Целевое программирование Многокритериальная задача линейного программирования ФОРМУЛИРОВКА

Целевое программирование Многокритериальная задача линейного программирования

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ЦЕЛЕВОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ • Файрвилл — небольшой городок, в котором проживает около 20 тысяч жителей. Предположим, городской совет разрабатывает ставки местного налогообложения. • Ежегодная база налогообложения недвижимости составляет 550 миллионов дол. • Ежегодная база налогообложения розничных и оптовых продаж составляет 35 и 55 миллионов дол. соответственно. • Ежегодное потребление городом бензина оценивается в 7, 5 миллионов галлонов. • Городской совет планирует разработать систему налоговых ставок, основанную на перечисленных базах налогообложения и учитывающую следующие ограничения и требования.

• 1. Налоговые поступления должны составить не менее 16 миллионов долларов от всех баз налогообложения. • 2. Налог с розничных продаж не может превышать 10% от суммы всех собираемых налогов. • 3. Налог с оптовых продаж не может превышать 20% от суммы всех налогов. • 4. Налог на бензин не может превышать 2 центов за галлон.

• Обозначим: через хн, хр и хо ставки налогов (выраженные десятичными дробями) на недвижимость, розничную и оптовую торговлю соответственно, а через хб — налог на бензин, выраженный в центах на галлон. • Пожелания городского совета можно записать следующим образом

После упрощения получаем три ограничения: • Каждое из этих неравенств представляет одну из целей городского совета, которую желательно добиться. Но эти цели могут конфликтовать друг с другом, и в лучшем случае мы можем попытаться достичь какого-нибудь компромиссного решения.

• Сначала каждое неравенство преобразуется в частную задачу, в рамках которой можно удовлетворить данное ограничение. • Неотрицательные переменные s+ и s- называются отклоняющими • Отклоняющие переменные зависимы по определению, поэтому они обе одновременно не могут быть базисными.

• Определенные значения отклоняющих переменных s+ и s- либо соответствуют ограничению, либо нет. Это та гибкость, которая позволяет целевому программированию достичь компромиссного решения. • Хорошее компромиссное решение минимизирует число невыполняемых ограничений. • В нашем примере первые три ограничения являются неравенствами типа ">", а четвертое— неравенством типа "<". • Вследствие этого положительные значения отклоняющих переменных s+1 , s+2, s+3, s -4 будут указывать на то, что соответствующие ограничения не выполняются.

• Поэтому ведется поиск такого компромиссного решения, которое будет удовлетворять по возможности большему числу следующих частных целей (целевых функций): • • Минимизировать G 1 = s+1 Минимизировать G 2 = s+2 Минимизировать G 3 = s+3 Минимизировать G 4 = s -4

Метод весовых коэффициентов • Пусть что модель целевого программирования имеет n целей следующего вида. Минимизировать Gi, i = 1, 2, . . . , n. • В методе весовых коэффициентов обобщенная целевая функция определяется следующим образом: Минимизировать z = wl. Gl + w 2 G 2 +. . . + wn. Gn. • Здесь wi (i = 1, 2, . . . , n)— положительные весовые коэффициенты, которые отображают предпочтения, отдаваемые каждой цели. • Например, вариант wi = 1 для всех i говорит о равнозначности всех целей.

Задача о рекламном агентстве (метод весовых коэффициентов) • Новое рекламное агентство, в составе которого 10 рекламных агентов, получило контракт на рекламу нового продукта. Агентство может провести рекламную акцию на радио и телевидении. В следующей таблице приведены данные о количестве людей, охватываемых тем или иным видом рекламы, стоимость этой рекламы и количество необходимых рекламных агентов. Все эти данные отнесены к одной минуте рекламного времени.

Задача о рекламном агентстве (метод весовых коэффициентов) • Реклама на радио и телевидении должна охватить не менее 45 миллионов человек но контракт запрещает использовать более 6 минут рекламы на радио. Рекламное агентство может выделить на этот проект бюджет, не превышающий 100 000 долл. Сколько минут рекламного времени агентство должно купить на радио и сколько на телевидении?

• Обозначим через x 1, и х2 количество минут рекламного времени, закупленного соответственно на радио и телевидении. • Минимизировать Gl = s+1 (для выполнения условия по рекламной аудитории), • минимизировать G 2 = s -2 (для выполнения условия по бюджету)

• Менеджеры рекламного агентства считают, что выполнение условия по объему рекламной аудитории в два раза важнее, чем выполнение условия по бюджету. Поэтому обобщенная целевая функция будет записана: Минимизировать z = 2 G 1 + G 2 = 2 s+1 + s -2 Оптимальное решение этой задачи: z = 10, x 1 = 5 минут, x 2 = 2, 5 минуты, s+1 = 5 миллионов человек. Остальные переменные равны нулю. • Так как s+1 = 5, значит, объем рекламной аудитории меньше запланированного на 5 миллионов. При этом условие по бюджету выполнено, поскольку s -2 = 0. • Методы целевого программирования позволяют получить только эффективное решение задачи, которое не всегда будет оптимальным. Например, решение х1 = 6 и х2 = 2 дает такой же объем рекламной аудитории, но при меньшей стоимости рекламной кампании (8 х1 + 24 х2 = 96 000 долл. ).

Метод приоритетов • В методе приоритетов n частных целевых функций ранжируются в порядке их важности, так как их оценивает ЛПР, т. е. • • минимизировать G 1 = ρ1 (наивысший приоритет), … минимизировать Gn =ρn (наинизший приоритет). Переменные ρi — это компоненты отклоняющих переменных, т. е. 5/ или s s+i и s-i , которые определяют i-ю целевую функцию.

• В методе приоритетов поочередно решаются задачи с одной целевой функцией, начиная с задачи с целевой функцией G 1, имеющей наивысший приоритет, и заканчивая задачей с целевой функцией Gn, имеющей минимальный приоритет. • В процессе решения последовательных задач решение задачи с целевой функцией, имеющей более низкий приоритет, не может ухудшить полученные ранее решения задач с целевой функцией, имеющих более высокий приоритет. • Это означает, что если z(Gi) — оптимальное значение целевой функции Gi, то для всех i >=1 оптимизация любой целевой функции Gj (j > i с меньшим приоритетом не может ухудшить значение z(Gi).

Вычислительный алгоритм • Этап 0. Определяем частные целевые функции задачи и ранжируем их в порядке приоритетов: G 1 = ρ1 >G 2 = ρ2 … > Gn = ρn. Положим i = 1. • Этап i. Решаем i-ю задачу ЛП с целевой функцией Gi. Обозначим через ρ* полученное оптимальное значение отклоняющей переменной ρi. • Если i = n, вычисления заканчиваются, поскольку решена последняя n-я задача. В противном случае вводим в задачу новое ограничение ρi = ρ*, тогда значение ρi не сможет измениться при решении последующих задач. • Полагаем i = i + 1 и повторяем этап i

Задача о рекламном агентстве (метод приоритетов) • Предположим, что наибольший приоритет имеет частная целевая функция, соответствующая условию, налагаемому на объем рекламной аудитории. • Этап 0. G 1 > G 2, где • G 1 : минимизировать s+1 (условие по рекламной аудитории), • G 2: минимизировать s-2 (условие по бюджету).

Задача о рекламном агентстве (метод приоритетов) • Этап 1. Решаем первую задачу ЛП: Минимизировать G 1 = s+1 • при выполнении ограничений:

• Оптимальное решение этой задачи составляет х1 = 5 минут, х2 = 2, 5 минуты, s+1 =5 миллионов человек, остальные переменные равны нулю. • Решение показывает, что условие по объему рекламной аудитории не выполняется с дефицитом в 5 млн. чел. • В этой задаче мы имеем ρ1 = s+1 , поэтому в следующей задаче добавим ограничение s+1 = 5. • Этап 2. Минимизировать G 1 = s-2 при выполнении тех же ограничений, что и в предыдущей задаче, плюс дополнительное ограничение s+1 = 5. • Но в в решении второй задачи нет необходимости, поскольку уже в решении первой имеем s-2 = 0. Следовательно, решение первой задачи автоматически является оптимальным решением второй. Решение s-2 = 0 показывает, что ограничение, касающееся бюджета рекламной компании, выполняется.

Задача о рекламном агентстве ( «истинные целевые функции» и метод приоритетов) • Цель 1. Максимизировать объем рекламной аудитории (Р 1) • Цель 2. Минимизировать стоимость рекламной кампании (Р 2). • Максимизировать Р 1 = 4 х1, + 8 х2, • минимизировать Р 2 = 8 x 1, + 24 х2. • при ограничениях

• Этап 1. Максимизировать Р 1 = 4 х1, + 8 х2, • Оптимальное решение этой задачи: х1 = 0, х2 = 5 и Р 1 = 40. Отсюда видно, что объем рекламной аудитории не может превысить 40 миллионов человек. • Этап 2. Минимизировать Р 2 = 8 x 1, + 24 х2, • Р 2 = 96 000 долл. , х1 = 6 минут и х2 = 2 минуты. Получили тот же объем рекламной аудитории (Р 1 = 40 млн. чел. ), но за меньшую стоимость.

Метод идеальной точки решения линейных двухкритериальных задач оптимизации U = 2 х – 2 у → max V = – 2 x – y → max 4 y – x ≤ 20; 4 x + y ≤ 22; х – у ≤ 3; х ≥ 0; у ≥ 0

1. Построим область допустимых решений (ОДР) в плоскости x. Oy, определяемую системой неравенств.

2. Построим в критериальной плоскости область, соответствующую области допустимых решений OABCD. Для этого необходимо найти координаты вершин. • В нашем случае: O(0; 0), A(0; 5), B(4; 6), C(5; 2), D(3; 0). • Найдем координаты образов точек O, A, B, C, D в линейном преобразовании, определяемом целевыми функциями: • O(0; 0) → O (0; 0). • A(0; 5): • A(0; 5) → A (– 10; – 5).

• B(4; 6) → B (– 4; – 14). C(5; 2) → C (6; – 12). D(3; 0) → D (6; – 6). • По найденным координатам точек построим в критериальной плоскости UOV образ многоугольника OABCD – многоугольник O A B C D.

3. В критериальной плоскости найдем границу Парето – северо-восточную границу области O A B C D.

• Точкой утопии, в которой достигается максимум одновременно по двум критериям U и V, является точка P

4. На границе Парето найдем идеальную точку – точку, наиболее близко расположенную к точке утопии. В нашем случае это основание перпендикуляра, опущенного из точки утопии Р на отрезок O D – точка M

• Найдем координаты точки M. Для этого найдем уравнение прямой O D. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки: O (0; 0), D (6; – 6)

, • Найдем уравнение перпендикуляра, опущенного из точки утопии P на отрезок O D. Воспользуемся уравнением прямой с точкой и вектором нормали: • Координаты точки М :

• Т. е. : М (3; – 3), а значит компромиссное решение позволит достигнуть значений целевых функций: U = 3, V = – 3. 5. Найдем координаты точки в плоскости x. Oy, которой соответствует точка М критериальной плоскости. Для этого решим систему уравнений: • Получили, что компромиссным решением метода идеальной точки является M(1, 5; 0), в которой критерии достигают значений U = 3, V = – 3. • Эта точка принадлежит отрезку OD • Ответ: M(1, 5; 0), U = 3, V = – 3.