Центр тестирования ТЕСТЕНТ Методы решения задач по математике

Скачать презентацию Центр тестирования ТЕСТЕНТ Методы решения задач по математике

ГИА Методы решения задач по математике на движение.ppt

Количество слайдов: 56

Центр тестирования ТЕСТЕНТ Методы решения задач по математике на движение

Задачи на движение обычно содержат следующие величины: – время, – скорость, t v S – расстояние. Уравнения, связывающее эти три величины: S = vt S t= v S v= t

Это условие поможет ввести х … 1. Скорость рейсового трамвая новой конструкции на 5 км/ч больше, чем скорость прежнего трамвая, поэтому он проходит маршрут в 20 км на 12 мин быстрее, чем трамвай старой конструкции. За какое время новый трамвай проходит этот маршрут? v, км/ч S, км t, ч Старый трамвай Новый трамвай 20 х справка 12 20 на ч 60 х+5 х х+5 20 1 – 20 = х 5 х+5 20 1 20 + = х+5 5 х 20 20 1 – = х+5 х 5 Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость 1 способ 2 способ S t=v < 1 ч 5 Из большей величины вычтем меньшую, разность равна 1 5 1 К меньшей величине прибавим 5 , уравняем с большей величиной 1 Из большей величины вычтем 5 , 3 способ уравняем с меньшей величиной Реши любое уравнение самостоятельно

2. Водитель междугороднего автобуса вынужден был по дороге заправить автобус горючим, затратив на это 12 мин. Чтобы прибыть в Это условие поможет ввести х … конечный пункт вовремя, он увеличил скорость автобуса на 15 км/ч и ликвидировал опоздание на перегоне в 60 км. С какой скоростью 60 двигался автобус на этом перегоне? Чтобы найти время надо v, км/ч S, км t, ч По расписанию С увеличен. скоростью 60 х справка 12 60 на ч 60 х+15 х х +15 60 1 – 60 = х х+15 5 60 расстояние разделить на скорость S t=v < 1 ч 5 Из большей величины вычтем меньшую, разность равна 1 способ 1 5 1 К меньшей величине прибавим 5 , 1 60 + = х+15 5 х 2 способ 60 60 1 х – 5 = х+15 3 способ уравняем с большей величиной 1 Из большей величины вычтем 5 , уравняем с меньшей величиной Реши любое уравнение самостоятельно

3. По расписанию поезд должен пройти перегон в 120 км с одной и той же скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, Половина перегона, т. е. остановиться на 5 мин. Чтобы вовремя прибыть в поезд вынужден был 60 км Это условие поможет ввести х … конечный пункт перегона, машинисту на второй половине перегона пришлось увеличить скорость поезда на 10 км/ч. Определить скорость поезда по расписанию. 1 й способ v, км/ч S, км t, ч По расписанию С увеличен. скоростью Остановка х х +10 60 60 Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость 60 х+10 1 5 12 мин S t=v 120 Время на весь путь х по расписанию 60 60 1 120 + + = х х х+10 12

3. По расписанию поезд должен пройти перегон в 120 км с одной и той же скоростью. Однако, пройдя половину перегона с этой скоростью, поезд вынужден был остановиться на 5 мин. Чтобы вовремя прибыть в конечный пункт перегона, машинисту на второй половине перегона пришлось увеличить скорость поезда на 10 км/ч. Определить скорость поезда по расписанию. 2 й способ v, км/ч S, км t, ч По расписанию С увеличен. скоростью х 60 х +10 60 60 х+10 Увеличив скорость на второй половине пути, машинист ликвидировал опоздание 5 мин, т. е. время на второй половине перегона на 5 мин меньше. на 5 мин < 1 ч 12 60 1 60 – = х х+10 12 Закончите решение самостоятельно, выбрав любое из предложенных уравнений.

4. Расстояние от города А до города В поезд должен был пройти за 4 ч 30 мин. По техническим причинам он был задержан с отправлением на 30 мин. Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в город В вовремя. Найдите расстояние между городами А и В. 1 й способ Увеличив скорость поезд v, км/ч t, ч ликвидировал задержкумин 30 мин, S, км путь на 30 в быстрее т. е. прошел По расписан. Фактически 2 й способ 4, 5 х 4, 5 не за 4 ч 30 мин, а всего за 4 ч х х+10 4(х+10) Решим задачу с помощью пропорции. v, км/ч t, ч х 4, 5 x+10 4 = 4 При увеличении скорости движения пропорционально уменьшится время, а это время обратно пропорциональная зависимость 4 х = x+10 4, 5 Закончите решение самостоятельно, выбрав любое из предложенных уравнений.

5. Расстояние от станицы до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист выехал из станицы на 1 час позже велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был от станицы в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была на 18 км/ч меньше Это условие поможет ввести х … скорости мотоциклиста. v, км/ч S, км t, ч велосипедист мотоциклист х 21 х +18 60 21 х 60 х+18 Составь и реши уравнение самостоятельно На 1 час 60 км ВОКЗАЛ Расстояние в 21 км велосипедист ехал на 1 час дольше, т. е. его время в пути на 1 час больше. СТАНИЦА 1 ч 21 км >

6. Из села в город, к которому ведет дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч. Это условие поможет ввести х … v, км/ч S, км t, ч грузовик автомашина х х +5 45 75 45 х 75 х+5 120 км Составь и реши уравнение самостоятельно 1 На ч 2 Расстояние в 75 км легковая автомашина ехала на 30 мин дольше, т. е. её время в пути на пол часа больше > ГОРОД СЕЛО 30 мин 45 км

Задачи для самостоятельной работы 1. 1. Некоторую часть дня автобус работает в режиме экспресса. При этом его рейсовая скорость увеличивается на 8 км/ч, а время, затраченное на маршрут в 16 км, сокращается на 4 мин. За какое время проходит этот маршрут автобус в режиме экспресса? 2. За 70 км до конечной станции поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прийти в пункт назначения вовремя, машинист увеличил скорость на 10 км/ч. С какой скоростью шел поезд последние 70 км? 3. Турист отправился на автомашине из города А в город В. Первые 75 км он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью, на 10 км/ч большей, чем рассчитывал. В город В, который удалён на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой скоростью он ехал в конце пути?

Форма для поверки ответов. Уравнения Задача 1. мин Задача 4. км Задача 2. км/ч Задача 5. км/ч Задача 3. км/ч Задача 6. км/ч или км/ч Задача 6 имеет два решения. Задачи для самостоятельной работы Задача 1. мин Задача 2. км/ч Задача 3. км/ч max 10

7. Поезд прошел мимо неподвижного стоящего на платформе человека за 6 с, а мимо платформы длиной 150 м за 15 с. Найти скорость движения поезда и его длину. S, Пусть х м длина поезда. t, с м х 6 x+150 15 При увеличении пройденного расстояния пропорционально увеличится время, а это время прямо пропорциональная зависимость Составьте пропорцию самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи. х (м) – это расстояние прошел поезд за 6 с х+150 (м) прошел поезд за 15 с x x 150 м

8. Мотоциклист отправился из пункта А в пункт В, отстоящий от А на 120 км. Обратно он выехал с той же скоростью, но через час после выезда должен был остановиться на 10 мин. После этой остановки он продолжал путь до А, увеличив скорость на 6 км/ч. Какова была Чтобы найти время надо первоначальная скорость мотоциклиста, если известно, что на обратный расстояние разделить на от А до путь он затратил столько же времени, сколько на путьскорость В? Чтобы найти расстояние надо скорость умножить на время Путь А-В Путь В-А 1 й час v, км/ч S, км t, ч S 120 = vt х 120 х х = 1 Остановка С увелич. скоростью А х+6 120–х 120 -х х+6 S t=v 120 -х 1 120 + +1= х+6 х 6 10 ч = 1 ч 10 мин = Решите уравнение самостоятельно 6 60 и найдите ответ на вопрос задачи. 10 мин 1 ч х км 20–х км 1 120 км В

9. Два туриста должны идти навстречу другу из турбаз А и В, расстояние между которыми 30 км. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то они встретятся через 2, 5 ч после выхода второго туриста. Если же второй турист выйдет на 2 ч раньше, чем первый, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первого туриста. С какой средней скоростью идет каждый турист? 2 ч А 2 ч 2, 5 ч 3 ч 30 км В

9. Два туриста должны идти навстречу другу из турбаз А и В, расстояние между которыми 30 км. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то они встретятся через 2, 5 ч после выхода второго туриста. Не известна скорость ни первого ни Если же второй турист выйдет на 2 ч раньше, чем первый, в пути второго туриста и нет. Подумаем: сколько времени был то встреча взаимосвязи Чтобыкаждый турист? туриста. найти первого между скоростями. выходавведем Встреча С какой через 2, 5 ч произойдет через 3 ч после. Поэтому расстояние надо произошла средней скорость умножить второго, две неизвестных величины: х и у. на после скоростью идет каждый турист? выхода время т. е. второй был в пути v, км/ч t, ч S, S = vt 2, 5 ч. А первый вышел раньше на 2 ч, значит, т. е. его время больше на 2 км/ч 4, 5 ч. ч, км км , ч v, времени был в пути 1 турист. Подумаем: сколько 4, 5 х 1 турист х турист? Встреча произошла через 3 ч х 4, 5 каждый после выхода первого, т. е. первый турист был у 2, 5 у у 2 туриств пути 3 ч. А 2, 5 2 на 2 ч, второй вышел раньше турист значит, его время больше на 2 ч, т. е. 5 ч. t S, 3 3 х 5 5 у Составьте систему уравнений и решите самостоятельно. Найдите ответ на вопрос задачи. 2 ч А 2 ч 2, 5 ч 3 ч 30 км В

10. От станций А и В, расстояние между которыми 75 км, отправились одновременно товарный и скорый поезда и встретились через полчаса. Товарный поезд прибыл в В на 25 мин позже, чем Чтобы найти расстояние надо скорый в А. Какова скорость каждого поезда? время скорость умножить на На 25 мин – S = vt позже это значит, что на v, км/ч t, ч S, км товарный х 0, 5 скорый у 0, 5 весь путь от А до В товарный поезд затратил на 25 мин больше времени, 0, 5 х чем скорый на путь от В до А. Чтобы найти время надо Составьте систему уравнений и 0, 5 у расстояние разделить на скорость решите самостоятельно. Не известна скорость ни первого ни км/ч второго поезда и нет взаимосвязи км , ч между скоростями. Поэтому75 введем товарный х 75 две неизвестных величины: х и у. на х v, скорый S, у 75 t S t=v Найдите ответ на вопрос задачи. 25 ч 60 > 75 у 11 12 1 10 2 5 ч 9 12 на 25 мин 3 4 8 7 6 5 30 мин А 75 км В

11. Пешеход и велосипедист отправились одновременно навстречу другу из разных городов, расстояние между которыми 40 км. Велосипедист проехал мимо пешехода через 2 ч после отправления и на весь путь затратил на 7, 5 ч меньше, чем пешеход. Найти скорость движения каждого, считая, что они двигались все время с постоянными скоростями. 40 км 2 ч

11. Пешеход и велосипедист отправились одновременно навстречу другу из разных городов, расстояние между которыми 40 км. 40 Велосипедист проехал мимо пешехода через 2 ч после отправления и на весь путь затратил на 7, 5 ч меньше, чем пешеход. Найти скорость движения каждого, считая, что они двигались все время с постоянными Чтобы и у Это время встречи! скоростями. Вопрос задачи поможет ввести хнайти расстояние надо v, км/ч t, ч пешеход велосипедист х y 2 2 S, скорость умножить на время Т. е. за 2 ч общий путь составил 40 км. составить км Это условие поможет нам уравнение. 2 у велосипедист 40 х 40 у х y 2 х v, км/ч S, км t, ч пешеход S = vt Составьте систему уравнений и Чтобы найти решите самостоятельно. время надо Найдите ответ на вопрос расстояние разделить на скорость задачи. t=S v На 7, 5 ч < 2 ч на 7, 5 ч 2 х 2 у 40 км

Задачи для самостоятельной работы 2. 1. Два туриста вышли одновременно навстречу другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 5 км. Через 30 мин туристы встретились и, не останавливаясь, продолжили путь с той же скоростью. Первый прибыл в пункт В на 25 мин позже, чем второй в пункт А. Определите скорость каждого туриста. 2. Два пешехода должны выйти навстречу другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2, 5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость каждого пешехода? 3. Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы пройти с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.

Форма для поверки ответов. Уравнения Задача 1. Задача 2. длина поезда м км/ч Задача 3. 1 турист км/ч, 2 турист Задача 4. товарный км/ч, скорый км/ч, велосипедист Задача 5. пешеход км/ч Задачи для самостоятельной работы 2 Задача 1. 1 турист км/ч, 2 турист км/ч Задача 2. 1 пешеход км/ч, 2 пешеход км/ч Задача 3. длина поезда max 14 м, скорость поезда м/с

Устно. Собственная скорость катера 21, 6 км/ч, а скорость течения 4, 7 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения. Против течения По течению 21, 6 км/ч 4, 7 км/ч

vпо теч= vсоб+ vтеч vпр теч= vсоб – vтеч Против течения По течению v v соб. v теч.

В диафильме «Дюймовочка» есть такой кадр. Лист кувшинки поплыл по течению и жаба никак не могла догнать Дюймовочку. v =v +v по теч соб теч v теч Объяснить физическую несостоятельность этой ситуации.

12. На путь по поможет ввести х … течению реки катер затратил 3 ч, а на обратный путь Это условие 4, 5 ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч? Пусть теч = 1 й способ v x Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения v, км/ч t, ч По. теч. Пр. теч. Чтобы найти расстояние надо скорость умножить на время S = vt Чтобы S, км найти расстояние надо скорость умножить на время 25+х справка 3 3(25+х) 25–х 4, 5(25–х) справка Чтобы найти скорость против течения надо из собственной скорости отнять скорость течения vсоб 4, 5 ч = 25 км/ч v теч = S = vt Составь и реши уравнение самостоятельно 3 ч vсоб = 25 км/ч

2 й способ Решим задачу с помощью пропорции. v, км/ч t, ч 25+х 3 25–x 4, 5 При увеличении скорости движения пропорционально уменьшится время, а это время обратно пропорциональная зависимость Составим пропорцию для обратно пропорциональной зависимости: 25 + x 4, 5 = 25 – x 3

13. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км против Это условие поможет ввести х … течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч. v x Пусть скорость по течению Чтобы найти теч = надо к собственной скорости прибавить скорость течения v, км/ч S, км t, По. теч. 10+х справка 18 Пр. теч. 10–х справка 14 Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость ч t= S v 18 10+х справка 3 15 ч 14 60 10–х Чтобы найти скорость против течения надо из собственной скорости отнять скорость течения vсоб = 10 км/ч 14 км 18 км 1 ч 4 Составь и реши уравнение самостоятельно vсоб = 10 км/ч vтеч

14. Катер прошел 75 км по течению и столько же против течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось Это условие поможет ввести х … бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения равна 5 км/ч? Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости Пусть соб. = прибавить скорость течения v x v, км/ч S, км t, Чтобы найти время надо расстояние разделить на скорость ч t= S v 75 х+5 справка в 2 раза 75 75 Пр. теч. х– 5 справка 80 По Чтобы найти скорость против течения 80 х х озеру собственной скорости отнять справка надо из По. теч. х+5 справка скорость течения 75 В стоячей воде нет течения, скорость лодки равна v СОБ. > 75 75 80 + = х 2 х+5 х– 5 Реши уравнение самостоятельно

15. Катер проплыл 15 км вниз по течению реки за 1 ч и вернулся на ту же пристань, потратив на обратный путь 1, 5 ч. Найти скорость катера относительно воды и скорость течения воды. Вопрос задачи поможет Пусть vсоб. = x , vтеч. = y S По. теч. км 15 t, ч 1 + x–y= Чтобы найти скорость надо расстояние разделить на v, км/ч Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости 1, 5 15 Пр. теч. прибавить скорость течения x + y = 15 нам ввести х и у время 15 v=S t справка 10 2 x = 25 x = 12, 5 y = 2, 5 Чтобы найти скорость против течения Ответ: собственная скорость катера надо из собственной скорости отнять скорость течения 12, 5 км/ч, скорость течения 2, 5 км/ч.

* 16. Катер затрачивает на путь от А до В по течению рекиa ч, а на обратный путь b часов. Сколько часов будут плыть от А до В плоты? Предполагается, что собственная скорость катера на всем пути от А до В и от В до А постоянна. a(x+y) = b(x–y) Пусть vсоб. = x , v y Раскроем скобки Чтобы найти расстояние надо теч. = ax+ay = bx–by скорость умножить на время v, км/ч t, ч По. теч. S = vt S, км x+y Чтобы найти время ) a a(x+yнадо справка = расстояние разделить на Пр. теч. Перегруппируем ay+by = bx–ax y(a+b) = x(b–a) y(b–a) x–y скорость от b(x–yи обратный путь от В обе части на y(b–a) Разделим b Путь t А до В ) = S a+b до А – это одно и то расстояние! же v Ответим на вопрос задачи Расстояние, например, x a+b y = b–a разделим на скорость плотов (это скорость течения Разделим каждое слагаемое на y Вынесем за скобки a y) b–a ax+ay ax ay x a + a = a( x +1) = y + y = y y y Упростим выражение взамену Выполним скобках a+b+b–a ) = a ( 2 b ) 2 ab =a( = b–a b–a

* 17. Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще t минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в S метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. Просмотрев сюжет задачи, мы видим, что вид движения менялся. Это было движение в противоположных направлениях, а на последнем этапе – вдогонку. Поэтому нам необходимо рассмотреть несколько схем.

* 17. Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще t минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в S метрах от места встречи. Найти скорость течения реки. Пусть vтеч. = x – это также и скорость пустой лодки vсоб. = y – это собственная скорость пловца vпр. теч. = y–x – это скорость пловца против течения vпо. теч. = y+x – это скорость пловца по течению t S t

* Найдем расстояние, которое 17. Пловец плывет против течения реки и встречает плывущую по проплыла лодка: скорость течению реки пустую лодку. Продолжая плыть против течения еще Найдем расстояние, которое лодкивстречи, он затем поворачивает назад и x на время t t минут после момента проплыл пловец скорость Сложим расстояния, которые догоняет лодку в S метрах от места встречи. Найти скорость течения пловца y-x на пловец tи лодка. проплыл время реки. Найдем скорость вдогонку: 1) tx проплывет лодка за t мин. vтеч. = x vсоб. = y vпр. теч. = y–x vпо. теч. = y+x tx t из большей скорости вычтем 2) t(y–x) проплывет пловец зайt мин. меньшую … Чтобы найти время 2 встречи 3) t(y–x)+ tx = ty проплывут разделить t мин. надо расстояние ty вместе за Найдем расстояние, которое 4) (y+x) – xна скорость вдогонку y й встречи: = y скорость движения вдогонку проплывет лодка до 2 скорость xможно выразить чертежа 5) ty : y = t Изпроизойдет времявстреча вторая t расстояние S 6) tx проплывет лодка до второй встречи S 7) S=2 tx, тогда x = 2 t Далее вид движения меняется. Теперь это движение вдогонку. t x tx S t t y+x y–x t(y–x) tx Найдем расстояние, на которое удалятся лодка и пловец за t мин ty

18. От пристани по течению реки отправился плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на 12 Это условие поможет ввести х … км/ч? v, км/ч S, км t, ч плот Мот. лодка х х +12 20 20 20 На 5 ч 20 мин 51 ч х 3 20 х+12 > Составьте и решите уравнение самостоятельно На путь в 20 км плот затратил на 5 ч 20 мин больше времени, чем катер, т. к. отправился в путь раньше… 5 ч 20 мин 20 км

Задачи для самостоятельной работы 3. 1. Моторная лодка прошла путь от А до В по течению реки за 2, 4 ч, а обратный путь за 4 ч. Найти скорость течения реки, если известно, что скорость лодки относительно воды 16 км/ч. 2. Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч. 3. Моторная лодка и парусник, находясь на озере в 30 км друг от друга, движутся навстречу и встречаются через 1 ч. Если бы моторная лодка находилась в 20 км от парусника и догоняла его, то на это потребовалось бы 3 ч 20 мин. Определить скорости лодки и парусника, полагая, что они постоянны и неизменны в обоих случаях.

Уравнения Задача 1. vтеч. = Задача 2. vтеч. = км/ч Задача 3. vсоб. = км/ч Задача 7. vплот Форма для поверки ответов. км/ч Задачи для самостоятельной работы Задача 1. vтеч. = км/ч Задача 2. vсоб. = км/ч Задача 3. парусник км/ч max 13 моторная лодка км/ч

* по ветру против ветра. Движение по ветру и против ветра Над пунктом А вертолет был в 8 ч 30 мин. Пролетев по прямой S км, вертолет оказался над пунктом В. Продержавшись 5 мин в воздухе над пунктом B, вертолет пошел обратным курсом по то же трассе. К пункту А он вернулся в 10 ч 35 мин. От А к В он летел по ветру, а обратно против ветра. Скорость ветра все время была постоянной. Найти скорость ветра, если собственная скорость вертолета также все время постоянна и при безветрии равна v км/ч. При каком соотношении между заданными величинами задача имеет решение? S v соб. v v вет. соб. 11 12 1 10 5 мин 2 9 3 10 ч 35 мин 4 8 7 В Решите задачу самостоятельно 6 5 8 ч 30 мин А

19. Путь от поселка до озера идет сначала горизонтально, а затем в гору. Велосипедист, добираясь до озера и обратно, на горизонтальном участке пути ехал со скоростью 12 км/ч, на подъеме – со скоростью 8 км/ч, а на спуске со скоростью 15 км/ч. Путь от поселка до озера у него занял 1 час, а обратный путь – 46 минут. Найдите расстояние от поселка до озера. Путь от поселка до озера Путь от озера до поселка S, км v, км/ч t, ч х 12 у 8 у 15 х 12 1 участок х 12 2 участок y 8 2 участок у 15 1 участок х 12 Составьте и решите систему уравнений самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи. 1 ч 46 мин 5 18 км/ч 12 км/ч 1 участок х 2 участок у

20. Дорога из А в В длиной 11, 5 км идет сначала в гору, затем по равнине и, наконец, под гору. Пешеход на путь от А до В затратил 2 ч 54 мин, а на обратную дорогу – 3 ч 6 мин. Скорость его ходьбы в гору была 3 км/ч, на равнине – 4 км/ч, а под гору – 5 км/ч. Сколько километров составляет та часть пути, которая идет по равнине? Путь из А в В Путь из В в А S, км v, км/ч t, ч 1 участок у 3 Искомый 2 участок х 4 3 участок z 5 3 ч 6 мин у к 1 участо А 3 5 км/ч x+у+х z z=11, 5 у + 4 + =2, 9 3 5 S, км v, км/ч t, ч у 3 х 4 z 5 3 участок z 3 Искомый 2 участок х 4 1 участок y z 3 х 4 y 5 5 2 ч 54 мин х 2 участок 4 км/ч у х z + + =3, 1 5 4 3 z 3 5 км/ч участок 3 В

у х z + + =2, 9 3 4 5 +х z у + + =3, 1 5 4 3 x+у+z=11, 5 16(у+z)+15 х=180 8 у х 8 z + + =6 15 2 15 у х z + + =3, 1 5 4 3 x+у+z=11, 5 30 16(11, 5–х)+15 х=180 у х z + + =3, 1 5 4 3 у+z=11, 5–х 11, 5 16 у+15 х+16 z=180 184– 16 х+15 х=180 – х= – 4 у+z=11, 5–х х= 4 Значения у и z можно не вычислять, т. к. в задаче требуется найти только длину горизонтального участка. Ответ: длина горизонтального участка 4 км.

21. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй автомобиль, если он проходил в минуту на 1 дистанции больше, чем 6 мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин? Мы привыкли, что скорость в задачах измеряется в км/ч, м/с или м/мин. Но часто в задаче путь неизвестен, но известно за какое время он пройден. Весь путь можно рассмотреть как 1 часть, тогда единицы скорости: часть/ч или часть/мин… Рассмотрим примеры таких задач. 1 часть х часть/мин 4 х часть/мин 1 х+ часть/мин 6 1 2 2

21. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза Чтобы найти время проходил второй быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту надо расстояние разделить на скорость автомобиль, если он проходил в минуту на 1 дистанции больше, чем 6 t=S мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин? v v, часть/мин S, часть t, мин 1 автомобиль 4 х 2 автомобиль 1 х+ 6 мотоциклист х 1 х+ 1 6 на 1 мин = >– х1 часть/мин 4 х 1 1 х+ 1 На 1 мин 6 1 1 х 4 х часть/мин 1 х+ часть/мин 6 1 1 > 2

1 – 1 =1 х+ 1 4 х 6 4 х(х+ 1 ) 6 ОДЗ: х – 1 6 0, х Используем формулу для вычисления корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом 4 х – (х+ 1 ) = 4 х(х+ 1 ) 6 6 4 х – 1 = 4 х2 + 2 х 6 3 1 3 х – часть/мин 2 + 2 часть 6 мин 6 = 4 х 3 х , v, S, Перейдем к целым числам автомобиль 18 х – 4 х = 24 х2 + 4 х 1 t 1 1 1 = 24 х + 4 х 4 х 1 24 х2 х+ 14 х +1 = 1 – 1 0 2 автомобиль 6 х+ 1 6 а = 24, k = -7, c = 1 1 мотоциклист х 1 х 2 – 24 = 25 D/4 = (-7) 1 автомобиль 18 х – D/4 = k 2 – ac – k + D/4 – x= a Проверим, оба ли корня удовлетворяют условию задачи, может среди них есть посторонний корень? Найдем время мотоциклиста… 7+ 5 х= – = 24 1 1 х1 = 12 , tмот = 1 : 12 = 12 (мин), не уд. усл. х2 = 1 , tмот = 1 : 1 = 2 (мин) 2 2 «мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин» 1 1 2 = + = (часть/мин) Ответим на вопрос задачи: какуювчасть Ответ: 2 части дистанции минуту 2 6 3 дистанции в минуту проходил 2 автомобиль 3 проходил 2 автомобиль.

21. В заезде на одну и ту же дистанцию участвовали два автомобиля и мотоцикл. Второму автомобилю на всю дистанцию потребовалось на 1 мин больше, чем первому. Первый автомобиль двигался в 4 раза быстрее мотоцикла. Какую часть дистанции в минуту проходил второй автомобиль, если он проходил в минуту на 1 дистанции больше, чем 6 мотоцикл, а мотоцикл прошел дистанцию меньше, чем за 10 мин? t, мин S, часть v, часть/мин 1 автомобиль х 1 2 автомобиль х+1 1 мотоциклист 4 х 1 4 х мин 2 способ 1 х Первый автомобиль двигался в 4 1 раза быстрее мотоцикла. Поэтому времени на всю дистанцию потратит На 1 часть/мин х+1 в 4 раза больше, т. е. 4 х 6 1 4 х х мин х+1 мин > 1 2 В конце решения необходимо будет проверить корни. Время мотоциклиста 4 х должно быть меньше 10.

22. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг? Пусть полный круг – 1 часть. 21

22. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 3 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг? t, мин S, часть v, часть/мин 1 лыжник х х+3 1 2 лыжник 1 S 1= 60 60 1 х S 2 = 60 Пусть полный круг – 1 часть. Найдем расстояние, которое пройдут лыжники за 60 мин по формуле S = vt 1 час На 1 круг 60 1 х+3 > (1 часть) – =1 Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

23. По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать на два оборота в минуту больше. Пусть в начале движения лучи, направленные из центра окружности к этим точкам, сливались. Вычислить величину угла между лучами через 1 с. Пусть полный оборот – 1 часть. t, с S, часть v, часть/с 1 точка 2 точка х 1 х+5 1 1 х+5 Найдем расстояние, которое пройдут > S 60 1 точки а мин = 60 х На 2 оборотза 1 60 с по формуле S = vt 1 (2 части) S 2 60 1 = 60 х+5 – =1 Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

23. По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать на два оборота в минуту больше. Пусть в начале движения лучи, направленные из центра окружности к этим точкам, сливались. Вычислить величину угла между лучами через 1 случай 2 60 – 60 = 1 х х+5 Подсказки. Решив уравнение вы еще не получите ответ на вопрос задачи. За х мы обозначили время, за которое пройдет 1 -я точка полный круг. Еще придется найти скорость, причем скорость будет в необычных единицах – часть/с. Часть от полного круга, а полный круг 3600. Еще подсказка: в условии задачи не указано как именно двигались точки. Значит, они могли двигаться в одном направлении, а может и в противоположных, т. е. задача будет иметь два решения.

24. Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на 10 с меньше, чем второй. Если они начнут пробег с общего старта в одном направлении, то еще раз сойдутся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый спортсмен? Нетрудно заметить, чтобы сойтись еще раз первому спортсмену надо пробежать на 1 круг больше! Чтобы сойтись во второй раз первому спортсмену надо пробежать на 2 круга больше. Третий раз 1 спортсмен догонит соперника, если пробежит на 3 круга больше. И т. д. Пусть полный круг – 1 часть.

24. Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого постоянна, но на пробег всей дорожки первый тратит на 10 с меньше, чем второй. Если они начнут пробег с общего старта в одном направлении, то еще раз сойдутся через 720 с. Какую часть длины всей дорожки пробегает в секунду каждый спортсмен? Пусть полный круг – 1 часть. t, с S, часть v, часть/с 1 спортсмен х 1 2 спортсмен х+10 1 1 S 1= 720 х 720 1 S 2 =720 х+10 1 х+10 Найдем расстояние, которое пробегут спортсмены за 720 с по формуле S = vt На 1 круг (1 часть) > Чтобы сойтись еще раз первому спортсмену надо пробежать на 1 круг больше! – =1 Реши уравнение самостоятельно и найдите ответ на вопрос задачи.

Задачи для самостоятельной работы 4. 1. От почты А до поселка В надо пройти 9 км. Почтальон проходит путь туда и обратно, не задерживаясь в поселке, за 3 ч 41 мин. Дорога из А в В идет сначала в гору, потом по ровному месту и затем под гору. На каком протяжении дорога тянется по ровному месту, если в гору почтальон идет со скоростью 4 км/ч, по ровному месту 5 км/ч, а под гору 6 км/ч? 2. Дорога от поселка до станции идет сначала в гору, а потом под гору, при этом ее длина равна 9 км. Пешеход на подъеме идет со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от поселка до станции занимает у него 1 ч 50 мин, а обратный путь занимает 1 ч 55 мин. Определите длину подъема на пути к станции и скорости пешехода на подъеме и спуске. 3. На тренировке по картингу один карт проходил круг на 10 сек медленнее другого и через минуту отстал от него ровно на круг. За сколько секунд каждый карт проходил круг?

Уравнения Задача 1. Форма для поверки ответов. км Задача 4. 1 лыжник Задача 5. Если точки движутся в одном направлении км/ч, 2 лыжник км/ч (0 ) Если точки движутся в противоположных направлениях Задача 6. 1 спортсмен часть/с, 2 спортсмен часть/с Задачи для самостоятельной работы Задача 1. Задача 2. км Длина подъема скорость на подъеме Задача 3. 1 спортсмен max 15 км, км/ч, скорость на спуске с, 2 спортсмен с км/ч