Бином Ньютона УЧЕНИК 7 А КЛАССА Рябинкин Евгений

Бином Ньютона УЧЕНИК 7 А КЛАССА Рябинкин Евгений СОШ № 3

Формулы сокращённого умножения Широко известные формулы сокращённого умножения квадрата суммы и куба суммы, являются частными случаями бинома Ньютона. Именно они стали стимулом к изучению этой темы и глубокого осмысления полученных знаний.

Бином Ньютона Это формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами). Слово «бином» в переводе с латыни означает «двучлен» .

Что нам известно Частными случаями бинома Ньютона при n =2 и n =3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых а и b. Выведем соответствующее тождество для четвёртой степени: (а+b)4=(а+b)2 ·(а+b)2=(а 2+2 аb+b 2)= =а 4+4 а 3 b+6 а 2 b 2+4 аb 3+b 4.

Первая закономерность Степени числа а убывают, а степени числа b возрастают. Сумма показателей в каждом одночлене равна n.

Продолжаем наблюдение (а+b)0=1 (а+b)1=а+b (а+b)2=а 2+2 аb+b 2 (а+b)3=а 3+3 а 2 b +3 аb 2+b 3 (а+b)4=а 4+4 а 3 b+6 а 2 b 2+4 аb 3+b 3

«Стороны» этого «равнобедренного треугольника» составлены из единиц, а каждое число, стоящее внутри треугольника, представляет собой сумму чисел, стоящих над ним в предыдущем ряду справа и слева. 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

Продолжаем наблюдение (a + b) 5 = a 5+ 5 a 4 b +10 a 3 b 2+ + 10 a 2 b 3 + +5 ab 4 + b 5

Закономерность установлена (a + b) 6 = a 6 + 6 a 5 b + 15 a 4 b 2 + + 20 a 3 b 3+ 15 a 2 b 4 + 6 ab 5 + b 6

Вторая закономерность Образование коэффициентов степени двучлена или бинома.

Треугольник Паскаля 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1. . . . .

Паскаль Блез (1623 -1662)

В анонимной немецкой рукописи xv века приводится словесное описание правила нахождения биномиальных коэффициентов, основанное на возведении числа 1001 в n-ую степень 1 00 9 1 00 8 1 00 7 1 00 6 1 00 5 1 00 4 1 00 3 1 00 2 1 00 36 00 84 01 26 00 28 00 56 00 70 00 56 00 21 00 35 00 21 00 15 00 20 00 1 5 00 6 00 10 00 5 00 1 00 6 00 4 00 1 00 3 00 1 00 84 00 36 00 9 00 1 00 28 00 1 00 7 00 1

Таблица немецкого математика М. Штифеля (1486 -1567) 1 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 6 15 20 15 7 21 35 35 8 28 56 70 17 136 680 2380 1 6 1 21 7 1 56 28 8 1 6188 12376 19448 24310

Таблица итальянского математика Н. Тарталья (1499 -1557) 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56 84 120 1 5 15 35 70 126 210 330 1 6 21 56 126 252 462 792 1 7 28 84 210 462 924 1716 1 8 36 120 330 924 1716 3432

Таблица биноминальных коэффициентов в треугольной форме Б. Паскаля (первоначальный вариант) 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28 84 1 8 36 1 9 1

Свойства треугольника Паскаля • Быстро и точно возводить в любую степень двучлен (а+b). • Для любого многочлена (а+b)n=an+nan-1 b+. . . + nabn-1+bn сумма всех коэффициентов равна 2 n. • Количество нечётных чисел в n-й строке всегда равно степени двойки. • В каждой строке сумма чисел, стоящих на нечётных местах, равна сумме чисел стоящих на чётных местах. • Если номер строки – простое число, то все числа в строке, за исключением двух крайних единиц, делятся на номер строки.

Для любого многочлена (а+b)=an+nan-1 b+. . . + nabn-1+bn сумма всех коэффициентов равна 2 n. Заметим, если а=b=1, то двучлен (а+b)n превратится в (1+1)n=2 n. 20 1 1 21 1+1 2 22 1+2+1 4 23 1+3+3+1 8 24 1+4+6+4+1 16 Строки треугольника Паскаля дают суммы, равные 2 n.

Количество нечётных чисел в n-й строке всегда равно степени двойки. Например, 5 -я строка содержит числа 1, 5, 10, 5, 1, среди которых 4 нечётных. 4=22. Седьмая строка содержит только нечётные числа, их восемь: 1, 7, 21, 35, 21, 7, 1. 8=23.

В каждой строке сумма чисел, стоящих на нечётных местах, равна сумме чисел стоящих на чётных местах. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим треугольник Паскаля 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

Если номер строки – простое число, то все числа в строке, за исключением двух крайних единиц, делятся на номер строки. 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1. . . . .

Ещё два важных свойства • Число коэффициентов (членов) разложения на единицу больше показателя n. • Коэффициенты разложения, стоящие после единицы (в начале строки) и перед единицей (в конце строки), равны между собой и совпадают с номером соответствующей строки треугольника Паскаля.

Проблема Нет ли другого правила нахождения биномиальных коэффициентов. Ведь с помощью треугольника Паскаля, для того , чтобы узнать коэффициенты разложения, например, бинома седьмой степени, надо знать их для шестой, а, значит, и для пятой и так далее до самого начала.

Сочетания — соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом. Из скольких элементов (n) По сколько элементов (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1 7 21 35 35 21 7 1 8 28 56 70 56 28 8 8 1

Результат работы формула

Исследование • Свойств треугольника Паскаля • Поиск закономерности образования коэффициентов Заставило обратиться меня к разделу математики – комбинаторике, который заинтересовал меня. В наши дни комбинаторные задачи приходится решать специалистам самых разнообразных профессий.