型定義 Problem definition – 有 m 個來源 (sources). Source i 有 Si 的供應量 – 有 n 個目的地 (destinations). Destination j 有 Dj 的需求量 – Source i 到 Destination j 有單位運輸成本 Cij – 目標 : 使得由來源處運送資源到目的地的總運輸成本為最小 8

Carlton製藥公司 CARLTON PHARMACEUTICALS • Carlton製藥公司提供藥品與醫療用品 • 此公司有三家 廠分別位於 : Cleveland, Detroit, Greensboro. • 此公司有四家倉庫分別位於 Carlton製藥公司 CARLTON PHARMACEUTICALS • Carlton製藥公司提供藥品與醫療用品 • 此公司有三家 廠分別位於 : Cleveland, Detroit, Greensboro. • 此公司有四家倉庫分別位於 : Boston, Richmond, Atlanta, St. Louis. • 公司必須將 廠生產的藥品依照需求運送至 各個倉庫,希望能以最經濟之方式運送這些 疫苗 9

Carlton製藥公司 • 資料 Data (Table 4. 1) – 單位運輸成本Unit shipping cost, 供應量 supply, 需求量demand Carlton製藥公司 • 資料 Data (Table 4. 1) – 單位運輸成本Unit shipping cost, 供應量 supply, 需求量demand From (Supply Pts) Boston Cleveland $35 Detroit 37 Greensboro 40 Demand 1100 To (Demand Pts) Richmond Atlanta St. Louis 30 40 32 40 42 25 15 20 28 400 750 Supply 1200 1000 800 • 假設Assumptions (p. 242) – – 單位運輸成本為固定常數 所有運輸同時發生 運輸物品只發生在來源點與目的地間運送 總供應量 =總需求量. 10

Carlton製藥公司網路運輸模式 11 Carlton製藥公司網路運輸模式 11

Destinations Bosto Sources D 1=1100 n 35 Cleveland S 1=1200 30 40 32 37 Destinations Bosto Sources D 1=1100 n 35 Cleveland S 1=1200 30 40 32 37 Detroit S 2=1000 25 35 Greensboro S 3= 800 40 42 28 Richmond D 2=400 Atlanta 15 20 D 3=750 St. Louis D 4=750 12

Carlton製藥公司 – Linear Programming Model (p. 243) – 模式結構如下: 最小化 <總運輸成本 > ST [各 Carlton製藥公司 – Linear Programming Model (p. 243) – 模式結構如下: 最小化 <總運輸成本 > ST [各 Source運出的數量 ] <= [該 Source之總供應量 ] [各目的地 destination收到之數量 ] = [目的地的總需求量 ] [運輸量為非負值 ] – 決策變數 Decision variables Xij =由 plant i 運往 warehouse j 的數量 其中 i=1 (Cleveland), 2 (Detroit), 3 (Greensboro) j=1 (Boston), 2 (Richmond), 3 (Atlanta), 4(St. Louis) 13

Supply from Cleveland X 11+X 12+X 13+X 14 = 1200 from Detroit Supply X Supply from Cleveland X 11+X 12+X 13+X 14 = 1200 from Detroit Supply X 21+X 22+X 23+X 24 = 1000 Supply from Greensboro X 31+X 32+X 33+X 34 = 800 The Supply Constraint 供應限制式 X 11 Clevelan d 1=1200 S X 12 X 13 X 21 Detroit S 2=1000 Richmond D 2=400 X 32 X 23 X 24 Atlanta X 33 D 3=750 St. Louis Greensboro S 3= 800 D 1=1100 n X 31 X 14 X 22 Bosto X 34 D 4=750 14

Carlton製藥公司– 完整數學模式 一個供應節點總運送量不能超 過該節點的供應量. . £ £ £ = = 各目的地收到之總數量必須等於 該目的地的總需求量 15 Carlton製藥公司– 完整數學模式 一個供應節點總運送量不能超 過該節點的供應量. . £ £ £ = = 各目的地收到之總數量必須等於 該目的地的總需求量 15

Carlton製藥公司 Spreadsheet =SUMPRODUCT(B 7: E 9, B 15 : E 17) =SUM(B 7: E Carlton製藥公司 Spreadsheet =SUMPRODUCT(B 7: E 9, B 15 : E 17) =SUM(B 7: E 7) 拖曳至 cells G 8: G 9 =SUM(B 7: B 9) 拖 曳至 cells C 11: E 11 16

Carlton製藥公司 Spreadsheet MINIMIZE 總成本 運送量 滿足需求量且未 超過供應量 17 Carlton製藥公司 Spreadsheet MINIMIZE 總成本 運送量 滿足需求量且未 超過供應量 17

Carlton製藥公司 Spreadsheet – 求解報告 12條路線中, 最佳解只使用 了 6個 (Why? ? ) 18 Carlton製藥公司 Spreadsheet – 求解報告 12條路線中, 最佳解只使用 了 6個 (Why? ? ) 18

Carlton製藥公司(p. 246) Spreadsheet – 敏感度分析報告 – 縮減成本 • 位於 Cleveland與 Atlanta間之單位成 本需至少減少 $5, 才能成為經濟上 Carlton製藥公司(p. 246) Spreadsheet – 敏感度分析報告 – 縮減成本 • 位於 Cleveland與 Atlanta間之單位成 本需至少減少 $5, 才能成為經濟上 可利用 • 此路線在目前成本結構下,運送 每單位會增加成本 $5 19

Carlton製藥公司 (p. 246) Spreadsheet – 敏感度分析報告 – Allowable Increase/Decrease • 最佳範圍 [35 -5, 35+2] Carlton製藥公司 (p. 246) Spreadsheet – 敏感度分析報告 – Allowable Increase/Decrease • 最佳範圍 [35 -5, 35+2] =[30, 37] • 位於 Cleveland與 Atlanta間之單位成本 增加量不多於 $2 或減少量不多於 $5, 將不會影響目前最佳解 20

Carlton製藥公司 (p. 247) Spreadsheet – 敏感度分析報告 • 影價 Shadow prices – 對 廠而言,影價透露該 廠每增加一單位產品的 Carlton製藥公司 (p. 247) Spreadsheet – 敏感度分析報告 • 影價 Shadow prices – 對 廠而言,影價透露該 廠每增加一單位產品的 生產所產生的總成本的降 低量 – 例如,Cleveland 廠的影價 = -$2, 表示若 Cleveland 廠 多生產一 單位疫苗將使總 成本減少 $2. 21

Carlton製藥公司 (p. 247) Spreadsheet – 敏感度分析報告 • 影價 Shadow prices – 對倉庫而言,影價透露該倉庫 每減少一單位疫苗的需求所 產生的總成本的降低量 Carlton製藥公司 (p. 247) Spreadsheet – 敏感度分析報告 • 影價 Shadow prices – 對倉庫而言,影價透露該倉庫 每減少一單位疫苗的需求所 產生的總成本的降低量 – 例如, Boston倉庫影價 = $37, 表示若 Boston倉庫若減少一 單位疫苗需求將使總成本減 少 $37. 22

運輸模式修改 1. 障礙路徑 (Blocked routes) – 特定運送路徑 受阻礙或不能使用 • 解救方式 (Remedies): – 指定該路徑一個很大的目標函數係數 (Cij 運輸模式修改 1. 障礙路徑 (Blocked routes) – 特定運送路徑 受阻礙或不能使用 • 解救方式 (Remedies): – 指定該路徑一個很大的目標函數係數 (Cij = 1, 000) – 加入一個限制式於 Excel solver (Xij = 0) Shipments on a Blocked Route Xij = 0 23

運輸模式修改 1. 障礙路徑 (Blocked routes) – 特定運送路徑受阻礙或不 能使用 只有將可行路徑設定於 • 解救方式 (Remedies): Changing Cells 運輸模式修改 1. 障礙路徑 (Blocked routes) – 特定運送路徑受阻礙或不 能使用 只有將可行路徑設定於 • 解救方式 (Remedies): Changing Cells – 不要將代表障礙路徑的儲存格(e. g. C 9) 放入 Changing Cell C 9 不被包含在其 cells中 中 Shipments from Greensboro to Richmond are prohibited 24

運輸模式修改 2. 最小運輸量 (Minimum shipment) – 有些路徑限制最小 運輸量 • – 解救方式 (Remedies): 加入一個限制式 (Xij 運輸模式修改 2. 最小運輸量 (Minimum shipment) – 有些路徑限制最小 運輸量 • – 解救方式 (Remedies): 加入一個限制式 (Xij ³ B) 到 Excel Solver 3. 最大運輸量 (Maximum shipment) – 有些路徑限制最 大運輸量 • – 解救方式 (Remedies): 加入一個限制式 (Xij £ B) 到 Excel Solver p. s. 若不想自己製作試算表,可使用光碟中的模板 network. xls 來解決所有之流量模式 (p. 249) (Template) 25

MONTPELIER 滑雪公司 (p. 250) 使用運輸模式解決生產排程問題 – Montpelier 計畫生產第三季 (July, August, September)滑雪產品 – 生產產能與單位成本逐月改變 (表 MONTPELIER 滑雪公司 (p. 250) 使用運輸模式解決生產排程問題 – Montpelier 計畫生產第三季 (July, August, September)滑雪產品 – 生產產能與單位成本逐月改變 (表 4. 2) – 公司可以以正常生產時間或加班方式生產 生產 – 加班產能為正常產能之 50% – 生產水準應滿足預計需求量 (demand forecasts)與季末 (9月 30日 )庫存需求 (end-ofquarter inventory requirement) 26 – 公司應安排一個最低成本的生產排程

MONTPELIER 滑雪公司 (p. 251) • Data: – 起始庫存量(Initial inventory, 七月份開始) = 200 pairs – MONTPELIER 滑雪公司 (p. 251) • Data: – 起始庫存量(Initial inventory, 七月份開始) = 200 pairs – 期末庫存需求(Ending inventory required, 九月底)=1200 pairs – 下一季(十月份起)生產產能= 正常時間 400 pairs. =加班時間 200 pairs – 庫存成本(Holding cost)為生產成本的 3%(每月, 每雙) – 本季生產產能與單位成本如下 27

MONTPELIER 滑雪公司 Initial inventory • 需求分析 (Analysis of demand) – Net demand in July MONTPELIER 滑雪公司 Initial inventory • 需求分析 (Analysis of demand) – Net demand in July = 400 - 200 = 200 pairs In house inventory – Net demand in August = 600 – Net demand in September = 1000 + 1200 = 2200 pairs Forecasted demand • 供給分析(Analysis of Supplies) – 生產產能視為供應量 – 兩種供應量 • Set 1 - 正常時間供應 (production capacity) • Set 2 –加班時間供應 28

MONTPELIER 滑雪公司 • 單位成本分析 (Analysis of Unit costs) 單位成本Unit Cost= [單位製造成本Unit Production Cost ] MONTPELIER 滑雪公司 • 單位成本分析 (Analysis of Unit costs) 單位成本Unit Cost= [單位製造成本Unit Production Cost ] +[單位庫存成本Unit Holding Cost ]*[庫存月 數] Example: A unit produced in July in regular time and 29 sold in

Production Month/period July 1000 R/T 800 July O/T Aug. R/T 25 25. 75 26. Production Month/period July 1000 R/T 800 July O/T Aug. R/T 25 25. 75 26. 50 Aug. O/T July 30 30. 90 31. 80 +M 26 26. 78 400 Month sold +M +M +M 32 Aug. +M 32. 96 29 400 200 600 Sept. 2200 Demand Production Capacity 500 網路表示 +M 37 Sept. R/T 300 200 Sept. O/T 30

MONTPELIER SKI COMPANY Spreadsheet (P. 254頁表 II 5中存貨成本之計算方式 ) $0. 75*(1000 -0)+$0. 9*(500 -200)=$1, MONTPELIER SKI COMPANY Spreadsheet (P. 254頁表 II 5中存貨成本之計算方式 ) $0. 75*(1000 -0)+$0. 9*(500 -200)=$1, 020( $0. 75*(1000 -0)+$0. 78*800=$1, 374(Augu …………. 31

MONTPELIER 滑雪公司 • 結論 – In July 產量(1000 pairs in R/T, and 500 pairs MONTPELIER 滑雪公司 • 結論 – In July 產量(1000 pairs in R/T, and 500 pairs in O/T). 七月底庫存量 1500 -200 = 1300 – In August, 產量(800 pairs in R/T, and 300 in O/T) 八月底額外庫存量= 800 + 300 – 600=500 pairs. – In September, 產量 400 pairs (clearly in R/T). 九月底庫存量=(1300 + 500) + 400 - 1000 = 1200 Inventory + Production Demand - 32

4. 3 限制產能轉運問題 The Capacitated Transshipment Model • 有時運輸的發生昰先將物品運送至轉運 節點(Transshipment nodes)再送往目的 地. • 轉運節點 4. 3 限制產能轉運問題 The Capacitated Transshipment Model • 有時運輸的發生昰先將物品運送至轉運 節點(Transshipment nodes)再送往目的 地. • 轉運節點 – 獨立之中繼點,本身無供應或需求 – 或其他的供應點或需求點 • 運輸問題弧上之流量有上限限制時稱為 「限制產能轉運模式」 33

限制產能轉運問題 • 線性規劃模式: – 決策變數:弧上流量(Flow on arcs) – 目標函數:總運送成本最小 – 限制式: • 供應點(Supply Node) 限制產能轉運問題 • 線性規劃模式: – 決策變數:弧上流量(Flow on arcs) – 目標函數:總運送成本最小 – 限制式: • 供應點(Supply Node) – 淨流出量不能超過供應 量 • 中繼點(Intermediate Node) –淨流出量=0 或 流 出量=流入量 • 需求點(Demand node) –淨流入量等於需求量 – 弧容量限制:弧流量不能超過弧容量上限 34

DEPOT MAX(麥斯倉庫) A General Network Problem • Depot Max 有六家店舖在 Washington D. C. 地區 DEPOT MAX(麥斯倉庫) A General Network Problem • Depot Max 有六家店舖在 Washington D. C. 地區 35

DEPOT MAX • 在 Falls Church (FC) 與 Bethesda (BA) 兩家店面目前快要面臨 型號 65 A模型缺貨問題 DEPOT MAX • 在 Falls Church (FC) 與 Bethesda (BA) 兩家店面目前快要面臨 型號 65 A模型缺貨問題 • DATA: 5 -12 FC -13 6 BA 36

DEPOT MAX • 在 Alexandria (AA) and Chevy Chase (CC)兩家店面 可以分別提供 10 與 17單位 DEPOT MAX • 在 Alexandria (AA) and Chevy Chase (CC)兩家店面 可以分別提供 10 與 17單位 產品 • DATA: +10 AA +15 CC 1 5 -12 FC -13 2 6 BA 37

DEPOT MAX • 在Fairfax (FX) 與 Georgetown (GN) 兩家店面為轉運 節點:本身無供應量或需求量. • DATA: +10 AA DEPOT MAX • 在Fairfax (FX) 與 Georgetown (GN) 兩家店面為轉運 節點:本身無供應量或需求量. • DATA: +10 AA FX 1 3 5 -12 FC • Depot Max 希望以最小的成本將產品運送至FC and BA GN +15 CC 2 4 6 -13 BA 38

DEPOT MAX • 可能路線與運送單位成本如下圖所列 • DATA: +10 AA 20 10 1 6 5 FX DEPOT MAX • 可能路線與運送單位成本如下圖所列 • DATA: +10 AA 20 10 1 6 5 FX 3 7 12 FC 11 7 GN +17 CC 2 15 4 15 -12 FC BA -13 BA 39

DEPOT MAX • Data(資料) – 不同路線有最大產上限 – 不同路線有不同運送單位成本 40 DEPOT MAX • Data(資料) – 不同路線有最大產上限 – 不同路線有不同運送單位成本 40

DEPOT MAX – Types of constraints(限制式類型) 20 +10 1 6 +17 10 5 2 DEPOT MAX – Types of constraints(限制式類型) 20 +10 1 6 +17 10 5 2 3 7 –供應節點(Supply nodes) –[節點淨流出量] < = [節點供應量] 中繼轉運節點(Intermediate transshipment nodes)X 13 + X 15 - X 21 nodes) 10 (Node 1) X–需求節點(Demand 12 + 12 <= 7 [節點總流出量] = [節點總流入量] X[節點總流入量] = [需求節點量] + X 24 - X 12 <= 17 (Node 2) 21 X 15 + X 35 +X 65 - X 56 = 12 (Node 5) X 34+X 35 = X 13 (Node 3) X= +X + = 13 X 46 46 X 2456 -XX 65 (Node 4) 34 (Node 6) 15 4 -12 15 5 7 11 6 -13 41

DEPOT MAX • 完整數學模式 Min 5 X 12 + 10 X 13 + 20 DEPOT MAX • 完整數學模式 Min 5 X 12 + 10 X 13 + 20 X 15 + 6 X 21 11 X 56 + 7 X 65 S. T. X 12 + X 13 + - X 12 + £ 17 – X 13 + + 15 X 24 + 12 X 34 + 7 X 35 + 15 X 46 + X 15 – X 21 + X 21 £ 10 X 24 X 34 + =0 – X 46 X 35 + – X 56 - =0 X 15 X 65 X 35 X 24 – X 34 + – = -12 42

DEPOT MAX – 試算表 ( P. 258) 課本數據有誤, 請訂正 43 DEPOT MAX – 試算表 ( P. 258) 課本數據有誤, 請訂正 43

4. 4 指派問題 The Assignment Problem (p. 259) • 問題定義 – m 位員 被指派到 4. 4 指派問題 The Assignment Problem (p. 259) • 問題定義 – m 位員 被指派到 m 項 作 – Cij 為員 i 從事 作 j 的單位成本. – 目標:指派每位員 一份 作且每份 作皆被執行 而使的總成本最小(或總利潤最大). 44

波爾司頓電子公司 BALLSTON ELECTRONICS (p. 260) • 有五種電子產品在五條生產線生產,每種 產品皆需要被檢查。 • 每條生產線之產品運送至每一個檢查站所 需要的時間也不一樣。 • 管理者希望決定(生產線─檢查區)的指派方 式,以使得總搬運時間最小. 波爾司頓電子公司 BALLSTON ELECTRONICS (p. 260) • 有五種電子產品在五條生產線生產,每種 產品皆需要被檢查。 • 每條生產線之產品運送至每一個檢查站所 需要的時間也不一樣。 • 管理者希望決定(生產線─檢查區)的指派方 式,以使得總搬運時間最小. 45

波爾司頓電子公司 BALLSTON ELECTRONICS • 資料: 生產線運送至檢查區之搬運時間 46 波爾司頓電子公司 BALLSTON ELECTRONICS • 資料: 生產線運送至檢查區之搬運時間 46

波爾司頓電子公司 網路表示方式 47 波爾司頓電子公司 網路表示方式 47

生產線 S 1= 1 1 檢查區 A D 1= 1 S 2=1 2 B 生產線 S 1= 1 1 檢查區 A D 1= 1 S 2=1 2 B D 2=1 S 3=1 3 C D 3=1 S 4=1 4 D D 4=1 S 5=1 5 E D 5=1 48

BALLSTON ELECTRONICS – 線性規劃模式 Min 10 X 11 + 4 X 12 + … BALLSTON ELECTRONICS – 線性規劃模式 Min 10 X 11 + 4 X 12 + … + 20 X 54 + 19 X 55 S. T. X 11 + X 12 + X 13 + X 14 + X 15 = 1 X 21 + X 22 + … + X 25 = 1 … … X 51 + X 52+ X 53 + X 54 + X 55 = 1 All the variables are non-negative 49

BALLSTON ELECTRONICS – 電腦求解 (p. 262) • 窮舉法無法有效求解 – 當 m=5, m! = 120 BALLSTON ELECTRONICS – 電腦求解 (p. 262) • 窮舉法無法有效求解 – 當 m=5, m! = 120 指派方式 – 當 m=8, m! > 40, 000 指派方式 • 匈牙利法(Hungarian method) 提供有效 求解方式 50

BALLSTON ELECTRONICS – 以運輸問題模式之試算表解 =SUMPRODUCT(B 7: F 11, B 17: F 2 17) =SUM(B BALLSTON ELECTRONICS – 以運輸問題模式之試算表解 =SUMPRODUCT(B 7: F 11, B 17: F 2 17) =SUM(B 7: B 11) Drag to cells C 13: F 13 =SUM(B 7: F 7) Drag to cells H 8: H 12 51

BALLSTON ELECTRONICS – 以運輸問題模式之試算表解 每個檢查區皆有產品被檢查 每條生產線接被指派 52 BALLSTON ELECTRONICS – 以運輸問題模式之試算表解 每個檢查區皆有產品被檢查 每條生產線接被指派 52

BALLSTON ELECTRONICS – 指派問題模板 53 BALLSTON ELECTRONICS – 指派問題模板 53

指派問題模型修正Modifications – 不平衡指派問題 (Unbalanced problem): # of supply nodes ≠ # of demand nodes. 指派問題模型修正Modifications – 不平衡指派問題 (Unbalanced problem): # of supply nodes ≠ # of demand nodes. – 禁止指派(Prohibitive assignments) • 某特定供應節點不能被指派到特定需求節點 – 多重指派(Multiple assignments) • 某特定供應節點可以被指派到一個以上特定需求 節點. – 極大化指派問題 (A maximization assignment problem) 54