Бутстреп-метод Процедура бутстреп butsrap метод перевыборки или повторной

Бутстреп-метод

Процедура бутстреп (butsrap)метод «перевыборки» или повторной выборки, т. е. уточнения известных параметров при помощи методов статистического моделирования в случае наличия ошибок в переменных.

Бутстреп-методы используются в случае пассивного эксперимента – ситуации, при которой экспериментальные данные уже получены и исследователь не может влиять на получение дополнительной статистической информации.

В бутстреп-процедуре существенную роль играют погрешности в выбранных данных, которые могут привести к несостоятельности производимых оценок. Для разделения погрешностей при обработке данных как раз и используют эту процедуру.

Предпосылки метода Начальные данные неточны, уточнить их опытным путем (т. е. произведя дополнительные наблюдения) невозможно; Возможные погрешности приближенно распределены по нормальному закону (что, зачастую, выполняется при достаточно большой (более 30 единиц) выборке данных).

Бутстреп-процедуру Применяют для уточнения параметров функции регрессии; Процедуру можно применять для уточнения параметров многомерной линейной функции регрессии.

Теоретические основы бутстрепметода Связаны с построением специального распределения 2, введенного С. М. Ермаковым и Г. А. Золотухиным. Распределение обладает рядом интересных свойств, которые позволяют обрабатывать данные, полученные, как при помощи моделирования, так и в случае, когда данные получены в результате эксперимента.

Процедура «бутстреп» состоит в вычленении из заданной выборки данных подвыборок размера n<N (где N – число элементов в выборке данных), причем число этих выборок будет равно

В случае линейной регрессии В качестве функций 1(х), . . . , n(х) выступают x 1, …, xm. Тогда оценки параметров регрессии подвыборок вычисляются по формулам по повторным выборкам объемом m. Количество повторных выборок равно M.

Где ip – это номер одной из десяти подвыборок данных, а N – число наблюдений в выборке.

Вероятность выбора конкретной повторной выборки составляет:

Проверка качества бутстреппроцедуры Качество процедуры можно оценить суммированием всех вероятностей выбора той или иной повторной выборки. Сумма вероятностей должна быть приближенно равна 1.

Искомые параметры регрессии После того, как будут найдены все параметры регрессии по повторным выборкам, искомые параметры регрессии могут быть найдены, как средние арифметическое из параметров по всем поднаборам.

Балансовые и оптимизационные модели

Модели оптимизации Составляют очень широкий класс экономико–математических процедур. Все эти методики применяются для решения экономических задач, предполагающих строгую математическую постановку.

Модели оптимизации Предполагают, что задана система уравнений (линейных или нелинейных), связывающая входные характеристики. Все входные параметры известны с некоторыми ограничениями. Можно построить такую функцию по входным параметрам, максимальное (или минимальное) значение которой означает, что данная комбинация характеристик системы является наиболее привлекательной.

Качество экономико– математической модели определяется в связи с соответствием ее критерию оптимальности, который, в свою очередь, отражает смысловое содержание целевой функции.

Целевая функция – это функция, связывающая между собой все основные факторы модели, экстремальное значение которой является сигналом, определяющим нахождения оптимальной программы управления объекта моделирования.

Критерий и целевая функция понятия критерия и целевой функции не являются идентичными. Так, например, критерий прибыли, и критерий стоимости произведенной продукции описываются одной и той же целевой функцией, но имеют разный смысл

Критерии прибыли и стоимости где i – номенклатура производимой продукции, xi – объем выпуска данной номенклатуры продукции, ci – прибыль от выпуска этой продукции или соответственно стоимость единицы данной продукции, в зависимости от смысла критерия оптимальности.

Критерий прибыли может рассчитываться и по нелинейной целевой функции:

При наличии нескольких критериев оптимальности каждый из них будет формализован своей частной целевой функцией EK, где k – число критериев оптимальности.

Для однозначного выбора оптимального решения требуется сформировать новую целевую функцию E=f(E 1, . . . , Ek, . . . , EK) extr. Однако, эта целевая функция может уже не нести экономического смысла, в этом случае критерий оптимальности для нее отсутствует.

Пример постановки задачи оптимизации Рассмотрим сбыт изделий двух видов А и В, которые могут производиться в произвольных соотношениях. При этом возникает проблема составления плана выпуска, при котором прибыль предприятия (бизнес–участка) от реализации всей продукции должна быть максимальна.

Табличная запись примера Вид сырья Нормы расхода сырья на одно изделие (кг) А В Общее количество сырья (кг) I a 1 b 1 c 1 II a 2 b 2 c 2 III a 3 b 3 c 3 Прибыль от реализации одного изделия (руб. ) k 1 k 2

Линейная система оптимизационных уравнений

Функционал (целевая функция) Стремится к максимуму, так как в данном случае это прибыль. Она будет равна:

Балансовый метод - это метод взаимного сопоставления материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.

Балансовый метод Не содержит какого-либо механизма сравнения отдельных вариантов экономических решений; Не предусматривает взаимозаменяемости разных ресурсов, что не позволяет сделать выбор оптимального варианта развития экономической системы.

Балансовый метод Относятся к матричным экономикоматематическим процедурам. Примером метода является Модель межотраслевого баланса (МОБ) В ее основу закладывается матрица распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении.

Потребля ющие отрасти Производящие отрасли 1 2 3. . . n Амортизация Оплата труда Чистый доход Валовой продукт 1 2 3 … n x 11 x 21 x 31. . . xn 1 c 1 x 12 x 23. . . xn 2 c 2 x 13 x 23 x 33. . . xn 3 c 3 … … I … … … x 1 n x 2 n x 3 n. . . xnn cn v 1 v 2 v 3 III m 1 m 2 m 3 … mn x x x … x Конечны Валовой й продукт y 1 y 2 y 3. II. yn IV x 1 x 2 x 3. . . xn

Совокупный общественный продукт подразделяют на две части: промежуточный и конечный продукт. Вся экономика представлена в виде совокупности отраслей (чистых), каждая из которых фигурирует как производящая, и как потребляющая.

Первый квадрант МОБ это шахматная таблица межотраслевых материальных связей, где xij – это величины межотраслевых потоков продукции i -той производящей отрасли и j-той потребляющей (стоимости средств производства, произведенных в отрасли с номером i и потребленных в качестве материальных затрат в отрасли j).

Сумма всех элементов первого квадранта МОБ равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере.

Второй квадрант МОБ включает конечную продукцию всех отраслей материального производства.

Второй квадрант МОБ характеризует отраслевую структуру национального дохода, а в развернутом виде – распределение национального дохода на фонд накопления и фонд потребления, структуру потребления и накопления по отраслям.

Третий квадрант МОБ характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава. Он рассматривает национальный доход, как сумму чистой продукции и амортизации (cj), при этом чистая продукция понимается как сумма оплаты труда (vj) и чистого дохода отрасли (mj).

Условно–чистая продукция отрасли Zj= cj+(vj+mj), где cj –амортизация в отрасли, vj-оплата труда в отрасли, mj -чистый доход отрасли.

Четвертый квадрант МОБ находится на пересечении столбцов второго квадранта (конечной продукции) и строк третьего квадранта (условно– чистой продукции).

Четвертый квадрант МОБ Отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства.

Четвертый квадрант МОБ Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капиталовложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей.

Типичные модели по МОБ Во-первых, рассматривают схему баланса по столбцам: Эта модель отражает стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы

Типичные модели по МОБ Во-вторых, рассматривают схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли. При этом валовая продукция отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Типичные модели по МОБ называется моделью распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Коэффициент прямых материальных затрат (aij) – показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли.

Модель Леонтьева Коэффициенты прямых материальных затрат составляют матрицу A=(aij) и равны X=AX+Y (модель «затраты–выпуск» или модель Леонтьева).

Задачи, решаемые с помощью модели Леонтьева Задав величины валовой продукции каждой отрасли, можно определить объем конечной продукции: Задав величины конечной продукции всех отраслей, можно определить величины валовой продукции каждой отрасли:

В– матрица полных материальных затрат, коэффициентами которой являются количества продукции i-той отрасли, необходимые для получения единицы продукции j-той отрасли, с учетом прямых и косвенных затрат

Задачи, решаемые с помощью модели Леонтьева Задав для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых и объемы валовой продукции вторых.

Общие понятия задачи оптимизации При управлении системой возникает задача выбора таких воздействий на систему, чтобы происходящий процесс удовлетворял заданным условиям, подобные процессы принято называть допустимыми.

Общие понятия задачи оптимизации Решение задачи неоднозначно, а, значит, допустимые процессы составляют некоторое множество, из которого требуется выбрать процесс, который является по определенным параметрам наилучшим – оптимальным процессом

Функционал Известное правило, которое каждому элементу этого множества ставит в соответствие определенное действительное число. Функционал осуществляет отображение множества (имеющего произвольную природу) на множество действительных чисел.

Функционал Понятие функционала является обобщенным понятием функции, когда аргументом является элемент произвольного множества. С другой стороны, функция сама является примером функционала.

Примеры функционалов Рассмотрим на плоскости множество областей, представляющих собой фигуры, ограниченные замкнутыми кривыми. Тогда значение функционала равно площади этой области (действительному числу).

Примеры функционалов Рассмотрим множество функций, заданных и непрерывных на отрезке [a, b]. Тогда значение функционала будет определенным интегралом функции на этом промежутке А значит, каждой функции поставлено в соответствие действительное число, равное ее определенному интегралу.

Задача оптимизации Задача отыскания минимума функционала на заданном множестве. Эта задача ставится аналогично задаче об отыскании экстремума функции. Задача минимизации: Требуется минимизировать функционал на множестве. Решение такой задачи -это такое значение множества, при котором значение функционала на нем меньше или равно значениям функционала для остальных элементов этого множества.

Задача оптимизации Если решение этой задачи существует, то элемент, на котором функционал минимален, называется оптимальным элементом множества, а величина функционала на этом элементе множества- оптимальное значение функционала.

Задача оптимизации Решение задачи о максимизации функционала сводится к задаче о минимизации отрицательного значения этого функционала на том же множестве. Задачу о нахождении максимального или минимального значения функционала будем называть задачей об оптимизации функционала на множестве.

Оптимизация управляемых процессов Необходимость управлять процессом оптимально, т. е. наилучшим в определенном смысле образом, возникает в системах, характеристики которых меняются во времени под влиянием управления (к такому классу систем относится и экономическая система). Пространство в любой момент времени определяющее поведение экономической системы будем называть пространством состояний системы.

Оптимизация управляемых процессов Так как система изменяется во времени, то ее поведение можно описать последовательностью состояний. Такую последовательность называют траекторией системы. Переменную времени, которая является независимой, назовем аргументом процесса. Аргументом процесса может быть любая величина, но чаще всего - время.

Управляющее воздействие - это контролируемое изменение базовых характеристик, которые могут задаваться в виде функций от времени, тем самым, реализуя определенный способ управления системой. В этом случае будем говорить о задании программы управления.