Биноминальный закон распределения. Биномина льное распределе ние

Биноминальный закон распределения. Биномина льное распределе ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна P. Пусть X 1, …, Xn— конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром P , то есть при каждом величина принимает значения 1 ( «успех» ) и 0 ( «неудача» ) с вероятностями и соответственно. Тогда случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами . Это записывается в виде: Случайную величину обычно интерпретируют как число успехов в серии из одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в каждом испытании. Функция вероятности задаётся формулой: где - биномиальный коэффициент. Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

Где обозначает наибольшее целое, не превосходящее число , или в виде неполной бета-функции: Моменты Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид: откуда а дисперсия случайной величины. Свойства биномиального распределения Пусть и Тогда

Связь с другими распределениями Если , то, очевидно, получаем распределение Бернулли. Если большое, то в силу центральной предельной теоремы , где — нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией . Если большое, а — фиксированное число, то , где — распределение Пуассона с параметром . Если случайные величины и имеют биномиальные распределения и соответственно, то условное распределение случайной величины при условии – гипергеометрическое .

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса —распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса: где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ —стандартное отклонение (σ² — дисперсия) распределения. Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в многомерном нормальном распределении. Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.

Значение Важное значение нормального распределения во многих областях науки, например, в математической статистике и статистической физике вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

Моменты Моментами и абсолютными моментами случайной величины X называются математические ожидания Xp и соответственно. Если математическое ожидание случайной величиныμ = 0, то эти параметры называются центральными моментами. В большинстве случаев представляют интерес моменты для целых p. Если имеет нормальное распределение, то для неё существуют (конечные) моменты при всех с действительной частью больше − 1. Для неотрицательных целых p, центральные моменты таковы:

Здесь означает двойной факториал, то есть произведение всех нечетных от n до 1. Центральные абсолютные моменты для неотрицательных целых p таковы: Последняя формула справедлива также для произвольных Бесконечная делимость Нормальное распределение является бесконечно делимым. Если случайные величины и независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями и дисперсиями соответственно, то также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией Отсюда вытекает, что нормальная случайная величина представима как сумма произвольного числа независимых нормальных случайных величин.

Максимальная энтропия Нормальное распределение является непрерывным распределением с максимальной энтропией при заданном математическом ожидании и дисперсии. Моделирование нормальных псевдослучайных величин Простейшие приближённые методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить несколько независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых стандартно равномерно распределённых случайных величин, получим приближённое стандартное нормальное распределение. Для программного генерирования нормально распределённых псевдослучайных величин предпочтительнее использовать преобразование Бокса — Мюллера. Оно позволяет генерировать одну нормально распределённую величину на базе одной равномерно распределённой.

Нормальное распределение в природе и приложениях Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением: отклонение при стрельбе. погрешности измерений (однако погрешности некоторых измерительных приборов имеют не нормальные распределения). некоторые характеристики живых организмов в популяции. Такое широкое распространение этого распределения связано с тем, что оно является бесконечно делимым непрерывным распределением с конечной дисперсией. Поэтому к нему в пределе приближаются некоторые другие, например, биномиальное и пуассоновское. Этим распределением моделируются многие не детерминированные физические процессы. Многомерное нормальное распределение используется при исследовании многомерных случайных величин (случайных векторов). Одним из многочисленных примеров таких приложений является исследование свойств личности человека в психологии и психиатрии.

Плотность вероятности.

Функция распределения