Цех может выпускать два вида продукции шкафы и

Цех может выпускать два вида продукции: шкафы и тумбы для телевизора. На каждый шкаф расходуется 3, 5 м стандартных ДСП, 1 м листового стекла и 1 человеко-день трудозатрат. Прибыль от продажи 1 шкафа составляет 200 у. е. , а 1 тумбы – 100 у. е. Материальные и трудовые ресурсы ограниченны: в цехе работают 150 рабочих, в день нельзя израсходовать больше 350 м ДСП и более 240 м стекла. Какое количество шкафов и тумб должен выпускать цех, чтобы сделать прибыль максимальной?

Параметры задачи Ресурсы Запасы Продукты Шкаф Тумба ДСП 350 3, 5 1 Стекло 240 1 2 Труд 150 1 1 200 100 Прибыль

Элементы модели Переменные решения Х 1 – количество шкафов Х 2 – количество тумб, производимых ежедневно Целевая функция P = 200 * Х 1 + 100 * Х 2 Ежедневная прибыль цеха Ограничения 3, 5 * Х 1 + 1 * Х 2 ≤ 350 1 * Х 1 + 2 * Х 2 ≤ 240 1 * Х 1 + 1 * Х 2 ≤ 150 Х 1, Х 2 ≥ 0

• Какой ресурс наиболее сильно влияет на изменение прибыли (издержек)? • Как изменится решение и целевая функция при изменении количества того или иного ресурса? • Если какой-либо продукт не входит в оптимальный план (как в примере с кондитерской фабрикой), а по каким-то неформализуемым причинам желательно, чтобы он в него входил, то какой параметр и в каком направлении следует изменить?

140 X 2 А 120 100 B 80 C 60 40 20 0 O 0 50 D 100 X 1 150

140 X 2 P = Max 120 100 80 C 60 P = 20000 40 P = 10000 20 0 O 0 20 40 60 100 80 X 1

Оптимум (максимум или минимум) целевой функции достигается в одной из угловых точек области допустимых планов. Эта точка является пересечением границ тех ресурсов, которые при оптимальном плане расходуются полностью.

120 X 2 100 B 80 Сш = 50 C 60 P = 11000 40 Сш = 150 20 0 Cш = 200 0 20 40 60 80 X 1 100

Существует определенный интервал устойчивости, в котором изменение целевых коэффициентов не приводит к изменению оптимального решения.

1. Увеличить норму прибыли производстве шкафа на 100 у. е. Х 1 = Х 2 = P = 2. Увеличить норму прибыли производстве шкафа на 160 у. е. Х 1 = Х 2 = P = 3. Уменьшить норму прибыли производстве тумбы на 40 у. е. Х 1 = Х 2 = P = 4. Уменьшить норму прибыли производстве тумбы на 50 у. е. Х 1 = Х 2 = P =

I. Влияние изменения запаса ресурсов (правых частей ограничений – вi) 1. Отчет Excel об устойчивости включает таблицу «Ограничения» и в ней колонку «Теневая цена» (Shadow Price). Теневые цены – это оценки Yi двойственной задачи. Они показывают, как меняется целевая функция при малом изменении bi: P = Yi bi.

2. Эти оценки верны только в пределах устойчивости решения, т. е. пока изменение bi не изменяет угловую точку области допустимых решений, в которой достигается максимум целевой функции (при этом численные значения переменных решения Yi, конечно, изменяются). При выходе bi за пределы устойчивости все теневые цены изменяются.

3. Пределы изменения bi, в которых оптимальное решение соответствует той же самой угловой точке, также даны в таблице «Ограничения» ( «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» ). а) Причем если ресурс используется полностью (дефицитный), существует как верхний, так и нижний предел. б) Если же ресурс используется не полностью, верхний предел устойчивости равен бесконечности (Excel пишет 1 Е+30, что означает 10+30, максимально известное программе число).

4. Следует понимать, что пределы устойчивости для изменения bi даются при условии, что все остальные значения правых частей bk (при k i) остаются неизменными. Одновременное изменение двух и более коэффициентов (bi и bk), каждого внутри своего интервала устойчивости, может привести к изменению теневых цен.

5. Для оценки влияния одновременного изменения нескольких значений bi следует вычислить относительные изменения bi / max bi, где max bi – это предел либо увеличения, либо уменьшения bi (в зависимости от знака bi), и вычислить сумму этих относительных изменений. При этом, если эта сумма больше 1, теневые цены изменятся, если меньше – нет.

II. Влияние изменений в коэффициентах целевой функции. 1. Изменение коэффициентов целевой функции cj не изменяет вида области допустимых решений. Оно изменяет наклон семейства прямых, изображающих целевую функцию.

2. До тех пор пока изменение наклона не превышает некоторых пределов, оптимальное решение Xj вообще не меняется (максимальное значение целевой функции при этом, конечно, меняется).

3. При выходе значений коэффициента cj за эти пределы решение скачком перемещается в другую угловую точку области допустимых решений (при этом решение Xj может измениться очень сильно).

4. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» для каждого коэффициента целевой функции cj, при которых оптимальное решение не изменяется, приведены в таблице «Изменяемые ячейки» отчета Excel об устойчивости. а) Причем если Xj 0 (продукт входит в оптимальный план), то имеется как верхний, так и нижний предел для изменения соответствующего j – го коэффициента целевой функции. b) Если же Xj = 0, то «Допустимое уменьшение» может быть как угодно велико – продукт все равно не войдет в оптимальный план. Верхний предел «Допустимое увеличение» показывает, насколько нужно увеличить соответствующий целевой коэффициент, чтобы j – й продукт вошел в оптимальный план. c) Величина, противоположная этому увеличению, называется Нормированная стоимость(Reduced Cost) и показывает, на сколько нынешняя цена продукта ниже минимальной цены (или издержки выше максимальных), при которой j – й продукт может войти в оптимальный план.

5. Следует понимать, что пределы устойчивости для изменения cj даются при условии, что значения всех остальных целевых коэффициентов ck (при k j) остаются неизменными. Одновременное изменение двух и более коэффициентов (cj и ck), каждого внутри своего интервала устойчивости, может привести к изменению оптимального решения.

6. Для оценки влияния одновременного изменения нескольких значений cj следует вычислить относительные изменения cj / max cj, где max cj – это предел либо увеличения, либо уменьшения cj ( в зависимости от знака cj), и вычислить сумму этих относительных изменений. При этом, если эта сумма больше 1, оптимальное решение Xj изменится, если меньше – нет.

Постановка задачи • Небольшое предприятие GLP продает стереоаппаратуру, при этом занимаясь сборкой усилителей и предусилителей. • Для сборки усилителя требуется 12 ч и 4 ч – для проверки его качества. Сборка предусилителя длится 4 ч, а проверка качества 8 ч. • В следующем месяце GLP имеет возможность выделить 60 ч на сборку и 40 ч на проверку качества. • Принимая во внимание, что GLP получает 10 у. е. прибыли за каждый усилитель и 5 у. е. за каждый предусилитель, построить оптимальный (максимизирующий прибыль) производственный план.

Математическая модель •

Графическое решение

Экранная форма

Отчет о результатах

Отчет об устойчивости

Отчет о пределах

• Допустим, что в следующем месяце GLP имеет возможность выделить 80 ч на сборку , как данное увеличение повлияет на оптимальное решение? Lmax=70, X=(6; 2) Отчет о результатах:

Отчет об устойчивости Отчет о пределах:

• Допустим, что в следующем месяце GLP имеет возможность выделить 60 ч на сборку и 200 ч на проверку качества, как данное увеличение повлияет на оптимальное решение? Lmax=75, X=(0; 15) Отчет о результатах:

Отчет об устойчивости Отчет о пределах: