Бинарные отношения Элементы математической логики Теория множеств

Кортежем длины n множества А называется упорядоченная последовательность (a 1, a 2, …, an) элементов этого множества

Равные кортежи Кортежи (a 1, a 2, …, ak) и (b 1, b 2, …, bn) называются равными, если они имеют одинаковую длину и их элементы с одинаковыми номерами совпадают k=n i ai=bi

Равные кортежи a = (1, 2, 4, 8, 16, 32) b = (20, 21, 22, 23, 24, 25) a=b c = (1, 2, 4, 8, 16, 32) d = (1, 2, 4, 8, 32, 16) c≠d

Соединение кортежей Пусть даны кортежи (a 1, a 2, …, ak) и (b 1, b 2, …, bn) Соединение кортежей (a 1, a 2, …, ak, b 1, b 2, …, bn)

ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Пусть даны множества А 1, А 2, …, Аn. Декартовым или прямым произведением этих множеств называется множество А 1 × А 2 × …× Аn, состоящее из всех кортежей (a 1, a 2, …, an) длины n, в которых ak Аk, 1 k n

Если множества А 1=А 2= …= Аn = А. А × …× А = Аn n n-я декартова степень множества А

Примеры = { , , } B = { , } A А×В ( , ) ( , )

Примеры = { , , } A = 3 B = { , } В = 2 A А×В ( , ) ( , ) А×В = А × В

Операция взятия декартова произведения не является коммутативной А×В ≠В×А Но X X × = × X=

Примеры Декартова плоскость R×R = R 2 Декартово пространство R×R×R = R 3 Пространственно-временной континуум R 3×Т

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть А – множество Бинарным отношением на множестве А называется некоторое подмножество 2 декартова квадрата А R А×А

Обозначения a R b или R(a, b) a и b находятся в отношении R

Примеры бинарных отношений «быть друзьями» на множестве всех людей «быть параллельными прямыми» на множестве всех прямых «быть соседями по парте» на множестве студентов вашей группы a b на множестве действительных чисел

СВОЙСТВА БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

1. Рефлексивность a M a R a Примеры: • «быть ровесником» на множестве всех людей • «быть не меньше» на множестве действительных чисел a b на множестве R

2. Антирефлексивность a M не выполняется a R a Примеры: • «быть старше» на множестве всех людей • «быть меньше» на множестве действительных чисел a < b на множестве R

3. Симметричность a, b M a. Rb и b. Ra Примеры: • «быть параллельными прямыми» на множестве всех прямых • «быть равными» на множестве действительных чисел a = b на множестве R

4. Антисимметричность a, b M ( a R b и b R a ) a = b Примеры: • «быть делителем» на множестве всех натуральных чисел • «быть не меньше» на множестве действительных чисел a b на множестве R

5. Асимметричность a, b M a. Rb и b. Ra одновременно не выполняются Примеры: • «быть старше» на множестве всех людей • «быть больше» на множестве действительных чисел a > b на множестве R

6. Транзитивность a, b, с M ( a R b и b R с) a R с Примеры: • «быть ровесником» на множестве всех людей • «быть больше» на множестве действительных чисел a > b на множестве R

7. Антитранзитивность a, b, с M ( a R b и b R с) не выполняется a R с Примеры: • «быть матерью» на множестве всех людей • «быть перпендикулярными прямыми» на множестве всех прямых a b

8. Связность a, b M (a ≠ b) a R b или b R a Примеры: • «быть не меньше» на множестве действительных чисел a b на множестве R

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Отношение эквивалентности 1. Рефлексивность 2. Симметричность 3. Транзитивность Примеры: • «быть равномощными» на множестве всех множеств

Разбиение на классы эквивалентности

Отношение толерантности 1. Рефлексивность 2. Симметричность Примеры: • «быть другом» на множестве всех людей

Отношение порядка 1. Антисимметричность 2. Транзитивность Примеры: • «быть не меньше» на множестве действительных чисел a b на множестве R