Бинарные отношения Транзитивное замыкание l l l

Бинарные отношения

Транзитивное замыкание l l l Для произвольного отношения A можно найти минимальное транзитивное отношение a такое, что a⊆b. Минимальность отношения понимается в том смысле, что для любого транзитивного отношения g из a ⊆ g следует b ⊆ g. Таким отношением является транзитивное замыкание отношения a. Если X — это множество аэропортов, а x. Ry эквивалентно «существует рейс из x в y» , и транзитивное замыкание R равно P, то x. Py эквивалентно «можно долететь из x в y самолётом» (хотя иногда придётся лететь с пересадками).

Транзитивное замыкание l Транзитивным замыканием отношения R называется бинарное отношение R’ такое, что x R’ y тогда и только тогда, когда существует такая цепочка элементов из X: l z 0 = x, z 1, z 2, . . . , zn = y, l что между соседями в этой цепочке выполнено отношение R: l z 0 Rz 1, z 1 R z 2, . . . , zn-1 Rzn.

Нетранзитивное отношение Отношение R, определенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из x. Ry и y. Rz не следует x. Rz. l Пример нетранзитивного отношения: l ¡ l «x отец y» Нетранзитивным является отношение " ". Пусть x=2, y=3, z=2, тогда справедливо x y и y z, но x=z, т. е. (x, z) R.

Транзитивность l Отношение R 1 называется транзитивным относительно отношения R 2, если: ¡ из (x, y) R 1 и (y, x) R 2 следует, что (x, z) R 1; ¡ из (x, y) R 2 и (y, x) R 1 следует, что (x, z) R 1.

Негатранзитивность отношений (x, y) ∉ R и (y, z) ∉ R → (x, z) ∉ R l В графе негатранзитивного отношения отсутствие связи (кольца или дуги) между двумя вершинами влечет отсутствие петель в обоих вершинах. l Отношения R 1 - ">" и R 2 - " " негатранзитивны, так как отношения R 1 доп - " ", R 2 доп - "=" транзитивны. Возможно одновременное выполнение свойств транзитивности и негатранзитивности. Например, отношение R 1 одновременно транзитивно и негатранзитивно, а R 2, как известно, транзитивным не является. l

Свойства бинарных отношений l Полнота ¡ l ∀(x, y) ∈ X либо x. Ry либо y. Rx, либо и то и другое одновременно – полносвязное или связное отношение Ацикличность ¡ ¡ Отношение R называется ацикличным, если из наличия какого-либо пути между вершинами соответствующего графа следует отсутствие обратной дуги (обратного пути) между этими вершинами (в графе отсутствуют любые циклы ). ∀n x 1 Rx 2∧ x 2 Rx 3∧ x 3 Rx 4∧… ∧ xn-1 Rxn но не наоборот.

Свойства операций над отношениями l Rk -1=( Rk -1 l Rk -1=( Rk -1 l (R 1 o R 2) -1 = R 1 -1 o R 2 -1. l (R 1 o R 2 )o. R 3 = R 1 o(R 2 o R 3). l (R 1 R 2 )o. R 3 = (R 1 o. R 3 ) ( R 2 o R 3 ).

Свойства операций над отношениями l (R 1 R 2 )o. R 3 (R 1 o. R 3 ) ( R 2 o R 3 ). ¡ если R 1 R 2 то R 1 o R 3 R 2 o R 3; ¡ если R 1 R 2 то R 1 -1 R 2 -1; ¡ если R 1 R 2 то R 3 o. R 1 R 3 o. R 2. ¡ (R 1 R 2)d = R 1 d R 2 d; ¡ (R d)d = R.

Связи между бинарными отношениями Отношение R симметрично тогда и только тогда, когда R = R-1. l Если R рефлексивно, то R d антирефлексивно, если R антирефлексивно, то Rd рефлексивно. l Отношение R слабо полно тогда и только тогда, когда Rd антисимметрично. l Отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда Rd полно. l

Отношения эквивалентности (подобия, равносильности) l Отношение R на множестве A 2 называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами: ¡ рефлексивность ¡ (симметричность ¡ транзитивность l Обозначается =, ≈, ~, ≡

Отношение эквивалентности l Условия 1 -3 в таких обозначениях выглядят более естественно: ¡ x=x для всех x∈A (рефлексивность) ¡ Если x=y, то y=x (симметричность) ¡ Если x=y и y=z, то x=z (транзитивность)

Примеры l l l l l отношение тождества IX = {(a, a)|a∈X} на непустом множестве X; отношение параллельности на множестве прямых плоскости; отношение подобия на множестве фигур плоскости; отношение равносильности на множестве уравнений; отношение "иметь одинаковые остатки при делении на фиксированное натуральное число m" на множестве целых чисел. Это отношение в математике называют отношением сравнимости по модулю m и обозначают a≡b (mod m); отношение "принадлежать одному виду" на множестве животных; отношение "быть родственниками" на множестве людей; отношение "быть одного роста" на множестве людей; отношение "жить в одном доме" на множестве людей.

Классы экввалентности Система непустых подмножеств {M 1, M 2, …} l множества M называется разбиением этого множества, если M = M 1∪M 2∪ … l l и при i≠j l Сами множества M 1, M 2, … называются при этом классами данного разбиения. Mi∩Mj =Ø.

Примеры l l l Разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. ; Разбиение всех треугольников по свойствам углов (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные); Разбиение всех треугольников по свойствам сторон (разносторонние, равнобедренные, равносторонние); Разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников; Разбиение множества всех учащихся данной школы по классам.

Пример 1

Пример 2 А и B равны по модулю n, если их остатки при делении на n равны. l Например по модулю 5 равны 2, 7, 12 … l [0] = {0, n, 2 n, …} l [1] = {1, n+1, 2 n+1, …} l … l [n-1] = {n-1, n+n-1, 2 n+n-1, …} l

Класс эквивалентности Классом эквивалентности C(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если и b∈C(a), то C(a) = C(b). l Теорема: отношение эквивалентности, заданное между элементами базового множества х, определяет разбиение множества х на непересекающиеся классы эквивалентности базового множества (в каждый из классов входят взаимно эквивалентные отношения). l

Фактор-множество l Получающееся при этом множество классов называется фактормножеством {ck}. или X / ˜.

Отношение порядка l Бинарное отношение a на множестве X называется отношением порядка, если оно ¡ ¡ l Транзитивно ∀ x, y, z ∈ A x. Ry ∧ y. Rz → x. Rz и антисимметрично ∀ x, y ∈ A x. Ry ∧ y. Rx → x=y Множество X с определенным на нем отношением порядка a называется упорядоченным множеством и обозначается <X; a>.

Отношение строгого порядка Отношение порядка R называется отношением строгого порядка на множестве X, если a антирефлексивно l ∀x∈X ¬(x. Rx) l Отношение строгого порядка обозначается символом < или Pуп l Пусть f и g - функции с одинаковыми областями определения. Определим отношение > следующим образом: f > g, если для любого x из области определения функции f(x) > g(x). Очевидно, что данное отношение является отношением строгого порядка. l

Пример f > g. Пары функций f и h, а также g и h несравнимы.

Отношение толерантности l Отношение безразличия является отношением симметрии и рефлексивности. ¡ x Iуп y <=> ( x Pуп у и y Pуп x ). l Так как (x, y) и (y, x) не принадлежат Pуп, то нельзя сказать, что x лучше y, или x лучше y.

Основные свойства l Pуп Pdуп = Pdуп; l Pуп Pdуп = Pуп; l I = Pуп Pdуп. l Rуп = Pdуп; Pуп = Rdуп , т. е. Pуп и Rуп образуют двойственную пару. l P∪P-1∪I=Х × Х – все декартово произведение

Отношение нестрогого порядка l На базе введенных отношений строгого упорядочения и безразличия можно построить новое отношение Rуп = Pуп Iуп, l которое называется нестрогим упорядочением. l Отношение нестрогого упорядочивания (x≥y) это полное и рефлексивное отношение.

Отношение безразличия l Пусть мы имеет некоторое произвольное отношение R, причем R ∩ R-1=Rs l – симметричная часть R. l Если R было рефлексивным, то Rs можно считать отношением безразличия.

Теорема l RR-1=Rs=I, RRs=P, а значит, R=P∪U l Любое полное отношение R с RR-1=Rs=I, RRs=P l индуцирует отношения строгого упорядочения P и безразличия I. l I – симметричная часть R, P – асимметричная часть.

Отношение слабого порядка l l l l Асимметричное, негатранзитивное отношение Pсл назовем слабым порядком. x>y (слабый порядок, т. к. ассиметрично и его дополнение x≤y, транзитивно, а значит и негатранзитивно). Кроме того, по аналогии с Iуп введем отношение Iсл x. Iслy <=> ((x, y) Pсл и (y, x) Pсл) или x. Iслy <=> ((y, x) Pсл и (x, y) Pсл). Назовем его отношением эквивалентности.

Отношение нестрогого слабого порядка Введем также отношение l Rсл = Pсл Iсл, l называемое нестрогим слабым порядком. Из определения следует, что Pсл Pуп. Так как Pуп только асимметрично, а Pсл асимметрично и негатранзитивно, то из (x, y) Pсл всегда следует (x, y) Pуп. l В качестве примера Rсл можно привести отношение " ". l

Свойства слабого порядка l Rсл = Pdсл , Rdсл = Pсл. l Iсл = Rsсл , Pсл = Rdсл. l Для любых x, y A выполняется одно и только одно из соотношений: x. Pслy, y. Pслx, x. Iслy. l Отношение Pсл транзитивно. l Отношение Iсл рефлексивно, симметрично, транзитивно. l Отношение Rсл транзитивно и полно.

Отношение качественного порядка l l l l l Дополним отношение строгого упорядочения Pуп свойством транзитивности. Назовем полученное отношение качественным порядком Pкач. . Пусть х, у - вещественные числа. Введем качественный порядок: х. Ркачу <=> x > у +1. Очевидно, что в данном случае отношение Ркач асимметрично и транзитивно, но оно не является негатранзитивным. Дополнение к введенному отношению определим как х Ркач у <=> х у +1 Положим у = 0; х = 0. 9; z = -0. 9. Тогда, очевидно, выполняются отношения (х, y) Ркач ; (y, z) Ркач ; (х, z) Ркач. Т. е. условие негатранзитивности не выполняется.

Отношение Парето l Введем на множестве точек n-мерного евклидова пространства следующее отношение Par, называемое отношением Парето: l х, у Раr <=> i : хi yi и j : хj > уj. l Отношение Парето называется также безусловным критерием предпочтения (БКП).

Пример x y y x x y а) x 1 < y 1 б) x 1 > y 1 в) x 1 < y 1 x 2 > y 2 x 2 = y 2 x 2 < y 2 нет отношения Раr; есть отношение Раr, x лучше y; y лучше x.

Производные отношения l Iкач - отношение качественного безразличия х. Iкачу <=> ( x Ркач у) и (у Ркач х ); l Rкач - нестрогий качественный порядок Rкач = Рd кач.

l Качественный ассиметричные отношения. l Так как порядок – это и транзитивные асимметрия+негатранзитивность=транзитивность, l значит слабый порядок качественный, но не наоборот.

Другие отношение Отношение Rчаст называется нестрогим частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Нестрогий частичный порядок можно определить по формуле Rчаст = Pкач I. l Рефлексивное и транзитивное бинарное отношение называется предпорядком. l Симметричный предпорядок является отношением эквивалентности, антисимметричный предпорядок - нестрогим частичным порядком. l