Биноминальные коэффициенты Бином Ньютона x y n

Биноминальные коэффициенты • Бином Ньютона (x+y)n = • • Например. (x+y)2=C(2; 0)x 2 y 0+C(2, 1)x 1 y 1+C(2, 2)x 0 y 2 Вычислить: (x-y)3 (x-y)4 Следствия: • =0

Свойства биноминальных коэффициентов

Треугольник Паскаля • Это равнобедренный треугольник с вершиной 1 и боковыми сторонами равными 1, внутри которого числа, являющиеся суммами двух верхних: 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Разбиения • Пусть В={В 1, В 2, …, Вn} есть разбиение множества Х из m элементов на n подмножества. • Подмножества Вi называются блоками. • Число разбиений m-элементного множества на n блоков называется числом Стирлинга: S(m, n). • Число всех разбиений m-элементного множества называется числом Бэлла: B(m).

Принцип включения и исключения • Применяется, если число комбинаторных конфигураций является объединением других комбинаторных конфигураций, которые вычислить проще. IА+ВI=IАI+IВI-IАВI IА+В+СI= IАI+ IВI+ IСI-IАВI-IАСI- IВСI+IАВСI

Задача • Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7? • Сколько существует чисел, которые делятся на 11 и 13?

• На пиратском корабле было 100 пиратов. Из них: - 40 пиратов без ноги; - 45 без руки; - 50 без глаза; - 25 без руки и ноги; - 20 без ноги и глаза; - 15 без руки и глаза; Сколько было пиратов без ноги, руки и глаза?

Метод математической индукции. Пусть требуется установить истинность высказывания: 1. Доказать, что при n=1 Р(n) – истинно; 2. Предположить, что при n=k, P(k) – истинно; 3. Доказать, что при n=k+1, P(k+1) – истинно.

Упражнения 1. Доказать равенство: Доказательство: 1. При n=1. 2. 3. Пусть при n=k Доказать, что при n=k+1

2. 3. 4. 5. Доказать неравенство Бернулли: Определить, при каких n верно неравенство: Доказать, что выражение делится на 6: Доказать, что выражение делится на 5:

Взаимно-обратные и взаимнопротивоположные теоремы • Пусть дана прямая теорема • Обратная теорема: • Теорема: называется противоположной. • Теорема: называется обратной противоположной

Составить обратную, противоположную и обратную противоположной теоремы и определить их истинность, если прямая теорема: 1. Если четырехугольник – параллелограмм, то его диагонали в точке пересечения делятся пополам. 2. Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно-перпендикулярны. 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. 4. Сумма углов треугольника равна 1800

Тест «Дискретная математика» для студентов специальностей 230105 и 010502 1. Дискретная математика – это раздел математики, изучающий ____________________________________________ 2. Задачей курса «Дискретная математика» является знакомство и освоение_______________________________________ 3. Совокупность элементов, объединенных некоторым признаком, свойством, составляют понятие _________. 4. Выберите правильное определение: Множество А является строгим подмножеством множества В, если: -всякий элемент множества А является элементом множества В; -часть элементов множества А совпадает с элементами множества В; -множества А и В равны; -все элементы множества А входят во множество В, но не наоборот; 5. Выберите правильное определение: Множество, мощность которого равно нулю называется -конечным; -бесконечным; -пустым; 6. Определите способ задания множества - пораждающая процедура; - распознающая процедура; - заданием характеристических свойств; - рекурсивный способ задания; - списком. 7. Какова мощность булеана на множестве М= - 8 - 12 - 10 -9

8. Какое из приведенных определений множеств А, В, С, Д является некорректным 9. Установите определение, соответствующее операции над множествами № Операция № Определение Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Множество, состоящее из элементов, которые принадлежат обоим множествам Множество, состоящее только из элементов первого множества

10. Изобразите на диаграмме Венна операции над множествами 11. Изобразите на диаграмме Венна операции над множествами 12. Установите соответствие между свойствами отношений и их определениями: -симметрично - транзитивно - анти рефлексивно - антисимметрично - рефлексивно

13. Подчеркните те свойства, которыми обладает отношение на множестве натуральных чисел «Быть не меньше» • рефлексивно • анти рефлексивно • симметрично • антисимметрично • транзитивно 14. Подчеркните те свойства, которыми обладает отношение на множестве людей «Быть сыном» • рефлексивно • анти рефлексивно • симметрично • антисимметрично • транзитивно

15. Подчеркните те свойства, которыми обладает отношение • на множестве элементов ПК «Быть помощником» • рефлексивно • анти рефлексивно • симметрично • антисимметрично • транзитивно 16. Вставьте пропущенные слова в определение: Соответствие называется всюду определенным, если множество всех его. . . . . совпадает со множеством. . 17. Вставьте пропущенные слова в определение: Соответствие называется сюрьективным, если множество всех его. . . . . совпадает со множеством. . .

18. Вставьте пропущенные слова в определение: Соответствие называется функциональным, если каждому его. . . соответствует единственный. . . . 19. Перечислите свойства взаимно-однозначного соответствия. . . . . . . . . . . . . 20. Множества, равномощные множеству натуральных чисел называются. . . 21. Множества, равномощные множеству действительных чисел называются. . . .

22. G – соответствие. Найдите Пр1 2= Пр 14= 6 5 4 G 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 Пр 25= Пр2[4; 6]= 7 Пр1[6; 7]= Пр23=

23. Подчеркните свойства, которыми обладает соответствие G: • всюду определено • сюрьективно • функционально • взаимно-однозначно 24. Подчеркните свойства, которыми обладает соответствие G: -всюду определено -сюрьективно -функционально -взаимно-однозначно

25. Подчеркните свойства, которыми обладает соответствие G: • всюду определено • сюрьективно • функционально • взаимно-однозначно 26. Даны функции f(x)=2 x, g(x)=3 x+2, p(x)=tgx. Чему равна композиция h=f(p(g(x)))= 27. Высказывание называется простым, если оно. . . . . . . . . .

28. Высказывание называется сложным, если оно ____________________________ 29. Конъюнкцией называется высказывание _____, если первое _____, второе _____. 30. Дизъюнкцией называется высказывание _____, если первое ____, второе _____. 31. Инверсией называется высказывание _____, если само высказывание _______. 32. Импликацией называется высказывание _____, если первое высказывание _____, а второе _____. 33. Эквивалентностью называется высказывание _____, если оба высказывания ______ или ______. 34. Неравнозначностью называется высказывание _____, если одно высказывание _____, а второе _____.

35. Формула : • просто выполнима • тождественно истинна • тождественно ложна 36. Формула : • просто выполнима • тождественно истинна • тождественно ложна 37. Формула : • просто выполнима • тождественно истинна • тождественно ложна 38. Формула : • просто выполнима • тождественно истинна • тождественно ложна

39. Формула : • просто выполнима • тождественно истинна • тождественно ложна 40. Определите разделимую схему алфавитного кодирования: 41. Определите закрытый ключ при следующих условиях генерации открытого ключа: • p=3; q=17 и е=5 • d=17 • d=13 • d=11 • d=9

42. Определите закрытый ключ при следующих условиях генерации открытого ключа: p=7; q=5 и е=5 • • d=7 d=9 d=5 d=3 43. Определите закрытый ключ при следующих условиях генерации открытого ключа: • p=5; q=13 и e=7 • d=5 • d=9 • d=11 • d=7

44. Выберите соответствующий вид графа: • н-граф • ор-граф • полный • мультиграф • полностью задан 45. Определите сумму степеней вершин графа: • • 6 5 4 7 46. • • Определите сумму степеней вершин графа: 12 14 16 18

47. Перечислите способы задания графа • • • _______________________________ 48. Какие из понятий графа являются его частями: • мультиграф • суграф • подграф • полный граф • покрывающий граф 49. Каким свойством обладает ор-граф, если он не содержит кратных ребер? __________________________

50. 51. Подчеркните свойства, которыми обладает ор-граф, заданный матрицей смежности: • анти рефлексивен симметричен анти симметричен транзитивен a b c d e 0 2 1 0 0 b 2 1 1 0 0 c 0 1 0 2 1 d 1 0 2 e 2 0 1 2 0 рефлексивен • G a Каким свойством обладает орграф, если все его вершины содержат петли? • • •

52. Маршрут, в котором совпадают начало и конец называется _______ 53. Цепь, не пересекающая себя в вершинах называется ________ 54. Если существует маршрут с началом в V 1 и концом V 2, то эти вершины называются _____________ 55. Контур – это путь в котором __________ 56. Длиной маршрута называется __________________ 57. Расстоянием от вершины V 1 до вершины V 2 называется 58. Центром n-графа называется его вершина, от которой ________ расстояние до других вершин являлось бы ___________ 59. Радиусом графа называется __________ расстояние от его __________ до его ____________

60. Установите соответствие понятия комбинаторики и его формулы: 1. Размещения без повтора 2. Размещения с повторением 3. Сочетания без повтора 4. Сочетания с повторением 5. Перестановки nm

61. Составьте 8 -ой ряд треугольника Паскаля и возведите в степень (х-у)7 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 62. Принцип математической индукции заключается в следующем: 1. Р(n) – истинно для __________ 2. Пусть Р(n) –истинно для ______ 3. Доказать, что Р(n) истинно и для ______

63. Если прямая теорема сформулирована в виде то теорема 64. Если прямая теорема сформулирована в виде то теорема 65. называется __________ Если прямая теорема сформулирована в виде то теорема называется _________ Удачи на экзамене!