Cеквенційні числення НКЛ кванторного рівня Базові секвенційні форми

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

РЕГИСТРАЦИЯ

Cеквенційні числення НКЛ кванторного рівня Базові секвенційні форми: 1

При умові використовуємо форми | R та |R , При умові використовуємо форми | R та |R . | при у тотально неістотному та у пт( , А) | При застосуванні форми | {z 1, …, zт} – це множина усіх імен множини доступних формул секвенції | x. А, . Секв. числення з такими базовими формами – QZN-числення. Теорема. Нехай секвенційні форми, = | | . Тоді: 1) якщо |= , то |= ; 2) якщо |= та |= , то |= . 3

6) Якщо Н, то Н; Якщо Н, то Н. 7) Якщо Н, то Н; якщо Н, то Н. 8) Якщо Н, то Н; якщо Н, то Н. 9) Якщо Н та то Н; якщо Н та то Н. 10) Якщо Н та то Н; якщо Н та то Н. Тут z тотально неістотне та 11) Якщо | х Н, то існує у W таке, що Н; якщо | х Н, то для всіх у W маємо Н. 5

Процедура побудови дерева для секвенції розбивається на етапи. Кожне застосування секвенційної форми проводиться лише до скінченної множини доступних формул. На початку кожного етапу виконується крок доступу: до списку доступних формул додається по одній формулі зі списків | -формул та |-формул. На початку побудови дерева доступна лише пара перших формул списків. На початку побудови секвенційного дерева для зафіксований деякий нескінченний список TN тотально неістотних "нових" імен, які не зустрічаються в формулах секвенції . Нехай виконано k етапів процедури. На етапі k+1 перевіряємо, чи буде кожен лист дерева замкненою секвенцією. Якщо всі листи дерева замкнені, то процедура завершена позитивно, ми отримали замкнене секвенційне дерево. 6

Нехай існують незамкнені листи дерева. Для кожного такого листа робимо наступний крок доступу, після чого добудовуємо скінченне піддерево з вершиною : (1) Активізуємо всі доступні непримітивні формули . (2) По черзі до кожної активної формули застосовуємо відповідну секвенційну форму. Форми | RT та |RТ допоміжні: перед застосуванням однієї з форм | FN -|FN, |-RR, -|RR, |-R , -|R , | R , |R усуваємо при наявності тотожні перейменування, застосовуючи належну кількість раз | RT чи |RТ. Після застосування недопоміжної форми формула дезактивується. Спочатку виконуємо всі | -форми. При застосуванні | беремо у як перше незадіяне ім'я списку TN. 7

Після | виконуємо R -форми, при цьому беремо із задіяних імен списку TN, якщо це можливо, інакше z – перше незадіяне ім'я списку TN. Потім до кожної з решти активних формул застосовуємо відповідну їй форму | , | FN, |FN, | RR, |RR, | R , |R , | R , -|R , |. При застосуванні | множина {z 1, …, zт} складається з усіх імен доступних формул листа та його наступників. Всі повтори формул в секвенції усуваємо. При побудові секвенційного дерева можливі такі випадки: 1) процедура завершена позитивно, маємо скінченне замкнене дерево; 2) процедура завершена негативно або не завершується, маємо незамкнене скінченне або нескінченне дерево. За лемою Кеніга нескінченне дерево зі скінченним розгалуженням має хоча б один нескінченний шлях . Вершини – незамкнені секвенції, бо при появі замкненої до неї незастосовна жодна секвенційна форма, і процес побудови для цього шляху обривається. Кожна із формул секвенції зустрінеться на шляху і стане доступною. 8

Теорема. Нехай – незамкнений шлях в секвенційному дереві, Н – множина всіх відмічених формул секвенцій цього шляху. Тоді Н – модельна множина. Для переходу від нижчої вершини шляху до вищої використовується одна з базових секвенційних форм. Переходи згідно таких форм точно відповідають визначенню модельної множини. Кожна непримітивна формула шляху рано чи пізно буде розкладена чи спрощена згідно відповідної секвенційної форми. Всі секвенції шляху незамкнені. Отже, Н модельна множина Теорема. Нехай Н - модельна множина, нехай W=nт(Н). Тоді існують АС А=(А, І) з |А|=|W| та ін'єктивна VA з im( )=W такі: 1) з умови | Н випливає А( )=Т ; 2) з умови | Н випливає А( )=F. Візьмемо деяку А таку, що |А|=|W|, та ін'єктивну VA з im( )=W. Доведення – індукцією за складністю формули згідно побудови модельної множини. 9

Спочатку задамо значення базових предикатів на та на ІМ вигляду r( ). Якщо |-р Н, то р. А( )=Т ; якщо -| р Н, то р. А( )=F. Якщо то візьмемо Так задані значення базових предикатів продовжимо за еквітонністю, враховуючи умови неістотності імен, на відповідні h VA. Для всіх інших d VA значення р. А(d) задаємо довільним чином, враховуючи еквітонність та обмеження стосовно неістотності: d, h VA таких, що d||- (p) = h||- (p), необхідно р. А(d)=р. А(h). Для атомарних та формул вигляду твердження теореми випливають з визначення значень базових предикатів. 10

Доведемо крок індукції. Нехай |- Н. За визначенням Н маємо -| Н. За припущенням індукції А( )=F, звідки ( )А( )=Т. Нехай -| Н. За визначенням Н маємо |- Н. За припущенням індукції А( )=Т, звідки ( )А( )=F. Нехай |- Н. За визначенням Н маємо |- Н або |- Н. За припущенням індукції А( )=Т або А( )=Т, звідки ( )А( )=Т. Нехай -| Н. За визначенням Н маємо -| Н та -| Н. За припущенням індукції А( )=F та А( )=F, звідки ( )А( )=F. Нехай За визначенням Н маємо За припущенням індукції звідки 11

Нехай | х Н. За визначенням Н існує у W: За припущенням індукції звідси A( х (у))=Т. Але (у) згідно WА та у W, тому для а= (у) маємо A( х а)=Т, звідки ( х )A( )=Т. Нехай | х Н. За визначенням Н у W. За припущенням індукції у W. Звідси A( х (у))=F у W. Згідно WА маємо (у) у W. Але – бієкція W А, кожне b А має вигляд b= (у) для деякого у W. Отже, A( х b)=F b А, звідки ( х )A( )=F. Теорема (повноти). Нехай |= . Тоді секвенція | | вивідна. Прип. супротивне: |= та | | невивідна. Тоді секв. дерево для = | | незамкнене в існує незамкнений шлях . Нехай Н множина всіх відм. формул шляху . Така Н модельна множина. Звідси існують АС А=(А, І) та VA такі: | Н А( )=Т та | Н А( )=F. Згідно Н тоді | А( )=Т та | А( )=F. Це суперечить |= 12

Теорема компактності. Cуперечливість та несуперечливість множин формул Теорема 1 (ПК_1). Нехай |= . Тоді існують скінченні 0 та 0 такі, що 0 |= 0. |= = | | вивідна має скінченне замкнене секв. дерево , але в кожній вершині доступні скінченна к-ть формул секвенції. Нехай нд множина всіх формул , недоступних у вершинах . При побудові використовуються лише формули скінченної 0 = нд. Відкинемо з кожної вершини всі формули нд дістанемо дерево 0 з коренем 0 = | 0 , всі вершини якого скінченні секвенції. Отже, 0 = | 0 вивідна 0 |= 0 синтаксично несуперечлива, якщо | |( & ) невивідна. семантично несуперечлива (сумісна), якщо існують A=(А, I) та d VA такі: А(d)=T . Модель сумісності для – АС A=(A, I) така: d VA: А(d)=T . семантично несуперечлива має модель сумісності. семантично несуперечлива маємо | & 13

Теорема 2 (про існування моделі). Нехай синтакс. несуперечлива. Тоді має зліченну або скінченну модель сумісності. синт. несуперечлива секвенція = | |( & ) невивідна секв. дерево для | |( & ) незамкнене в ньому існує незамкнений шлях . Нехай Н множина всіх формул секвенцій цього шляху Н модельна існують АС А=(А, І) із скінченною або зліченною А та VA такі: | Н А( )=Т та | Н А( )=F. В силу Н це вірно і для формул з = | |( & ) А( )=Т А=(А, І) модель сумісності для Наслідок. синтаксично несуп. семантично несуп. Теорема 3. семантично несуп. синтаксично несуп. Прип. супротивне: семант. несуп. та синт. суп. | & та | |( & ) вивідна для деякої |= & суперечність Наслідок 1. синтаксично несуп. семантично несуп. Надалі можна просто говорити про несуперечливість мн-ни формул , не конкретизуючи, семантичну чи синтаксичну несуперечливість. Наслідок 2. синтаксично несуп. має модель сумісності. 14

Теорема 4 (аналог теореми Левенгейма Сколема ). має модель сумісності має зліченну або скінченну модель сумісності. має модель сумісності семан. несуп. синт. несуп. За теоремою 2 має зліченну або скінченну модель сумісності Теорема (ПК_2). Кожна скінченна 0 несуп. Супротивне: кожна скінченна 0 несуп. та суп. Тоді | |( & ) вивідна вона має скінченне замкнене секв. дерево . В кожній вершині дерева доступні тільки скінченна кількість формул секвенції, тому при побудові використані формули деякої скінченної 1 . Дістаємо дерево 1 з коренем | 1 |( & ), всі вершини якого скінченні секвенції | 1 |( & ) вивідна скінченна 1 суперечлива – отримали суперечність Теорема (ПК_3). Кожна скінченна 0 має модель сумісності. Кожна скінченна 0 має модель сумісності кожна така 0 несуп. За ПК_2 несуперечлива має модель сумісності 15

Теорема (про взаємну суперечливість). Нехай 1 і 2 несуп. та 1 2 суп. Тоді існують скінченні 01 1 та 02 2 такі, що 01 02 суперечлива. 1 2 суп. існує скінченна суп. 0 1 2 (кожна скінченна 0 1 2 несуп. 1 2 несуп. ). В силу несуп. 1 і 2 неможливо 0 1 і 0 2 . Отже, 0= 01 02 для деяких скінченних непорожніх 01 1 та 02 2 Теорема (про взаємну несуперечливість). Нехай 1 і 2 несуп. та для довільних 01 1 і 02 2 01 02 несуп. Тоді 1 2 несуперечлива. Супротивне: 1 2 суп. Тоді існує скінченна суперечлива 0 1 2. Така 0 має вигляд 01 02 для деяких скінченних 01 1 та 02 2 16

Інтерполяційна теорема Це олин із найважливіших результатів математичної логіки Інтерполяційна теорема. Нехай секвенція –| має виведення. Тоді існує сигнатури ( ) ( ) така: –| та –| мають виведення. Таку називають інтерполяційною формулою, або інтерполянтом. При ( ) = твердження теореми може бути невірним: Нехай та – це p p та q q, де p, q Ps. Тоді інтерполянтом буде всюди істинна формула, але при умові ( ) ( ) = такої не існує, бо її просто немає з чого будувати. Доводиться загальніше твердження (індукцією за довжиною виведення): Теорема. Нехай = 1, 2 має виведення існує формула сигнатури ( ) ( 1) ( 2) така, що за можна збудувати виведення 1 для –| , 1 та виведення 2 для |– , 2. Виведемо звідси інтерполяційну теорему –| має виведення |– , –| має виведення. Візьмемо як 1 і 2 секвенції | – і –|. За теоремою існує сигнатури ( ) ( ): –| , |– та |– , –| мають виведення. Звідси –| та –| мають виведення 17

Теореми про визначність Розгл. співвідношення між двома різними уточненнями визначення одного поняття в термінах інших понять. Одне уточнення – семантичне, або неявне. Його суть: поняття (ПС) q неявно визначається через поняття p 1, …, pn в теорії (множині формул) , якщо для кожних моделей істинності , узгоджених у тому розумінні, що в них p 1, …, pn інтерпретуються однаково, маємо однакові інтерпретації для q. Друге – синтаксичне, або явне. Його суть: поняття q явно визначається в через p 1, …, pn, якщо таке визначення є логічним наслідком . Для класичної логіки еквівалентність явного та неявного визначення одного поняття в термінах інших – це теорема Бета про визначність. Нехай Ps – деяка множина предикатних символів мови. Модель істинності для – це A=(A, I) така: d VA А(d) T. Для логік ПЕП кожна модель істинності є моделлю сумісності. Для логік ЕП це невірно: розгл. АС, де кожний ПС інтерпретується як усюди невизначений пр-т Моделі істинності A=(M, IA) та В=(M, IВ) мн-ни формул -тотожні, якщо p маємо p. A p. В. 18

ПС q семантично визначний через ПС {p 1, …, pn}, де q {p 1, …, pn}, якщо {p 1, …, pn}-тотожних еквітонних моделей істинності A=(M, IA) та В=(M, IВ) множини формул маємо q. A q. В. ПС q синтаксично визначний через ПС {p 1, …, pn} в множині формул , якщо існує формула із ( ) ={p 1, …, pn} така, що |= q . Теорема 1. Нехай ПС q синтаксично визначний через {p 1, …, pn} в множині формул . Тоді q семантично визначний через {p 1, …, pn}. Нехай із ( ) ={p 1, …, pn} така, що |= q . Прип. супротивне: q не є сем. визн. через {p 1, …, pn} існують {p 1, …, pn}-тотожні еквітонні моделі іст-ті A=(M, IA) та В=(M, IВ) для та d VM: q. A(d) q. В(d). Візьмемо для A та В АС повнототальних розширень A' та В', візьмемо MV таке, що d. За еквітонністю q. A'( ) = q. A(d) та q. B'( ) = q. B(d), тому q. A'( ) q. В'( ). Але A' та В' – моделі істинності для , тому A'( ) = T та B'( ) = T. Враховуючи |= q , тоді (q )A'( ) = T та (q )В'( ) = T, але згідно q. A'( ) q. В'( ) маємо A'( ) В'( ). Проте ( ) ={p 1, …, pn}, A' та В' – {p 1, …, pn}-тотожні, тому A'( ) = В'( ). Отримали суперечність Теорема 2. Нехай ПС q семантично визначний через {p 1, …, pn}. Тоді q синтаксично визначний через {p 1, …, pn} в множині формул . 19

Cеквенційні числення класичних логік 1 -го порядку Базові секвенційні форми | | | тут вільна у { х. A}. | При застосуванні | {z 1, …, zт} – множина вільних імен множини доступних формул секвенції | x. А, та її наступників. 20

Кожне застосування сек. форми – до ск. множини доступних формул. На початку кожного етапу – крок доступу: до списку доступних формул додаємо по одній формулі з | -списку та |-списку. Якщо недоступних | -формул чи |-формул немає, то на подальших кроках доступу додаємо по одній формулі невичерпаного списку. На початку побудови дерева доступна пара перших формул списків (єдина формула, якщо один із списків порожній). Нехай виконано k етапів процедури. На етапі k+1 перевіряємо, чи кожен лист – замкнена секвенція. Якщо всі листи замкнені, то процедура завершена позитивно Якщо ні, то для кожного незамкненого листа робимо наступний крок доступу, після чого добудуємо скінченне піддерево з вершиною так. 22

Активізуємо всі доступні неатомарні формули . По черзі до кожної активної формули застосовуємо відповідну форму. Спочатку виконуємо всі | -форми. При застосуванні | беремо у як перше незадіяне на шляху від кореня до даного листа ім'я списку TN. Після застосування | до кожної з решти активних формул застосовуємо відповідну їй форму | , |. При застосуванні | {z 1, …, zт} складається з усіх вільних імен доступних формул листа та його наступників; якщо ж таких імен немає, беремо перше незадіяне ім'я списку TN. Після виконання сек. форми формула пасивна. Повтори формул усуваються. 23

При побудові сек. дерева можливі випадки: 1) Процедура завершена позитивно, маємо замкнене дерево. 2) Процедура завершена негативно або не завершується, маємо незамкнене дерево. Тоді в дереві існує незамкнений шлях . Кожна з формул секвенції зустрінеться на цьому шляху і стане доступною. Н – множина всіх формул секвенцій шляху – модельна Нехай W = free(Н). Тоді існують АС А = (А, І) з |А|=|W| та ін'єктивна : W A такі: 1) | Н А( )=Т; 2) | Н А( )=F. Згідно з Н така оцінка формул заперечує |= . Теорема повноти. Нехай |= . Тоді секвенція | | вивідна. Нехай |= , але | | невивідна. Тоді в сек. дереві для | | існує незамкнений шлях існує оцінка формул | | , яка заперечує |= 24

Теорема Ербрана Розглянемо замкнену пренексну формулу Qv. M(v). – Qv – кванторні префікси (всі префікси – по різних предметних іменах), – v – всі вільні предметні імена безкванторної формули M, v складається з -кванторних y 1, …, yn та -кванторних x 1, …, xm. Зіставимо кожному yі із Qv {xi}-арну функцію fі , де xi – всі ті -кванторні імена із v, що передують yі в Qv Функції fі співставимо новий ФС fі , арність якого – кількість імен в xi Якщо yі не передує в Qv жодний -кванторний префікс, то fі – константа, fі – константний символ. Замінимо всі входження yі в М на терм fі(xi), і {1, … n}. Отримаємо формулу вигляду х1… хm M (x 1, …, xm, f 1(x 1), …, fn(xn)). Таке перетворення – сколемізація, самі формули зазначеного вигляду – формули в сколемівській формі 25

Приклад 1. Початкова формула має вигляд х p(x, x) & х y(q(y) p(x, y)) & y x(p(x, y)). Зводимо її до пренексної форми: х z y u v(p(x, x) & (q(y) p(z, y)) & p(v, u)). Тепер y зіставимо 2 -арний ФС f v зіставимо 3 -арний ФС g замінимо входження y термом f(x, z), входження v – термом g(x, z, u). Отримаємо формулу в cколемівській формі х z u(p(x, x) & (q(f(x, z)) p(z, f(x, z))) & p(g(x, z, u)). Приклад 2. Початкова формула має вигляд x p(x) & х(p(x) y(p(y)). Зводимо її до пренексної форми: x z y(p(x) & (p(z) p(y)). x зіставимо константний символ с у співставимо 1 -арний ФС f замінимо входження x на КС с, входження у – термом f(z). Отримаємо формулу в сколемівській формі z(p(c) & (p(z) p(f(z))). 26

Для формули в сколемівській формі збудуємо універс із замкнених термів, отриманих всеможливими застосуваннями сколемівських ФС до сколемівських константних символів. Якщо таких КС немає, беремо довільний новий КС. Такий універс вперше увів до розгляду Ж. Ербран, тому його називають ербранівським Приклад 3. Для сколемівської формули прикладу 1 беремо новий КС а, тоді ербранівський універс – це множина термів {a, f(a, a), g(a, a, a), f(f(a, a), f(a, a)), g(f(a, a), g(a, a, f(a, a)), f(g(a, a, a), f(a, g(a, a, a)), g(g(a, a, a), g(a, a, a)), f(f(a, a), f(a, a)), f(g(a, a, a), f(a, a)), f(f(a, a), g(a, a, a)), f(g(a, a, a)), … }. Приклад 4. Для сколемівської функції прикладу 2 ербранівський універс – це множина термів {с, f(с), f(f(с)), f(f(f(с))), f(f(с)))), f(f(f(с))))), … }. Приклад замкненої формули х1… хm (x 1, …, xm), де безкванторна, – це де t 1, …, tm – замкнені терми. 27

Теорема (Ербран). Пренексна формула Qv. M(v) є суперечністю існують системи термів ербранівського універсу сколемівської формули х1… хm , де – це M (x 1, …, xm, f 1(x 1), …, fn(xn)): є суперечністю пропозиційної логіки. Формулу – кон'юнкцію прикладів формули – С. Кліні назвав ербранівською розгорткою формули Qv. M(v) Дуальне формулювання теореми Ербрана. Зробимо інверсію сколемизації замкненої пренексної Qv. M(v), де v – із -кванторних y 1, …, yn та -кванторних x 1, …, xm. Зіставимо кожному хі із Qv новий ФС gі , арність якого рівна кількості -кванторних імен, що передують хі в Qv. Нехай уі – такі -кванторні імена. Якщо імені xі не передує в Qv жодний -кванторний префікс, то gі – константний символ. Замінимо всі входження хі в М на терм gі(уі), і {1, … m}. Отримаємо формулу вигляду у1… уn M (g 1(у1), …, gm(уm), y 1, …, yn). 28

При інверсній сколемiзації теж будується ербранівський універс та справджується Теорема (Ербран, дуальна форма). Пренексна формула Qv. M(v) всюди істинна існують системи термів ербранівського універсу сколемівської формули у1… уn , де – це M (g 1(у1), …, gm(уm), y 1, …, yn): є тавтологією. На теоремі Ербрана базується метод спростування Ербрана. |= |= ( – замикання ) суперечність існує її ербранівська розгортка, яка є суперечністю. Тому для встановлення |= будуємо сколемівську форму для пренексної форми формули , поступово породжуємо терми ербранівського універсу та перевіряємо ербранівські розгортки на суперечність. 29

Mетод резолюцій логіки предикатів 1 -го порядку Істотним для методу резолюцій є пошук контрарних пар літер для диз'юнктів. На кванторному рівні такий пошук стає проблематичним. Приклад 1. Диз'юнкти D 1 = A(x) B(x) та D 2 = A(f(у)) C(у) не мають контрарних літер. Але можна зробити підстановкy терма f(y) замість х в D 1. Маємо диз'юнкти D'1 = A(f(у)) B(f(у)) та D 2. В них літери A(f(у)) та A(f(у)) вже контрарні. Отже, із D'1 та D 2 можна отримати резольвенту R = B(f(у)) C(у). Підставляючи різні терми замість у в R, отримаємо інші резольвенти із D 1 та D 2 правилом резолюцій. В цьому плані R – найзагальніша, інші резольвенти є її конкретизаціями. Отже, для отримання резольвент необхідно робити підстановки термів. Підстановкою назвемо довільне однозначне відображення : V Tr. Підстановка – це іменна множина VTr. Якщо така ІМ порожня, то підстановка тотожна. Якщо така ІМ скінченна, то підстановка скінченна. Опускаємо в підстановках компоненти x х (відповідають тотожним замінам) 30

Приклад терма t за підстановкою , або -приклад терма t, – терм (t), отриманий із терма t паралельними замінами всіх входжень імен х nm(t) на терми (х) при умові (х). Якщо (х) , заміни імені х немає. Це можна трактувати як тотожну заміну. Приклад 2. Нехай = g(x, h(x, y, z)), = [x a, y f(b), z c]. t Тоді = g(a, h(a, f(b), c)). (t) Добутком (композицією) підстановок = [xi ti]i I та = [yj sj]j J назвемо підстановку = [xi (ti)]i I. Приклад 3. Нехай = [x f(y), y z], = [x a, y b, z y]. Тоді = [x a, y b, z y] [x (f(у)), y (z)] = [x f(b), z y]. Тут опущена компонента у у. 31

Підстановка називається уніфікатором для множини термів {t 1, …, tn}, якщо (t 1) = (t 2) =…= (tn). Тоді множина термів {t 1, …, tn} уніфікується підстановкою . Множина термів уніфікується, якщо для неї існує уніфікатор. Уніфікатор – найзагальніший уніфікатор (НЗУ) множини термів {t 1, …, tn}, якщо уніфікатора цієї множини підстановка така, що = . Приклад 4. Маємо множину термів {х, f(у)}. Тоді = [x f(y)] – НЗУ цієї множини. Справді, її уніфікатори мають вигляд = [x f(t), y t]. Тоді для підходить підстановка = [y t]: =[y t] [x f(t)] = [y t] [x (f(y))] = [x f(y)] [y t]. Поняття уніфікатора можна узагальнити на множини пар термів, що дозволяє побудувати алгоритм уніфікації – алгоритм знаходження НЗУ. На даний час відомі досить ефективні алгоритми уніфікації (зокрема, запропоновані А. Робінсоном). Поняття прикладу, підстановки та НЗУ природним чином продовжується на літери та диз'юнкти. 32

Метод резолюцій логіки предикатів 1 -го порядку базується на зведенні формул до сколемівської форми та перетворенні матриці до кон'юнктивної нормальної форми – кон'юнкції диз'юнктів. При цьому використовуються такі семантичні властивості: – |= (K 1&…&Kn) |= K 1 &…& Kn |=K 1&…&Kn ; – правило підстановки |= х[t], яке дає змогу робити уніфікацію. Основою методу резолюцій є правило бінарної резолюції. Нехай D 1 та D 2 – диз'юнкти, в яких nm(D 1) nm(D 2) = . Нехай L 1 – літера D 1, L 2 – літера D 2, причому L 1 та L'2, де L 2 = L'2, або L 2 та L'1, де L 1 = L'1, мають НЗУ . Тоді диз'юнкт ( (D 1) (L 1)) ( (D 2) (L 2)) резолюцією диз'юнктів D 1 та D 2. називають бінарною Літери L 1 та L 2 називають відрізними. Тут диз'юнкт D D' – диз'юнкція тих літер D, які не входять до D'. 33

Крім правила бінарної резолюції, використовується правило склеювання. Нехай в диз'юнкті D 2 -х літер з однаковими ПС мають НЗУ . Тоді диз'юнкт (D) називають склеюванням диз'юнкта D. В загальному вигляді правило резолюцій має два диз'юнкти-засновки та один диз'юнкт-висновок – резольвенту засновків. Диз'юнкт D – резольвента диз'юнктів D 1 та D 2, якщо D є однією з бінарних резольвент: 1) D 1 та D 2; 2) D 1 та склеювання чи прикладу D 2; 3) склеювання чи прикладу D 1 та D 2; 4) склеювання чи прикладу D 1 та склеювання чи прикладу D 2. Приклад 5. Нехай D = p(x) p(g(y)) q(x). Літери p(x) та p(g(y)) мають НЗУ = [x g(y)]. Диз'юнкт (D) = p(g(y)) q(g(y)) – склеювання диз'юнкта D. 34

Приклад 6. Нехай D 1 = p(x, f(y)) r(y) та D 2 = p(g(a), x) q(x). Mаємо х nm(D 1) nm(D 2), тому візьмемо -приклад (D 2) = p(g(a), u) q(u), де = [x u]. Але p(x, f(y)) та p(g(a), u) мають НЗУ = [x g(a), u f(y)] (D 1) = p(g(a), f(y)) r(y), ( (D 2)) = p(g(a), f(y)) q(f(y)). Бінарною резольвентою D 1 та (D 2) буде D = r(y) q(f(y)). Отже, D – резольвента диз'юнктів-засновків D 1 та D 2. Приклад 7. Нехай D 1 = p(x) p(g(y)) q(f(y)) та D 2 = p(g(f(a))) p(b). Cклеюванням D 1 по НЗУ [x g(y)] буде D'1 = p(g(y)) q(f(y)). Бінарною резольвентою D'1 та D 2 по НЗУ [у f(а)] буде D = q(g(f(a))) p(b). Отже, D – резольвента диз'юнктів-засновків D 1 та D 2. Теоретично обгрунтовує метод резолюцій Теорема (повноти методу резолюцій). Множина диз'юнктів S суперечлива існує резолютивне виведення 0 із S. Для практ. використання методу резолюцій – допоміжні правила та стратегії (напр. , стратегія поглинання), які роблять метод ефективнішим 35

Скачать презентацию Cеквенційні числення НКЛ кванторного рівня Базові секвенційні форми

ml_lect_8.ppt

Количество слайдов: 35