Биномиальное распределение Используется для построения контрольных карт

Биномиальное распределение. • Используется для построения контрольных карт числа и доли дефектных единиц (пр- и р- карты), а также для выбора планов контроля по альтернативному признаку

• Биномиальное распределение – распределение вероятностей дискретной случайной величины Х, принимающей любые целые значения от 0 до n, такие, что

• где Р – вероятность обнаружить х несоответствующих единиц в выборке; n - объем выборки; р – вероятность обнаружить несоответствующее изделие

• при х = 0, 1, 2…, n и параметрах n = 1, 2…;

Свойства биномиального распределения • а) распределение является дискретным; • б) средним арифметическим биномиального распределения служит пр, а стандартным отклонением

• Если пр≥ 5 , а р≤ 0, 5, то в качестве приближения для биномиального распределения используется нормальное распределение

Когда рассматривается доля несоответствующих изделий в выборке n, то необходимо вместо х брать х/n , среднее арифметическое p, а стандартное отклонение

Распределение Пуассона(распределение редких событий) • Используется для построения контрольных карт числа и доли несоответствий (с- и u- карты) и проведения выборочного контроля по альтернативному признаку при малом проценте несоответствующих единиц и большом объеме выборки (распределение редких событий).

• Если п стремится к бесконечности, то из биномиального распределения получают формулу Пуассона для выражения вероятности появления редких событий

Распределение Пуассона – распределение вероятностей дискретной случайной величины Х такое, что

• при х = 0, 1, 2…и параметре m >0, • где m = пр

Свойства распределения Пуассона • а) распределение Пуассона является дискретным; • б) среднее значение распределения Пуассона равно m, а стандартное отклонение корень из m

Тема: Теория выборок • 1. Генеральная совокупность и выборка • 2. Классификация выборок • 3. Методы отбора выборок

• Генеральная совокупность множество всех рассматриваемых единиц, свойства которых оцениваются по выборочным данным • Единицы, составляющие генеральную совокупность – элементы генеральной совокупности • Общее число этих элементов – объем генеральной совокупности, в партии – объем партии

Генеральная совокупность: конечная бесконечная • Конечная - число элементов в генеральной совокупности имеет пределы (например, партия) • Бесконечная - число элементов в генеральной совокупности бесконечно (например, вся выпускаемая продукция)

• Единицы продукции, которые были извлечены из генеральной совокупности, называют выборкой или пробой (для нештучной продукции). • Выборка (проба) – одна или несколько выборочных единиц, взятых из генеральной совокупности и предназначенных для получения информации о ней.

• Единицей продукции является отдельный экземпляр штучной продукции или определенное в установленном порядке количество нештучной продукции. • Изделие - единица промышленной продукции, количество которой может исчисляться в штуках или экземплярах.

• Объем выборки – число выборочных единиц в выборке. • Отбор выборки – процесс извлечения или составления выборки.

Параметры генеральной совокупности • Генеральное среднее • Дисперсия генеральной совокупности • Стандартное отклонение совокупности • В генеральной совокупности все эти значения являются четко установленными величинами

• В отношении выборки, даже при условии извлечения образцов из идентичных генеральных совокупностей, среднее арифметическое, дисперсия и стандартное отклонение измеряемых величин представляют собой переменные величины, которые варьируются в той или иной степени. Поэтому их называют статистической оценкой. Оценка – статистика, используемая для оценивания параметра.

• Оценивание – операция определения на основе выборочных данных числовых значений параметров распределения, принятых в качестве статистической модели генеральной совокупности, из которой извлечена выборка.

• Выборочные характеристики: • выборочное среднее арифметическое значение , • выборочная медиана Me • выборочная дисперсия S 2 • выборочное стандартное отклонение S • размах выборки R.

Выборочное среднее арифметическое – сумма значений, деленная на их число

• Выборочная медиана (Ме). Если n случайных значений упорядочены по возрастанию и пронумерованы от 1 до n, то если n нечетно, выборочная медиана принимает значение с номером (n+1)/2 • если n четно, медиана может быть определена как среднее арифметическое двух значений с номерами n/2+1

• Размах (R) – разность между наибольшим и наименьшим наблюдаемыми значениями количественного признака в выборке

• Выборочная дисперсия (S 2) – одна из мер рассеяния, представляющая собой сумму квадратов отклонений наблюдений от их среднего арифметического, деленную на число наблюдений минус единица:

• Выборочное стандартное отклонение (S) ( выборочное среднее квадратическое отклонение) – положительный корень из выборочной дисперсии

2. Классификация выборок • Цель статистических методов управления качеством - оценка параметров генеральной совокупности (партии, выпускаемой продукции, технологического процесса) по результатам контроля выборки, взятой определенным образом из этой генеральной совокупности.

• Основным требованием к выборке изделия, входящие в выборку, должны в полной мере отражать характер и структуру генеральной совокупности, • т. е. выборка должна быть представительной (репрезентативной).

Выборки • • • Простая и расслоенная С возвращением и без возвращения Единовременная и текущая Одноуровневая и многоуровневая Преднамеренная и случайная

• Простая - выборка, при формировании которой контролируемая совокупность рассматривается как единое целое • Ее применяют тогда, когда продукцию можно считать однородной по контролируемому параметру. •

• В расслоенную выборку единицы продукции отбираются в заданных объемах из разных частей контролируемой совокупности. Такие выборки формируют, когда контролируемую совокупность нельзя считать однородной, но можно выделить однородные части (слои)

• Выборка с возвращением (повторная) образуется путем извлечения изделий из генеральной совокупности с последующим их возвращением после определения параметров качества. Такое извлечение и возвращение изделий может быть многократным

• При бесповторной выборке (без возвращения) извлеченные изделия не могут быть возвращены в генеральную совокупность. • Если n/N<0, 1 выборка может быть бесповторной

• Единовременная выборка образуется из партии изделий после их изготовления независимо от того, в какой момент времени изготовлено каждое изделие. • Текущая выборка состоит из изделий, последовательно изготовленных за определенный промежуток времени

• Одноуровневая выборка- элементы выборки отбираются за один раз • Многоуровневая (многостадийный отбор) – берется несколько выборок одна за одной

• Преднамеренная - изделия отбираются в выборку по заранее оговоренным признакам или характеристикам • Случайная выборка образуется при отборе изделий из партии, если для любого изделия обеспечивается равная вероятность быть включенным в выборку.

3. Методы отбора выборок • Методы отбора единиц продукции в выборку зависят от способов представления продукции на контроль

Способы представления продукции на контроль • Ряд • Россыпь • Поток

Ряд • единицы продукции, поступающие на контроль, упорядочены, они легко могут быть пронумерованы сплошной нумерацией, можно легко достать и отыскать единицу продукции, отмеченную любым номером; • единицы продукции поступают на контроль в виде некоторой ограниченной совокупности, сформированной независимо от процесса производства.

Россыпь • – единицы продукции, поступающие на контроль, неупорядочены, их трудно нумеровать и практически невозможно отыскать и достать какую-то определенную единицу продукции; • – количество единиц продукции, поступающих на контроль, велико; • – единицы продукции поступают на контроль в виде некоторой ограниченной совокупности, сформированной независимо от процесса производства.

Поток • – единицы продукции поступают на контроль непрерывным потоком одновременно с выпуском продукции; • – качество единиц продукции, поступающих на контроль, велико; • – единицы продукции, поступающие на контроль, упорядочены, можно легко отыскать и достать каждую вторую, пятую или десятую и т. д. единицу.

• В зависимости от способа представления продукции на контроль применяют следующие методы : • – случайного отбора; • – наибольшей объективности; • – систематического отбора.

Метод случайного отбора • Применяют, когда продукция однородна и представлена на контроль в виде «ряда» . • Для отбора единиц продукции в выборку при этом методе используют: • – таблицы случайных чисел; • – ЭВМ.

Метод наибольшей объективности • Применяется в тех случаях, когда продукция представлена на контроль в виде «россыпи» • Необходимо включить в выборку единицы продукции из разных частей контролируемой партии. При этом единицы продукции следует отбирать независимо от субъективных предположений контролера относительно качества отбираемой единицы продукции

• Метод систематического отбора применяется для продукции, представленной на контроль в виде потока • Предусматривает отбор продукции через определенный интервал времени (или количество единиц продукции). Начало отсчета определяется случайным образом, например с помощью таблиц случайных чисел.