Целое уравнение И его корни Выполнили: Богданова Алина, Антипина Софья, Фефилова Мария
Определение Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.
Теорема о целых уравнениях Если уравнение a 0 xn+ a 1 xn-1+…+ an-1 x+an =0 в котором все коэффициенты – целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.
Пример Найдем целые корни уравнения: 2 x 4 -x 3 -9 x 2+4 x+4=0 Делителями свободного члена являются числа: 1, -1, 2, -2, 4, -4. Подставляя эти числа в уравнение, найдем, что его левая часть обращается в нуль при x, равном 1, -2, 2. Значит, уравнение имеет три целых корня: x 1=1, x 2=-2, x 3=2
Пример 2. Докажем, что уравнение x 4 -3 x 3+3 x+2=0 Не имеет рациональных корней. Подставляя в уравнение делители свободного члена, то есть числа 1, -1, 2, -2, убеждаемся, что уравнение не имеет целых корней. Докажем, что оно не имеет так же дробных рациональных корней. Допустим, что несократимая дробь p/q, где p принадлежит Z, q принадлежит N, q не равно одному, является корнем уравнения. Тогда верно равенство (p/q)4 -3(p/q)3+3 p/q+2=0 а значит и равенство p 4 -3 p 3 q+3 pq 3 +2 q 4=0 полученное из него умножением обеих частей на q 4. Левая часть этого равенства не делится на q, т. к. представляет собой сумму, в которой все слагаемые, кроме первого, делятся на q, а правая часть равенства делится на q. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно, и никакое дробное число не является корнем уравнения. Итак, мы доказали, что уравнение не имеет рациональных корней.
Спасибо за внимание
Скачать презентацию Целое уравнение И его корни Выполнили Богданова Алина
Антипина Богданова Фефилова.pptx