CALS-технологии … 6. Расчет поля течения Бурцев С. А. , Егоров К. С. üОбоснование необходимости специальной методики üПроблемы при определении поля давления üШахматная сетка üУравнение количества движения üУравнение для поправки давления и скорости üУравнение для поправки давления üАлгоритм SIMPLE üМодифицированный алгоритм SIMPLER üОсобенности реализации в STAR-CD
Обоснование необходимости специальной методики Ранее была сформулирована процедура решения обобщенного ДУ для переменной Ф при заданном поле скорости. Составляющие скорости описываются уравнениями количества движения, являющимися частными случаями обобщенного дифференциального уравнения для Ф (в этом уравнении Ф=u, Г=m и т. д. ). Трудность расчета поля скорости связана с неизвестным полем давления. Градиент давления составляет часть источникового члена в уравнении Навье. Стокса, при этом нет явного уравнения для определения давления. Легче всего решить полученную систему уравнений прямым методом, но это не очень хорошо, так как мы предпочли итерационные методы решения Метод решения в переменных функция тока - вихря (методы, основанные на решении уравнения для вихря) имеет серьезные недостатки: 1) невозможность использовать его в случае 3 D задач, для которых не существует функции тока; 2) условие для вихря на стенке задать трудно, и это часто осложняет получение сходящегося решения. Кроме того, в 3 D случае задача будет включать 6 независимых переменных (3 составляющие вихря и 3 составляющие вектора потенциала скорости), а не 4, как при использовании 3 составляющих скорости и давления.
Проблемы при определении поля давления Аппроксимация градиента давления При составлении дискретного аналога уравнения количества движения для 1 D случая особенностью является представление члена – дp/дx, проинтегрированного по КО. В результате интегрирования в дискретный аналог войдет разность pw-pe. Чтобы выразить pw-pe через давления в узловых точках, предположим, что давление между узловыми точками изменяется по линейному закону. (6. 1) Для каждой узловой точки P выражения для градиента давления будет выполнятся: PW-PE=0. Т. е. волнистое поле давления будет восприниматься в уравнении количества движения как однородное.
Проблема еще более усугубляется в 2 D (а тем более 3 D) случае. Так же как на количество движения в направлении оси x влияет перепад давления PW-PE, на количество движения в направлении оси y влияет перепад давления PS-PN, при этом значение давления в точке P не играет никакой роли. Естественно, что численный метод, который допускает такие абсурдные решения, нежелателен. Аппроксимация уравнения неразрывности уравнение неразрывности (6. 2) (6. 3) В результате дискретному аналогу (6. 3) уравнения неразрывности может удовлетворять нефизичное поле скорости. Аналогично можно составить поля всех составляющих скорости для 2 D и 3 D.
Шахматная сетка При расчете составляющих скорости значительную выгоду дает определение их на сетке, отличной от сетки, которая используется для всех других переменных. Смещенная или шахматная сетка для расчета составляющих скорости впервые была использована в 1965 г. Составляющая скорости u вдоль оси x рассчитывается на гранях, перпендикулярных направлению оси x. Точки, в которых определяется u, показаны на рис. стрелками, а узловые точки изображены кружками. Для двухмерной сетки узловые точки для u и v помещены на соответствующих гранях КО. Точно таким же образом можно сконструировать соответствующую трехмерную сетку. На рис. горизонтальные стрелки - места определения u, вертикальные стрелки - места определения v, точки - места определения других параметров.
Прямым следствием введения шахматной сетки является то, что массовый расход через грани КО можно теперь определять без интерполяции соответствующей составляющей скорости (запись массовых расходов F ). Достоинства: 1) Для типичного КО дискретный аналог уравнения неразрывности содержит разности составляющих скорости в соседних точках, а это приводит к тому, что волнистое поле скорости не будет удовлетворять уравнению неразрывности. 2) Разность давлений между двумя соседними узловыми точками определяет составляющую скорости в точке, расположенной между этими узловыми точками. Следует учесть, что при использовании шахматном сетки надо предусмотреть в программе соответствующую индексацию и хранение геометрической информации, связанной с расположением узловых точек для составляющих скорости, а также дополнительную интерполяцию результатов. Однако преимущества использования такой сетки намного превосходят дополнительные сложности.
Уравнение количества движения Для уравнения количества движения Ф обозначает одну из составляющих скорости и коэффициенту Г и свободному члену S следует придать соответствующий смысл. КО для уравнения количества движения в направлении оси x показан на рис. Его грани лежат между точкой e и соответствующими соседними точками для u. Однако он смещен по отношению к обычному КО, расположенному вокруг основной узловой точки Р. Одно из главных достоинств шахматной сетки: разность p. P-p. E, можно использовать для расчета силы давления, действующей на КО для скорости u. Дискретный аналог (6. 4) Число соседних членов anbunb зависит от размерности задачи. Для двухмерной задачи - четыре точки вне КО; в трехмерном случае войдут шесть соседних значений u. Значения коэффициентов anb связаны с влиянием совместных конвективных и диффузионных процессов на гранях КО.
Член b определяется так же, как и ранее, но градиент давления не включен в составляющие источникового члена SC или SP. Член (p. P-p. E)Ae представляет собой силу давления, действующую на КО для u, а Ae - площадь поверхности, на которую действует этот перепад давления. В двухмерном случае Ae=Dy 1, в трехмерном Ae= Dy. Dz. где (p. P-p. N)An - соответствующая сила давления. Выразим поле скорости, полученное с использованием приближенного поля давления p*, через u*, v*, w*. Это поле скорости находится в результате решения следующих уравнений: (6. 5) В этих уравнениях составляющим скорости и давлению приписан верхний индекс *. Отметим, что точка t лежит на сеточной линии, направленной вдоль оси z и проходящей через узловые точки Р и Т.
Уравнение для поправки давления и скорости Предположим, что истинное давление находится из соотношения (6. 6) Аналогично введем соответствующие поправки составляющих скорости: (6. 7) Вычитая (6. 5) из (6. 4), получаем (6. 8) или (6. 9) Уравнение (6. 9) назовем поправочной формулой для скорости. Его можно переписать в виде (6. 10) Отсюда видно, какой должна быть поправка к значению скорости ue* определяемая поправками давления, чтобы получилось значение ue. Аналогичным образом запишем поправочные формулы для других составляющих скорости: (6. 11) (6. 12)
Уравнение для поправки давления Преобразуем уравнение неразрывности в уравнение для поправки давления. Вывод уравнений сделан для 3 D случая. Уравнение неразрывности имеет вид (6. 13) КО для уравнения неразрывности: горизонтальные стрелки - места определения u, вертикальные стрелки места определения v, точки - места определения других параметров При интегрировании члена dp/dt предположим, что значение плотности во всем КО равно P. Также будем считать, что значение массовой скорости на всей грани КО определяется значением составляющей скорости ue в точке е. В соответствии с полностью неявной аппроксимацией предположим, что новые значения скорости и плотности (в момент времени t+Dt) преобладают на всем шаге по времени; старое значение плотности P 0 (в момент времени t) будет входить только из-за наличия члена dp/dt.
В этих предположениях интегрирование уравнения (6. 13) дает (6. 14) Дискретный аналог уравнения для сеточных значений p': (6. 15) Из (6. 15) видно, что член b равен (со знаком «-» ) дискретному аналогу уравнения неразрывности (6. 14), записанного через значения с индексом *. Равенство b=0 означает, что эти составляющие вместе с имеющимся значением ( P 0 - P) удовлетворяют уравнению неразрывности и не требуется никакой коррекции давления.
Алгоритм SIMPLE Процедура, разработанная для расчета поля течения, получила название SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations), что означает полунеявный метод для связывающих давление уравнений. Последовательность операций 1. Задание поля давления p*. 2. Решение уравнений движения (6. 5) для получения u*, v*, w*. 3. Решение уравнения для p'. 4. Расчет p из уравнения (6. 6) путем добавления p' к p*. 5. Расчет u, v, w с учетом соответствующих значений u*, v*, w* с помощью формул для поправки скорости (6. 10) - (6. 12). 6. Решение дискретных аналогов для других Ф (таких, как температура, концентрация и турбулентные характеристики), если они влияют на поле течения через физические свойства жидкости, источниковые члены и т. д. 7. Представление скорректированного давления p как нового p*, возвращение к пункту 2 и повторение всей процедуры до тех пор, пока не будет получено сходящееся решение.
Уравнение для поправки давления При получении (6. 10) было решено отбросить член Sanbu’nb. Если бы anbu’nb не были отброшены, то их надо было бы выразить через скорректированные значения давления и скорости в ближайших для unb узлах. Эти значения, в свою очередь, зависят от значений в соседних узлах и т. д. Отбрасывание члена anbu’nb позволяет получить уравнение для p' в той же форме, что и основное уравнение для Ф, и применить последовательную процедуру решения для одной переменной на одном шаге по времени. В сходящемся решении достигаются такие поля давления, при которых соответствующие поля u*, v*, w* удовлетворяют уравнению неразрывности. Использовав полученное поле давления как p*, решим уравнение количества движения, чтобы получить u*, v*, w*. Из этого поля скорости рассчитаем b для уравнения поправки давления. Следовательно, p'=0 для всех узловых точек - решение уравнения (6. 15) и значения u*, v*, w* и p*будут точными значениями давления и скоростей. Массовый источник b является нулевым - достаточное доказательство того, что получено точное поле давления и текущее решение уравнения p' не нуждается в проведении последней итерации. Т. е. b служит указателем сходимости решения уравнений, описывающих течение жидкости.
Уравнение для поправки давления также может приводить к расходимости, если не используется некоторая нижняя релаксация. В большинстве случаев с успехом используется следующий способ: применяется нижняя релаксация для u*, v* и w* при решении уравнения движения; в дальнейшем к p* добавляется только часть p'. Другими словами, вместо уравнений (6. 6) и (6. 7) применяется соответственно (6. 16) (6. 17) В процессе расчетов сходимость достигается через ряд полей скорости, удовлетворяющих уравнению неразрывности. Эта особенность алгоритма SIMPLE имеет много преимуществ. Поле скорости, удовлетворяющее уравнению неразрывности, является более разумным, чем поле скоростей u*, v* и w*. Использование нижней релаксации в отношении этих скоростей помогает поддерживать в разумных пределах значения скоростей u*, v* и w* и массовые источники b малыми. Решение других уравнений для Ф на каждой итерации может быть основано на поле течения, которое удовлетворяет балансу массы.
При получении уравнения для p' предполагалось, что плотность известна; влияние давления на плотность не учитывалось. Плотность рассчитывается из соответствующего уравнения состояния. Оно может включать зависимость от температуры, концентрации и даже от давления. До тех пор пока не будет получено сходящееся решение, приближенный вариант уравнения для p' является достаточным. Можно ввести Уравнение для p' подобно дискретному аналогу уравнения теплопроводности. В формуле для поправки скорости коррекцию скорости ue’, можно рассматривать, аналогично тепловому потоку, вызванному разностью T. Одностороннее поведение при течении в погранслоях достигается при введении дополнительного допущения о поле давлении, на пример в погранслоях изменением давления, нормального к стенке, пренебрегается. Сверхзвуковые потоки проявляют одностороннее поведение в том, что давление вниз по потоку не изменяет условий вверх по потоку. При расчетах будем использовать уравнение для p' в особой «сжимаемой» форме
Особенности задания граничных условий Уравнения количества движения - специальный случай общего уравнения для Ф, и поэтому общая аппроксимация Г. У. для него также применима. Но уравнение для p' не является одним из основных уравнений и следует дать пояснение к аппроксимации Г. У. для этого уравнения. Заданное давление на границе. Предполагаемое поле давления p* принимается таким, что на границе p* = pзадан, тогда значение на границе p‘=0 (ГУ 1 -ого рода). Заданное значение скорости, нормальной к границе. Если сетка строится таким образом, что граница совпадает с гранью контрольного объема, то этот случай будет подобен тому, который показан на рисунке. Скорость ue не является заданной. При получении уравнения для показанного КО скорость потока через граничную поверхность будет выражена не через ue* и соответствующую поправку, а через само ue. В этом случае значение p. E’ в уравнении не появится или a. E будет равно нулю в уравнении для p'. Таким образом, информация о p. E’ не будет нужна.
Относительный характер давления Рассмотрим стационарное течение с постоянной плотностью, в котором нормальные скорости заданы на всей границе. Поскольку давление на границе не определено и все коэффициенты на границе будут нулевыми (a. E=0), то из уравнения для p' нельзя определить абсолютное значение p'. Коэффициенты уравнения для p' являются такими, что a. P=Sanb; это означает, что p' и p'+С (С - произвольная постоянная) удовлетворяют уравнению для p'. Позволяя поправке давления p' самой искать свой уровень, получим более быструю сходимость, чем при задании определенного значения в некоторой точке. Во многих задачах значения абсолютного давления намного больше локальных разностей. Если использовались абсолютные значения давления p', то погрешности округления будут достигать при расчете значений p. P-p. E. Поэтому лучше положить p=0 в качестве характерного значения в соответствующей узловой точке и рассчитать все другие значения p как давление относительно этого характерного значения. Когда давление в некоторых граничных точках определено или плотность зависит от давления, неопределенности уровня при расчете давления не возникает.
Модифицированный алгоритм SIMPLER Алгоритм SIMPLE широко используется и дает удовлетворительные результаты. Однако при попытках улучшить его скорость сходимости был разработан модифицированный вариант алгоритма. Этот вариант получил название SIMPLER (SIMPLE Revised - исправленный). Отличие SIMPLER от SIMPLE Приближение, принятое при выводе уравнения для p' (отбрасывание члена Sanbu’nb), дает несколько завышенную поправку для давления, и, следовательно, становится необходимым использование метода нижней релаксации. Рассмотрим простую задачу, в которой имеется одномерный поток с постоянной плотностью ( =const) и заданной скоростью на входной границе. Скорость в этой задаче определяется только уравнением неразрывности и, следовательно, удовлетворяющее уравнению неразрывности поле скорости, полученное в конце первой итерации, будет окончательным. Если применять уравнения для поправки давления только для коррекции скоростей и обеспечивать некоторые другие способы получения улучшенного поля давления (учет Sanbunb), то получим алгоритм SIMPLER.
Уравнение для давления Уравнение количества движения (6. 4) запишем как (6. 18) где de=Ae/ae. (6. 19) Найдем псевдоскорость ûe Тогда уравнение (6. 18) принимает вид (6. 20) Аналогично (6. 21) (6. 22) Легко заметить сходство между этими уравнениями (6. 10) (6. 12). Здесь псевдоскорости ûe, Ûn, ŵt появляются вместо u*, v*, w* и давление p занимает место p'.
Т. е. можно записать уравнение для давления через псевдоскорости в виде (6. 23) (6. 24) Выражение для b является только разностью между уравнением для давления (6. 23) и уравнением для поправки давления (6. 15). Выражение (6. 24) использует псевдоскорости ûe, Ûn, ŵt, хотя b в уравнении для p' рассчитывалось через значение скоростей u*, v*, w*. Несмотря на то, что уравнение для описания давления и уравнение для поправки давления почти идентичны, имеется одно важное отличие: при выводе уравнения для давления не вводились допущения.
Последовательность операций алгоритма SIMPLER 1. Ввести предположение о поле скорости. 2. Рассчитать коэффициенты уравнения количества движения и затем рассчитать псевдоскорости û, Û, ŵ, из уравнений, таких как (6. 19), подставив значения скорости unb в соседних близлежащих точках. 3. Рассчитать коэффициенты уравнения для давления (6. 23) и решить его с целью получения поля давления. 4. Обработать это поле давления в качестве p*, решить уравнение количества движения для получения u*, v*, w*. 5. Рассчитать массовый источник b по (6. 15) и затем решить уравнения поля поправки давления p'. 6. Скорректировать поле скорости (но не поле давления) с помощью уравнений (6. 10) - (6. 12). 7. Решить, если это необходимо, дискретные аналоги для других Ф. 8. Вернуться к пункту 2 и повторять расчеты до тex пор, пока не будет достигнута сходимость.
Анализ различий SIMPLE и SIMPLER Поскольку уравнение для коррекции давления позволяет получить разумные поля скорости и уравнение для давления дает прямой результат (без допущений) на основе заданного поля скорости, то сходимость к решению для SIMPLER будет более быстрой. В алгоритме SIMPLE предполагаемое поле давления играет важную роль. SIMPLER не использует предполагаемые давления, а строит поле давления по заданному полю скорости. Если заданное поле скорости точное, то в алгоритме SIMPLER уравнение для давления сразу дает точное поле давления и нет необходимости в каких-либо последующих итерациях. Для SIMPLE использование предполагаемого поля давления приводит к значениям скорости u*, v*, w*, которые отличаются от заданных точных значений. Сходимость требует большого, числа итераций, несмотря на то, что вначале имелось точное поле скорости. Количество итераций у SIMPLER меньше, чем у SIMPLE, но одна итерация SIMPLER требует больше расчетных усилий: 1. Уравнение для описания поведения давления должно быть решено в дополнение ко всем уравнениям, решаемым в SIMPLE. 2. Расчет û, Û, ŵ представляет не которую трудность, которой нет в SIMPLE.
Особенности реализации в STAR-CD В STAR-CD реализованы алгоритмы SIMPLE, SIMPISO, PISO. Метод PISO отличается от метода SIMPLE тем, что он имеет несколько стадий коррекции давления и скорости (пункты 2… 6 алгоритма могут повторятся любое число раз), т. е. сначала получается поле скорости и давления, а потом решаются уравнения для других Ф, и происходит переход на следующую итерацию. Его использование может быть целесообразным, когда на скорость (на уравнение импульсов) нет сильного влияния других скалярных величин (скажем, температуры, плотности и т. д. ). Алгоритм SIMPISO отличается от алгоритма SIMPLE введением дополнительных коэффициентов релаксации для неортогональной сетки. Рекомендации: SIMPLE, SIMPISO более подходят для стационарных задач.
Спасибо за внимание!
Скачать презентацию CALS-технологии 6 Расчет поля течения Бурцев С
06 Расчет поля течения.ppt