Булева алгебра Обычная школьная алгебра работает с

Булева алгебра

Обычная школьная алгебра работает с натуральными, целыми, рациональными и действительными числами. Таких чисел бесконечно много. А что, если взять всего лишь пару объектов и выдумать для них разные операции вроде того же сложения или умножения? Тогда мы получим новую разновидность алгебры, а при желании - много новых разновидностей, поскольку операции можно определять разными способами.

Одна такая алгебра получила название "булевой" по имени ее изобретателя Дж. Буля. Операции в булевой алгебре продуманы таким образом, чтобы ее можно было использовать в логических рассуждениях.

Булева алгебра применяеться в компьютерной технике. Здесь интерпретация заключается в том, что значок 0 означает одно напряжение между какими-нибудь контактами какойнибудь схемы (скажем, 0 вольт), а значок 1 - другое (скажем, +5 вольт). Второй вариант применения булевой алгебры - логические рассуждения. Здесь два объекта интерпретируются как истина (будем обозначать как true) и ложь (будем обозначать как false). Далее мы будем называть символы true и false булевыми величинами, а переменные, которые их обозначают - булевыми переменными.

Что называть истиной, а что - ложью, - это вопрос, как говорится, "тонкий". Есть разные критерии истины, о которых можно долго говорить. Математическая логика подобных разговоров избегает, как говорят "абстрагируется" от них. Предполагается, что кто-то каким-то образом выяснил, что некое утверждение истинно (true), а другое - ложно (false).

Итак, будем рассматривать интерпретацию булевой алгебры "истина"/"ложь". Пусть нам был дан некий фрагмент текста x и мы какимто способом (который остается за рамками булевой алгебры) выясняем: истинный ли этот фрагмент текста или насколько истинный. Результат выяснения мы будем обозначать так: Tr(x). В некоторых случаях выяснить нам не удастся ничего, например, если этот фрагмент текста бессмысленный или непонятный. Если истинность установить можно, то такие тексты мы будем называть "высказываниями".

[высказывание]: Высказывание - это фрагмент текста, для которого можно выяснить его истинность (хотя бы приблизительно).

В булевой алгебре рассматриваются только те высказывания, для которых истинность может принимать два значения: либо истина (true), либо ложь (false). Другие значения - нельзя. Оба значения сразу - нельзя. Ни одного значения вообще - тоже нельзя. Подобные высказывания называются булевыми высказываниями. Любые другие тексты в булевой алгебре не рассматриваются. Не то, чтобы это было запрещено уголовным кодексом, просто таковы "область применимости" этого раздела математики.

[булево высказывание]: Булево высказывание - это такое высказывание, для которого рассматриваются только два значения истинности: true и false.

Поскольку в булевой алгебре есть только два значения истинности, то такую логическую систему называют двузначной

Законы булевой алгебры. Основные аксиомы, теоремы и тождества

Как любая алгбраическая система булева алгебра базируется на совокупности некоторых предположений, которые принято называть аксиомами, т. е предположениями не требующими доказательств. Аксиомы определяются для двух логических значений 1 ( "ИСТИНА" ) и 0 ( "ЛОЖЬ" ) и операций логического умножения (конъюнкции логический эквивалент союза «и» ), которая обозначается " & ", " · " или не обозначается вовсе, логического сложения (дизъюнкции логический эквивалент союза «или» ), которая обозначатся " v ", "+", и отрицания ( инверсии «не» ), которая обозначается горизонтальной чертой (" - ") над переменной или выражением, например, .

Булевой переменной, обозначаемой обычно xi , называется переменная принимающая два логических значения { 0, 1 }.

Ниже приведены аксиомы булевой алгебры относительно дизъюнкции, конъюнкции и отрицания. 1. Аксиомы конъюнкции 0· 0 = 0 ; 1· 1 = 1 ; 0· 1 = 1· 0 = 0 ; 2. Аксиомы дизъюнкции 0 v 0 = 0 ; 1 v 1 = 1; 0 v 1 = 1 v 0 = 1 ; 3. Аксиомы отрицания Если x = 0 , то = 1 ; Если x = 1 , то = 0 ;

Следующие 5 правил обычно называют теоремами булевой алгебры. Особенностью теорем булевой алгебры является то, что для их доказательства пользуются простой подстановкой значений булевых переменных. Это обусловлено тем, что переменные могут принимать только 2 значения - 0 и 1.

Операции с константами :

Следующие 4 правила обычно называют законами или тождествами булевой алгебры.

Ассоциативность ( ассоциативный (сочетательный) закон ) свойство умножения и сложения: Коммутативность ( коммутативный (переместительный) закон ) : Дистрибутивность ( дистрибутивный (распределительный) закон ) свойство умножения и сложения : конъюнкции относительно дизъюнкции: дизъюнкции относительно конъюнкции: