Булева алгебра Алгебра логики
Логика Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин "логика" происходит от древнегреческого logos, означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон".
Логика - одна из древнейших наук. Ее основателем считается величайший древнегреческий философ Аристотель, который первым систематизировал формы и правила мышления, обстоятельно исследовал категории "понятие" и "суждение", подробно разработал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.
С понятием логики связываются три основных аспекта: онтологический — «Логика вещей", т. е. необходимая связь явлений объективного мира (Демокрит); гносеологический — «Логика знания", т. е. необходимая связь понятий, посредством которой познаётся "сущность и истина" (Платон), и демонстративный (доказательный), или собственно логический, — «Логика доказательств и опровержений", т. е. необходимая связь суждений (высказываний) в рассуждениях (умозаключениях), принудительная убедительность ("общезначимость") которых вытекает только из формы этой связи безотносительно к тому, выражают эти суждения "сущность и истину" или нет (Аристотель). Первые два аспекта относятся к философии и диалектической логике, последний же аспект составляет собственно логику, или современную логику (которую вслед за И. Кантом иногда называют формальной логикой).
ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА наука изучающая формы мысли — понятия, суждения, умозаключения, доказательства — со стороны их логической структуры, т. е. отвлекаясь от конкретного содержания мыслей и вычленяя лишь общий способ связи частей этого содержания. Основная задача формальной логики — сформулировать законы и принципы, соблюдение которых является необходимым условием достижения истинных заключений в процессе получения выводного знания. Начало формальной логики было положено трудами Аристотеля, разработавшего силлогистику.
Силлогистика (от греч. syllogistikós — выводящий умозаключение), теория логического вывода, исследующая умозаключения, состоящие из т. н. категорических высказываний (суждений): общеутвердительных ("всякое S есть Р"), общеотрицательных ("ни одно S не есть Р"), частноутвердительных ("некоторое S есть Р") и частноотрицательных ("некоторое S не есть Р").
Основные понятия Высказывание (суждение)- всякое повествовательное предположение, утверждающее что-либо о чем-либо. Если смысл, содержащийся в высказывании, соответствует действительности, то высказывание называют истинным. В противном случае – ложным. Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение
Примеры предложений, являющихся высказываниями: 1. Завтра будет дождь 2. 3. 4. 5. 6. 7. Квадрат целого числа есть число положительное Новгород стоит на Волхове. Париж – столица Англии. Карась не рыба. Число 6 делится на 2 и на 3. Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.
Высказывания 2, 3, 6, 7 истинные Высказывания 4 и 5 ложные
Примеры предложений, не являющихся высказываниями: Кто вы? (вопрос) Запишите определение (приказ) Это утверждение ложно (внутренне противоречивое утверждение)
Простое высказывание Исходным понятием логики высказываний является простое высказывание. Это понятие не определяется через другие понятия, так как является базовым. Высказывание не содержащее связок, называется простым. 1. Квадрат целого числа есть число положительное 2. Новгород стоит на Волхове. 3. Париж – столица Англии.
Сложное высказывание Высказывание содержащее связки, называется сложным. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "или", "если. . . , то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными или сложными. Так, например, из элементарных высказываний "Петров — врач", "Петров — шахматист" при помощи связки "и" можно получить составное высказывание "Петров — врач и шахматист", понимаемое как "Петров — врач, хорошо играющий в шахматы". При помощи связки "или" из этих же высказываний можно получить составное высказывание "Петров — врач или шахматист", понимаемое в алгебре логики как "Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно".
Сложное высказывание 1. Карась не рыба. 2. Число 6 делится на 2 и на 3. 3. Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.
Основные понятия Обычно элементарные высказывания обозначают строчными буквами латинского алфавита a, b, c, x, y …, которые также являются логическими переменными. Истинные значения обозначаются буквой И или « 1» , а ложные – Л или « 0» .
Простое высказывание Пусть p и q обозначают высказывания p - Джейн водит автомобиль q - у Боба русые волосы
Сложное высказывание Джейн водит автомобиль и у Боба русые волосы. Сложное высказывание, состоящее из двух частей, объединенных связкой И. (конъюнкция) Это высказывание можно записать символически, в виде: pиq Или p q
Сложное высказывание Джейн водит автомобиль или у Боба русые волосы. Сложное высказывание, состоящее из двух частей, объединенных связкой ИЛИ. (дизъюнкция) Это высказывание можно записать символически, в виде: p или q Или p. Vq
Опровержение или отрицание высказывания. Если p это высказывание Джейн водит автомобиль. То отрицание p (~p) есть утверждение Джейн не водит автомобиль.
Сложное высказывание p - Джейн водит автомобиль q - у Боба русые волосы r – Джо нравится информатика Высказывание Джейн не водит автомобиль и у Боба русые волосы или Джо любит информатику символически запишется так: ((~p) q) V r
Сложное высказывание p - Джейн водит автомобиль q - у Боба русые волосы r – Джо нравится информатика Выражение p (~ q) r это символическая форма записи высказывания: Джейн водит автомобиль, у Боба волосы не русые и Джо нравится информатика
Исключающее или Обозначается через V. Высказывание p V q истинно, когда истинно p или q, но не оба одновременно. Высказывание Джейн водит автомобиль или не водит автомобиль. Предполагается, что верно одно из высказываний, но не оба одновременно.
Упражнения p – мой компьютер - быстродействующий q - я окончу проект вовремя r – я сдам экзамен Записать в символической форме высказывания: 1. У меня не быстродействующий компьютер или я закончу проект вовремя. 2. Я не закончу проект вовремя и не сдам экзамен. 3. Неверно, что я закончу проект и сдам экзамен. 4. У меня быстродействующий компьютер или я не закончу проект вовремя и сдам экзамен.
Упражнения p – эта игра очень трудна q - я играю в шахматы r – игра в шахматы требует времени Интерпретируйте следующие выражения как обычные высказывания: 1. q r 2. ~p V ~q. 3. (p V r) q. 4. p q r.
Математическая логика В своем развитии логика прошла ряд этапов. Современную логику часто называют символической или математической логикой. Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке Г. В. Лейбниц. Он выдвинул идею представить логическое доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике. Он же пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно.
Математическая логика Однако, подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Дж. Буля "Математический анализ логики". Кембриджский математик и священник Джордж Буль разработал систему алгебраических обозначений для выражения и обработки логических уравнений. Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме. Эта система, получившая название Булевой алгебры, или алгебры логики, используется для разработки комбинационных логических схем. Булева алгебра позволяет записывать сложные выражения в простой и краткой форме, а также содержит правила для обработки и нахождения минимальной формы таких выражений.
Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем, которые лежат в основе работы любого компьютера. Суждения в математической логике называют высказываниями или логическими выражениями. Подобно тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики.
Алгебра логики (другое название - Булева алгебра) - это область математики. Она оперирует величинами, которые могут принимать два значения (булевых значения). Эти два значения могут быть обозначены как угодно, лишь бы по-разному. Самые распространенные варианты: 0, 1 F, T false, true ложь, истина Л, И
Практическое применение булевой алгебры - в вычислительной технике. Основной системой счисления ЭВМ является двоичная система, в которой используются только две цифры: 0 и 1. В алгебре логики тоже используются две булевых переменных - это 0 и 1. Они представляют собой состояние ячейки памяти объемом в 1 бит или наличие/отсутствие напряжения в электрической схеме. Таким образом одни и те же цифровые устройства могут применяться для обработки как числовой информации в двоичном коде, так и логических переменных. Алгебра логики позволяет строить сложные электронные узлы, элементы которых работают согласно этой математической теории.
Логические функции Логическими функциями (булевыми функциями) называются функции, аргументами которых могут быть либо булевы величины, либо булевы переменные. Такая функция может принимать только два значения: истина или ложь (1 или 0).
Способы задания функций Функции в булевой алгебре принято определять двумя способами. Первый с помощью таблицы истинности. В такой таблице перечислены все возможные комбинации параметров и результат функции для каждой из комбинаций. В каждой строке слева перечисляются параметры, а в крайнем правом столбце - результат. В верхней строке - обозначения параметров и обозначение функции. Например: x 0 0 1 1 y 0 0 1 1 z 0 1 0 1 F(x, y, z) 0 0 0 1 1 0
Способы задания функций Второй способ задания логической функции - в виде формул, в которых применяются знаки унарных и бинарных операций. Знак унарной операции обозначает функцию от одного аргумента. Знак бинарной операции обозначает функцию от двух аргументов
Основные логические операции n отрицание (унарная операция) n конъюнкция (бинарная) n дизъюнкция (бинарная) В принципе могут быть введены и другие операции, однако оказывается, что любую такую операцию можно выразить в виде формулы, использующей только конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Таким образом, введенный набор операций является для булевой алгебры универсальным.
Дополнительные функции эквивалентность ( «тогда и только тогда, когда» ), импликация ( «следовательно» ), сложение по модулю два ( «исключающее или» ), штрих Шеффера , стрелка Пирса и другие.
Конъюнкция логическое умножение (логическое “и”, конъюнкция, "И", "логическое умножение", "булево умножение") производится над двумя логическими элементами и обозначается обычно знаками х или (а бывает, что и &). Иногда эти значки опускаются. Другое обозначение этой функции: x ∩ y, x and y, x И y.
Конъюнкция Функция "И" дает 1 только когда оба операнда равны 1. Эта функция называется иногда логическим умножением, поскольку ее результаты совпадают с аналогичной операцией в арифметике: 0*0=0 1*0=0 0*1=0 1*1=1
Конъюнкция x y x*y 0 0 0 Л Л Л 0 1 0 Л И Л 1 0 0 И Л Л 1 1 1 И И И от латинского conjunctio -связываю
Дизъюнкция логическое сложение ("ИЛИ", логическое “или”, дизъюнкция) производится над двумя элементами и обозначается обычно знаками + или V. Другое обозначение этой функции: x U y, x or y, x ИЛИ y.
Дизъюнкция Функция "ИЛИ" дает 0 только когда оба операнда равны 0. 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
Дизъюнкция x y x+y 0 0 0 Л Л Л 0 1 1 Л И И 1 0 1 И Л И 1 1 1 И И И от латинского disjunctio - различаю
Инверсия отрицание ("инверсия", "обращение", "НЕ", "логическое НЕ", дополнение) производится над одним элементом. Обозначается горизонтальной чертой сверху: , a иногда знаком /. Другое обозначение этой функции: x, ¬x, NOT x, НЕ x.
Инверсия x NOT x 0 1 Л И 1 0 И Л от латинского inversio -переворачиваю
Эквивалентность ( «тогда и только тогда, когда» , равнозначность) p ≡ q, p q p≡q 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
ПРИМЕРЫ “Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90 градусов” “Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются” “Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда внешнее воздействие не изменит этого состояния” (Первый закон Ньютона). “Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает” (Шутка)
Импликация или условная связка ( «следовательно» , «если p, то q » ) Импликация (логическое следование) - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Результатом импликации является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ … , ТО … p q p→q 0 0 1 Л Л И 0 1 1 Л И И 1 0 0 И Л Л 1 1 1 И И И
А B A B Пояснение “Если идет дождь, то асфальт мокрый” 0 0 1 дождя нет, асфальт сухой ИСТИНА 0 1 1 дождя нет, асфальт мокрый ИСТИНА 1 0 0 дождь идёт, асфальт сухой ЛОЖЬ 1 1 1 дождь идёт, асфальт мокрый ИСТИНА А – идет дождь, В – асфальт мокрый Говорят: "Если А, то В", "А имплицирует В", "А влечет В", "В следует из А". Из таблицы истинности видно, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.
Исключающее или Сложение по модулю два ( «исключающее или» , неравнозначность) p q p≡q 0 0 1 1 1 0
штрих Шеффера не – и p 0 0 1 1 q 0 1 p|q 1 1 1 0 p Л Л И И q Л И p|q И И И Л
стрелка Пирса не - или p 0 0 1 1 q 0 1 p q 1 0 0 0 p Л Л И И q Л И p q И Л Л Л
Эти две связки обладают следующим свойством: Любое высказывание может быть выражено с использованием только одной из них.
Логические выражения Логические переменные, объединенные знаками логических операций (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, логического следствия, эквивалентности), составляют логические выражения. Принято следующее старшинство логических операций: сначала выполняется инверсия, затем конъюнкция, дизъюнкция и в последнюю очередь импликация и эквивалентность. Изменить указанный порядок можно с помощью круглых скобок ( ).
ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫЕ И ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ Если сложное высказывание истинно для всех значений входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫМ или тавтологией (обозначается константой 1). НАПРИМЕР высказывание: "Демократ - это человек, исповедующий демократические убеждения" - всегда истинно, то есть является тавтологией. Все математические, физические и др. законы являются тавтологиями. Например: (а+b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 Прогноз погоды на завтра может быть, например, таким: "Дождь будет или дождя не будет". Такое предсказание будет всегда истинным, хотя вряд ли кого устроит. Его математическая запись: А V не(А) = 1 (по закону исключенного третьего всегда должно быть истинным либо суждение, либо его отрицание). Проверить, является ли сложное высказывание тождественно истинным, можно по таблице истинности.
ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННЫЕ И ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ Если сложное высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНЫМ (обозначается константой 0). НАПРИМЕР, высказывание: "Сегодня среда, а это - второй день недели" является тождественно ложным. Тождественно ложным является и следующее высказывание: "Компьютер включен и компьютер не включен (выключен)". Математическая запись его такова: A & не(A) = 0 (по закону противоречия: не могут быть одновременно истинны утверждение и его отрицание. ) Если значения сложных высказываний совпадают при всех возможных значениях входящих в них переменных, то такие высказывания называют РАВНОСИЛЬНЫМИ, ТОЖДЕСТВЕННЫМИ, ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ
Основные законы логики А=А – закон тождества всякая мысль тождественна самой себе, то есть "А есть А", где А – любое высказывание. А &¬А = 0 А ^ ¬А =0 – закон непротиворечия - не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть, если высказывание А - истинно, то его отрицание ¬А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным. А V ¬А = 1 – закон исключенного третьего - в один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. ¬ ¬А = А – закон двойного отрицания - если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание.
Свойства констант А 0 = А А + 0 = А А 0 = 0 А * 0 = 0 А 1 = 1 А + 1 = 1 А 1 = A А * 1 = A
Законы идемпотентности x x=x А*А=А А+А=А отсутствие степеней коэффициентов
Законы коммутативности х y=y х А*В=В*А А+В=В+А
Законы ассоциативности х (y z) = (х y) z А*(В*С) = (А*В)*С А (В С)=(А В) С х (y z) = (х y) z А+(В+С) =(А+В)+С
Законы дистрибутивности х (y z) = (х y) (х z) А (В С) = (А В) (А С) А*(В+С) = (А*В)+(А*С) х (y z) = (х y) (х z) А (В С) = (А В) (А С) А+(В*С) =(А+В)*(А+С)
Законы поглощения x (y x) = x А (А В) = А А * (А+В) = А А + (А * В) = А
Законы Де Моргана (y x) = y x x
Взаимосвязь между логическими операциями (x y) = (x y) (y x) x y = x y Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка, а при решении задач они требуются. Существуют формулы замены данных операций с использованием только операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.
Интерес представляют и следующие формулы: А → B = ¬B → ¬A A <=> B = (A → B) ^ (B → A) Доказать их справедливость можно также с помощью таблиц истинности. Интересно их выражение в разговорном языке. Например, фраза "Если Винни-Пух съел мед, то он сыт" тождественна фразе "Если Винни-Пух не сыт, то меда он не ел".
Упрощение сложных высказываний - это замена их на равносильные им на основе законов алгебры высказываний. Пример 1. Упростить: А ^В V А ^ ¬В По закону дистрибутивности вынесем А за скобки: А ^В V А ^ ¬В = A ^ (B V ¬B) = А ^ 1= А Пример 2. (первый способ) Упростить: (А V В) ^ (А V ¬В) Раскроем скобки по закону дистрибутивности: (А V В) ^ (А V ¬В) = A V (B ^ ¬B) =A V 0 = А
Пример 2. (второй способ) Упростить: (А V В) ^ (А V ¬В) Перемножим скобки (как в обычной алгебре) на основании того же закона дистрибутивности: (А V В) ^ (А V ¬В) = =A ^ A V A ^ ¬B V B ^ A V ¬B ^ B = = A V A ^ (¬B V B) V 0 = = A V A ^ 1 = А
Пример 3. Упростить: X V ¬X ^ Y На первый взгляд, пример не позволяет его упростить, так как в этом выражении ничего нельзя вынести за скобки. Заметим, что “хочется”, чтобы у переменной Х “появился” Y. Для этого представим Х как Х ^1, а 1 распишем по закону исключенного третьего как (Y V ¬Y). Далее раскроем скобки. X ^(Y V¬Y) V ¬X ^ Y = X ^ Y V X ^ ¬Y V ¬X ^ Y = добавим к полученному выражению X ^ Y. Получим: =X ^ Y V X ^ ¬Y V ¬X ^ Y V X ^ Y = =X ^ (Y V ¬Y) V Y ^ (¬X V X) = =X ^ 1 V Y ^ 1 = =X V Y
Пример 4. Упростить: A ^ C V B ^ ¬C V A ^ B Один из возможных вариантов упрощения состоит в том, чтобы добавить к последнему слагаемому переменную С. Это делается стандартным способом: умножить А ^ B на 1, а 1 расписать как (С V ¬C). A ^ C V B ^ ¬C V A ^ B ^ 1= A ^ C V B ^ ¬C V A ^ B ^ (C V ¬C) = A ^ C V B ^ ¬C V A ^ B ^ C V B ^ ¬C) = A ^ C V B ^ ¬C V A ^ B ^ ¬C = A ^ C ^ (1 V B) V B ^ ¬C ^ (1 V A) = A ^ C ^ 1 V B ^ ¬C ^ 1 = A ^ C V B ^ ¬C
Пример 5. Упростить: ¬ (¬ X V ¬Y) = применим закон де Моргана ¬¬ X ^ ¬¬ Y = X ^ Y
Логические элементы Всякое устройство ЭВМ, выполняющее арифметические действия над двоичными числами, можно рассматривать как функциональный преобразователь. Входными переменными (аргументами) его являются исходные двоичные числа, а выходной функцией от них - новое двоичное число, которое образовалось в результате выполнения данной операции. При этом как входные переменные, так и выходные функции могут принимать лишь одно из двух возможных значений - 0 (ложь) и 1 (истина). Преобразователи, которые могут, получая сигналы об истинности отдельных простых высказываний, обработать их и в результате выдать значение логического отрицания, логической суммы или логического произведения, называются логическими элементами.
ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ "НЕ" (инвертор). Обеспечивает на выходе сигнал, противоположный сигналу на входе, т. е. на его выходе будет 1, если на вход поступает 0 и наоборот. На схемах инверсия обозначается кружочком на выходе.
ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ"И" (конъюнктор) Логическим элементом "И" называется такой элемент, который на выходе выдает значение логического произведения входных сигналов. На выходе элемент "И" дает 1 тогда и только тогда, когда на все входы поданы 1. Физически это можно реализовать последовательным соединением переключателей. Условное обозначение логического элемента "И":
ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ "ИЛИ « (дизъюнктор) Логическим элементом "ИЛИ" называется такой элемент, который на выходе выдает значение логической суммы входных сигналов. На выходе дизъюнктор дает 1, если хотя бы на один из входов подана 1. Физически это можно реализовать параллельным соединением переключателей. Условное обозначение:
И-не Логический элемент ИНЕ состоит из конъюнктора и инвертора: Выходная функция выражается формулой:
Или-не Логический элемент ИЛИНЕ состоит из дизъюнктора и инвертора: Выходная функция выражается формулой:
Выход одного логического элемента можно соединить с входом другого логического элемента и таким образом получить цепочки из отдельных логических элементов. Каждую такую цепочку назовем логическим устройством. Соответствующую логическому устройству схему назовем функциональной схемой. Формой описания логических устройств является структурная формула.
Логическая схема для функции следующим образом: будет выглядеть
Булева алгебра Булевой алгеброй называется произвольное множество элементов a, b, c, . . . , для которых определены две операции - сложение и умножение, сопоставляющие каждым двум элементам a и b их сумму a + b и произведение a b ; определена операция "отрицание", сопоставляющая каждому элементу a новый элемент (-a) ; имеются два "особых" элементов 0 и 1 и выполняются следующие правила: · коммутативные законы: a + b = b + a ; a b = b a · ассоциативные законы: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ; ( a b ) c = a ( b c ) · идемпотентные законы: a + a = a ; a a = a · дистрибутивные законы: ( a + b ) c = a c + b c ; a b + c = ( a + c )( b + c ) · отрицание отрицания: (-(-a)) = a · для 0 : a + 0 = a ; a 0 = 0 ; (-0) = 1 · для 1 : a + 1 = 1 ; a 1 = a ; (-1) = 0 · правила де Моргана: (-( a + b )) = (-a) (-b) ; (-( a b )) = (-a) + (-b) Замечание 1. Для определения алгебры Буля можно обойтись лишь одной из операцией сложения или умножения вместе с операцией отрицания, например, умножение можно определить: a b = (-( (-a) + (-b) )) (через правила де Моргана). Замечание 2. Это определение "неэкономно". Многие свойства могут быть выведены из других, но эта система непротиворечива и удобна для исследования.
Скачать презентацию Булева алгебра Алгебра логики Логика Слово логика
7 Булева алгебра.ppt