Calculs sur réseau en Chromodynamique Quantique Un paradigme

Calculs sur réseau en Chromodynamique Quantique Un paradigme de calcul intensif haute performance Jaume Carbonell Groupe de travail “Infrastructure du calcul intensif”, CC-IN 2 P 3, 15 sep. 2008

Menu - La QCD et sa résolution - Articulation MEGA/MESO/MINI centres de calcul - Et tout cela pourquoi?

Dans la longue « saga des poupées gigognes » que l’on nous raconte depuis des décennies à propos de la structure de la matière Molécules formées d’atomes, Atomes formés d’un noyau et des e, Noyaux formés de protons et neutrons, Protons et neutrons formés de quarks… la Nature a fini par nous jouer un sacré tour de passe-passe Jusqu’à maintenant la masse des objets composés était – à de petites perturbations près - la somme des masses de leurs composants atome d’H MH=mp+me + o(0. 000001) noyau de deuterium Md=mp+mn + o(0. 001) Or il se trouve, e. g. , que le proton est « formé » de 3 quarks, mais… - la masse des trois quarks est de 10 Me. V …alors que le proton en pèse 940 Me. V - les « composantes » du proton n’existent pas isolément …un peu comme les pôles qui « forment » un dipôle magnétique Ce sont les briques qui font la maison ou c’est la maison qui fait les briques ? Les notions mêmes de « masse » et « composant » en prennent un coup ! La théorie qui décrit ce monde étrange est la Chromodynamique Quantique (QCD) ou théorie des quarks et des gluons (Gross, Politzer, Wilczek prix Nobel 2004)

Les ingrédients de la QCD sont donc les « quarks » : 6 types, chacun de 3 « couleurs » , chacune ayant 4 composantes les « gluons » : 8 types, chacun ayant 4 composantes Mathématiquement ces objets physiques sont représentés par des « champs » , i. e. des opérateurs définis en chaque point de l’espace-temps Leur « dynamique » est régie par la « Théorie Quantique des champs » (QFT) qui permet – en principe – de connaître leur valeur en chaque point x. Or en pratique ceci est impossible! On n’aborde donc pas la QFT par les équations du mouvement, mais par une formulation due a Feynman, qui se ramène à des calculs de valeurs moyennes des “champs”. e. g. “propagateur” d’un quark (quantité la plus utile !) amplitude pour qu’une particule créée en y, s’annihile en x

Une propagation qui n’est pas très calme Det(M) tient compte des « boucles de quark-antiquark » générées à partir de gluons Un calcul qui inhibe ce processus est dit « quenched’

Ce calcul n’est possible qu’en discrétisant l’espace-temps (LQCD) 1. R 4 devient un réseau ( « lattice » ) de V= L 3 x T sites 2. Sur chaque site: 4 matrices Uµ de SU(3) (gluons) 3 x 4 x Nf « champs » complexes qcfs (quarks) 3. M(x, y) devient une matrice complexe de dim d=Vx 3 x 4 dont il faut calculer Det et inverse !!! 4. L’intégrale sur Uµ devient une somme sur N ensembles dits « configurations de jauge » , tirés suivant une loi de probabilité (Monte Carlo) Quelques tailles typiques L T V= L 3 x T d Uµ (Go) S(x, 0) (Go) 24 48 663 552 7 962 624 0. 382 1. 5 32 64 2 097 152 25 165 824 1. 208 4. 8 48 96 10 616 832 127 401 984 6. 115 24. 5 64 128 33 554 432 402 653 184 19. 312 77. 3 avec N 5000 Un projet inenvisageable sans HPC à haute dose…et stockage massif

Les étapes d’un calcul QCD sur réseau I. Générer N configurations de jauge Uµ(x) , i. e. les champs de gluons, II. “Propager” les quarks dans ce “fonds” de gluons, i. e. calculer M-1 ↔ Mxy[U] Syz = xz III. Calculer les observables - masses - constantes de désintégration - facteurs de forme - …. Ce qui se ramène à de « simples » manipulations algébriques avec S Comment s’articulent les MEGA/MESO/MINI centres de calcul ?

I. Générer N configurations de jauge Uµ(x) De loin, la partie la plus difficile et la plus coûteuse de LQCD à cause de Det(M) Technique utilisée; Hybrid Monte Carlo (HMC) qui nécessite beaucoup de M-1 Configurations générées dans des MEGA centres par des ordinateurs dédiés e. g. pour ETMC (European Twisted Mass Collaboration http: //www-zeuthen. desy. de/~kjansen/etmc/) APENext (Roma) Blue. Gene P (Juelich) Mare Nostrum (Barcelona) La France a acheté en 2007 2 APE, installées à Roma, utilisées pour des petits réseaux. Depuis cet été, IDRIS dispose d’une Blue. Gene/P utilisée pour L=32, 48, … ce qui donne à la France les moyens de calcul pour faire ce travail Coût caractéristique d’une conf (L=48): 1 h. avec 10000 CPU’s (MPI) Le MESO centre CCIN 2 P 3 participe de façon essentielle au stockage et mise en commun des confs U(x) L T Giga 24 48 0. 38 se comptent par milliers (différentes masses de quarks, mailles de réseau…) 32 64 1. 26 HPSS/SRB au service de la communauté française et collaborateurs

II. Calcul des propagateurs de quarks … pour chaque conf ! On est ramené à la résolution d’un système linéaire de taille conséquente M-1 ↔ Mxy[U] Syz = xz Pour L=24 les calculs se font presque tous au CC-IN 2 P 3 (1 calcul = 2 -3 jours CPU) ramener les confs par SRB (ou rfcp) résoudre les systèmes linéaires (12 par quark) stocker les propagateurs S par SRB (du scratch de la machine distante au HPSS) L T Giga/quark 24 48 1. 5 …. . se comptent aussi par milliers 32 64 5. Pour L=32 (6 jours CPU) les classes de batch du CC-IN 2 P 3 ont dû être rallongées pour ce travail Pour L=48 actuellement pas possible au CC-IN 2 P 3 Le CC-IN 2 P 3 participe de façon essentielle au calcul et au stockage des propagateurs. Nous avons actuellement 300 Tera sur HPSS (Confs+Propas)

Opérateur de Dirac-Wilson: que du vide ! Identite sur la diagonale + Matrice SU(3) en 8 sites off-diagonal

III. Calcul des observables Les calculs consistent en des contractions de Wick et se ramènent à de simples manipulations algébriques des propagateurs S(x) Ils ne nécessitent pas des runs très longs (une conf 2 h CPU) Les difficultés viennent : - de la taille des propagateurs (pour L=32 et un Nucleon: 15 Giga) - du fait qu’il faut moyenner sur plusieurs centaines de propagateurs, Le fait de pouvoir disposer dans un MESO centre comme le CC-IN 2 P 3 à la fois - d’un stockage massif avec un accès rapide (comme HPSS) - et d’une puissance de calcul raisonnable le rend indispensable pour mener à bien ce type de calculs L’analyse statistique des résultats (moyennes, calcul d’erreurs, fits, …) se fait localement en utilisant les moyens des MINI centres (i. e. la plupart des laboratoires!)

Exemple: Analyse du « corrélateur temporel » C(t) d’une particule formée par trois quarks. Obtenu en moyennant sur 400 « configurations de jauge » des contractions de propagateurs de quarks, sommées sur les variables d’espace t

Et tout cela pourquoi ? Exemple d’un calcul de MN en fonction de la masse des quarks ( m 2π) qui le composent Remarques: - si mπ=valeur physique, N est pile à sa place - aucun paramètre ajusté ! - petitesse des barres d’erreur Si mq=0 la masse des objets qui nous entourent - la seule jusqu’à nouvel ordre - ne s’en apercevrait presque pas. L’origine de la « masse » n’est pas le Higgs…. mais la « glue »

D’autres exemple de la collaboration ETMC Laboratoires francais: Grenoble (LPSC), Orsay (LPT), Saclay (SPh. N)

Facteurs de Forme Observables qui concernent la structure interne des particules (PDF, GPD) JLab

Conclusion Historiquement, la LQCD s’est développée en synérgie avec le calcul haute performance. Non seulement elle lui doit sa viabilité mais elle a contribué à définir l’architecture même des ordinateurs. La saga APE (APEcento/APEmille/APEnext) a été bâtie (Roma/Orsay) pour résoudre QCD. Blue. Gene/P résulte d’une collaboration angloaméricaine (QCDOC) avec IBM Synérgie qui se poursuit, tant au niveau national (ANR Peta. QCD) qu’européen (PRACE) Les MEGA centres sont reservés aux calculs les plus lourds Leur puissance définit en fait leurs ambitions…. ainsi que celle des pays qui en disposent L’articulation avec les MESO centres se fait tout naturellement. Elle est essentielle: - pour une partie plus « lègère » mais indispensable des calculs - en ce qui concerne le stockage et mise en commun des données (CCIN 2 P 3) - pour permettre l’accès à un nombre - important ! - des membres d’une collaboration