Центральная симметрия Подготовила ученица 11 А

• Центральная симметрия. Подготовила ученица 11 «А» класса: Черепанова Карина.

Центральная симметрия. Определение: Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией: Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей. O O

Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АВ. Точка О считается симметричной самой себе. А О В

Например: На рисунке точки М 1, N и N 1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки. N Р О М М 1 Q N 1

Центральная симметрия в прямоугольной системе координат: Если в прямоугольной системе координат точка А имеет координаты (x 0; y ), то координаты (-x ; -y ) точки А , симметричной точке А относительно начала координат, выражаются формулами 0 0 x 0 = -x 0 А(x 0; y 0) y 0 А 1(-x 0; -y 0) 1 y 0 = -y 0 у -x 0 0 х 0 -y 0 x 0

Построение точки, симметричной данной M О 1. ОМ = ОМ 1 2. М 1 – искомая точка M 1 Определение

Построение отрезка, симметричного данному А B 1. АО = А 1 О О 2. ВО = В 1 О B 1 3. А 1 В 1 – искомый отрезок А 1 Определение

Построение треугольника, симметричного данному B А 1. АО = А 1 О 2. ВО = В 1 О C 3. СО = С 1 О О C 1 А 1 4. А 1 В 1 С 1 – искомый треугольник B 1 Определение

Задачи 1. Отрезок АВ, перпендикулярный прямой с, пересекает ее в точке О так, что АО≠ОВ. Симметричны ли точки А и В относительно точки О? 2. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат? В 3. Постройте угол, симметричный углу ABC относительно центра О. А О С Проверь себя

4. Постройте прямые, на которые отображаются прямые a и b при центральной симметрии с центром О. А С М О 5. Для каждого из случаев, представленных на рисунке, постройте точки А 1 и В 1, симметричные точкам А и В относительно точки О. А О О В Р В А Проверь себя Помощь О В

6. Постройте треугольники, симметричные данным, относительно точки О. О О Проверь себя Помощь

7. Постройте произвольный треугольник и его образ относительно точки пересечения его высот. 8. Отрезки АВ и А 1 В 1 центрально симметричны относительно некоторого центра С. Постройте с помощью одной линейки образ точки М при этой симметрии. М В А В 1 9. Найти на прямых a и b точки, симметричные относительно друга. a O А 1 Проверь себя b Помощь

Проверь себя! 1. Нет, т. к. по условию АО≠ОВ. 2. а) да, середина отрезка; б) нет; в) да, точка пересечения прямых; г) да, точка пересечения диагоналей. 3. В В 1 А А 1 О С В 1 назад

Проверь себя! 4. С М Р О Р 1 М 1 С 1

Проверь себя! 5. А 1 В А О В 1 А А В 1 В О В 1 А 1 О А 1 В назад

Проверь себя! 6. О О назад

Проверь себя! 8. В М А А 1 В 1 М 1 9. a b 1 Х O b Х 1 назад

Заключение Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство» .